拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換，又名拉氏變換。拉氏變換是一個線性變換，可將一個有參數實數t（t≥0）的函數轉換為一個參數為復數s的函數。
定義： f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s＝σ＋j&owega;的一個函數，其中σ和&owega; 均為實變數,j2＝-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所確定：拉普拉斯變換。
發展歷史
法國數學家、天文學家皮埃爾·西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon marquis de Laplace，1749年3月23日—1827年3月5日），主要研究天體力學和物理學。他認為數學只是一種解決問題的工具，但在運用數學時創造和發展了許多新的數學方法。他發表的天文學、數學和物理學的論文有270多篇，專著合計有4006多頁。其中最有代表性的專著有《天體力學》《宇宙體系論》《概率分析理論》。1812年拉普拉斯在《概率的分析方法》中總結了當時整個概率論的研究，論述了概率在選舉、審判調查、氣象等方面的應用，并導入“拉普拉斯變換”。拉普拉斯變換后來也啟發了海維塞德，他發現了運算微積分在電工理論中的應用。
公式概念
拉普拉斯變換是對于t≥0函數值不為零的連續時間函數x(t)通過關系式
(式中-st為自然對數底e的指數)變換為復變量s的函數X(s)。它也是時間函數x(t)的“復頻域”表示方式。據此，在“電路分析”中，元件的伏安關系可以在復頻域中進行表示，即電阻元件：,電感元件：,電容元件：。如果用電阻R與電容C串聯，并在電容兩端引出電壓作為輸出，那么就可用“分壓公式”得出該系統的傳遞函數為
于是響應的皮埃爾-西蒙·拉普拉斯變換Y（s）就等于激勵的拉普拉斯變換X（s）與傳遞函數H（s）的乘積，即
如果定義：
f(t)是一個關于t的函數，使得當時候，；s是一個復變量；
是一個運算符號，它代表對其對象進行皮埃爾-西蒙·拉普拉斯積分int_0^infty?e'?dt；F(s)是f(t)的拉普拉斯變換結果。
則f(t)，的拉普拉斯變換由下列式子給出：
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯逆變換，是已知F(s)?求解f(t)的過程。用符號?表示。
拉普拉斯逆變換的公式是：
對于所有的t>0，
f(t)=數學cal?^?left=frac?int_?^?F(s)'?e'ds
c'?是收斂區間的橫坐標值，是一個實常數且大于所有F(s)'?的個別點的實部值。
為簡化計算而建立的實變量函數和復變量函數間的一種函數變換。對一個實變量函數作皮埃爾-西蒙·拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往比直接在實數域中求出同樣的結果在計算上容易得多。拉普拉斯變換是可采用傳遞函數代替微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性（見信號流程圖、動態結構圖）、分析控制系統的運動過程（見奈奎斯特穩定判據、根軌跡法），以及綜合控制系統的校正裝置（見控制系統校正方法）提供了可能性。
用?f(t)表示實變量t的一個函數，F(s)表示它的拉普拉斯變換，它是復變量s=σ+j&owega；的一個函數，其中σ和&owega;?均為實變數，j2=-1。F(s)和f(t)間的關系由下面定義的積分所確定：
如果對于實部σ?>σc的所有s值上述積分均存在，而對時積分不存在，便稱?σc為f(t)的收斂系數。對給定的實變量函數?f(t)，只有當σc為有限值時，其拉普拉斯變換F(s)才存在。習慣上，常稱F(s)為f(t)的象函數，記為；稱f(t)為F(s)的原函數，記為。
函數變換對和運算變換性質：
利用定義積分，很容易建立起原函數?f(t)和象函數?F(s)間的變換對，以及f(t)在實數域內的運算與F(s)在復數域內的運算間的對應關系。表1和表2分別列出了最常用的一些函數變換對和運算變換性質。
皮埃爾-西蒙·拉普拉斯變化的存在性：
為使F(s)存在，積分式必須收斂。有如下定理：
如因果函數f(t)滿足：（1）在有限區間可積，（2）存在σ0使|f(t)|e-σt在t→∞時的極限為0，則對于所有σ大于σ0，拉普拉斯積分式絕對且一致收斂。
基本性質
線性性質、導數性質、積分性質、位移性質、延遲性質、初值定理與終值
應用領域定理
有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算并不容易，但若將實變量函數作拉普拉斯變換，并在復數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，往往在計算上容易得多。拉普拉斯變換的這種運算步驟對于求解線性微分方程尤為有效，它可把微分方程化為容易求解的代數方程來處理，從而使計算簡化。在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可采用傳遞函數代替常系數微分方程來描述系統的特性。這就為采用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。
應用拉普拉斯變換解常系數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在于：將一個信號從時域上，轉換為復頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。電路分析中，在分析電路系統瞬態響應時，拉普拉斯變換是重要的工具。
參考資料 >
基于拉氏變換的常系數線性微分方程的初值問題.萬方數據.2023-11-21
拉普拉斯變換.中華自然科學網(SCICN.NET).2023-11-21