微分拓?fù)涞囊粋€(gè)重要分支。通常是指兩部分內(nèi)容：一部分是微分流形上可微函數(shù)的莫爾斯理論，即臨界點(diǎn)理論；另一部分是變分問題的莫爾斯理論，即大范圍變分法。
簡(jiǎn)介
微分拓?fù)鋵W(xué)中利用微分流形上僅具非退化臨界點(diǎn)的實(shí)值可微函數(shù)(稱為莫爾斯函數(shù))研究所給流形性質(zhì)的分支。它是H.M.莫爾斯在20世紀(jì)30年代創(chuàng)立的。由莫爾斯理論得知，微分流形與其上的光滑函數(shù)緊密相關(guān)，利用光滑函數(shù)不僅能研究微分流形的局部性質(zhì)，而且某些光滑函數(shù)例如莫爾斯函數(shù)包含了刻劃流形整體性質(zhì)的豐富信息。莫爾斯理論主要分兩部分，一是臨界點(diǎn)理論，一是它在大范圍變分問題上的應(yīng)用。
理論介紹
確切地說，假設(shè)?是n維微分流形M上的實(shí)值可微函數(shù)，?的臨界點(diǎn)p是指梯度向量場(chǎng)grad?的零點(diǎn)，即在局部坐標(biāo)下使得的點(diǎn)。?的全部臨界點(diǎn)的性態(tài)與流形M本身的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)有密切的關(guān)系，探索這些關(guān)系就是臨界點(diǎn)理論的主要任務(wù)。例如，著名的莫爾斯不等式就是這樣一種關(guān)系：
，
……
……
，
式中Rk是n維閉流形M的k維模2貝蒂數(shù)，即同調(diào)群的秩,是M上非退化函數(shù)?的指數(shù)為k的臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù)。這里說?是非退化函數(shù)，是指?的任何臨界點(diǎn)p均非退化，即在局部坐標(biāo)下?在p處的黑塞矩陣之秩為n；這個(gè)矩陣的負(fù)特征值的個(gè)數(shù)稱為臨界點(diǎn)p的指數(shù)。莫爾斯不等式是H.M.莫爾斯本人在20世紀(jì)20年代建立的基本結(jié)果，后來有了遠(yuǎn)為一般的結(jié)果。例如，考慮圖1中環(huán)面M 關(guān)于水平切面V的高度函數(shù)，其中p,q,r,s是?的四個(gè)非退化臨界點(diǎn)，其指數(shù)分別為0,1,1,2,因?yàn)榭梢赃m當(dāng)選擇局部坐標(biāo)，使得在p的鄰近 (旋轉(zhuǎn)拋物面),在q的鄰近 (鞍面)，在r的鄰近 （鞍面）,在s的鄰近 (旋轉(zhuǎn)拋物面)。命不難看出，當(dāng)α由小變大經(jīng)過各個(gè)臨界值時(shí),Mα 的同倫型發(fā)生表中所列的變化。
可見，當(dāng)α從小變大經(jīng)過指數(shù)為λ的臨界點(diǎn)時(shí),Mα 的同倫型變化相當(dāng)于粘上一個(gè)λ維胞腔，從而整個(gè)環(huán)面M的同倫型相當(dāng)于由一個(gè) 0維胞腔、兩個(gè)一維胞腔以及一個(gè)二維胞腔組成的CW復(fù)形，這樣就把M的同倫型與? 的臨界點(diǎn)的性態(tài)聯(lián)系起來了。如果把這個(gè)事實(shí)推廣到一般情形就是：
臨界點(diǎn)理論的基本定理? 命M是微分流形,是非退化函數(shù)，并且任何Mα 都是緊致集。于是，每個(gè)Mα 都具有一個(gè)有限CW復(fù)形的同倫型，從而整個(gè)M具有一個(gè)至多是可數(shù)的CW復(fù)形的同倫型：對(duì)于指數(shù)為λ的每個(gè)臨界點(diǎn)，這個(gè)復(fù)形有一個(gè)λ維胞腔。
臨界點(diǎn)理論的應(yīng)用中最完美的是對(duì)測(cè)地線問題的應(yīng)用，這就是變分學(xué)的莫爾斯理論。例如，考慮完備黎曼流形M上兩個(gè)固定端點(diǎn)p和q之間的測(cè)地線問題，即是使弧長(zhǎng)為極小的變分問題：
式中 表示M上的逐段光滑道路，這個(gè)變分問題的泛極線就是所謂測(cè)地線。于是，從p 到q 的所有光滑測(cè)地線的性態(tài)與流形M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間是否有什么關(guān)系，這就是大范圍變分學(xué)要研究的主要問題，可以應(yīng)用臨界點(diǎn)理論的框架得到相似的結(jié)果。命表示M上從p到q所有逐段光滑道路組成的空間，具有尺度拓?fù)洹Ｊ街笑?表示M上由伯恩哈德·黎曼尺度導(dǎo)出的距離函數(shù)；表示ω 上的弧長(zhǎng)。
大范圍變分學(xué)基本定理? 命M是完備黎曼流形，沿任何測(cè)地線不共軛，則具有可數(shù)CW復(fù)形的同倫型：對(duì)于從p到q每條指數(shù)為λ的測(cè)地線，這個(gè)復(fù)形有一個(gè)λ維胞腔。
隨著拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，莫爾斯理論本身也有很大的飛躍。例如，由于臨界點(diǎn)定義為梯度向量場(chǎng)grad? 的零點(diǎn)，自然可以考慮n維閉流形M上一般向量場(chǎng)X 的零點(diǎn)與M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)之間的關(guān)系，即M上的動(dòng)力系統(tǒng)：
的奇點(diǎn)與M的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系。S.斯梅爾在某些假設(shè)下得到了形式相同的莫爾斯不等式，不過這時(shí)αk表示向量場(chǎng)X 的k型零點(diǎn)的個(gè)數(shù),bk表示k型閉軌線的條數(shù)。斯蒂芬·斯梅爾正是在這個(gè)基礎(chǔ)上完成了他關(guān)于高維龐加萊猜想的卓越工作，這是微分拓?fù)鋵W(xué)的重大成就之一。其次，由于測(cè)地線問題是一維變分問題，本來是無限維的空間Ω才能化為有限維流形應(yīng)用臨界點(diǎn)理論來處理。但一般的多維變分問題就無法做到這一點(diǎn)，因而要求發(fā)展無限維流形上的臨界點(diǎn)理論，直接處理相應(yīng)的無限維空間Ω，從而把原來的兩個(gè)方面統(tǒng)一起來。
參考資料 >