歐拉恒等式，也被稱為歐拉公式，是一個在數學中具有重要地位的等式。它將自然對數的底e、虛數單位i、圓周率π以及自然數的單位1聯系在一起。當x = π時，歐拉公式可以重寫為eiπ + 1 = 0或eiπ = -1，這被稱為歐拉恒等式。
該等式以萊昂哈德·歐拉的名字命名，他是瑞士數學家和物理學家。歐拉恒等式是復分析中的一個基本公式，它建立了三角函數和復指數函數之間的關系。歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數函數和對數函數，并給出了歐拉恒等式。歐拉恒等式在數學、物理、化學和工程學中都有廣泛的應用。物理學家理查德·費曼將該方程稱為“我們的寶石”和“數學中最引人注目的公式”。
專業術語含義
歐拉恒等式是指下列關系式：
這條恒等式第一次出現于1748年萊昂哈德·歐拉在洛桑出版的書Introduction。這是復分析的歐拉公式的特例：對任何實數x，?，作代入即給出恒等式。
理查德·費曼稱這恒等式為“數學最奇妙的公式”，因為它把5個最基本的數學常數簡潔地聯系起來。
證明
歐拉恒等式的證明可以通過歐拉公式進行推導。歐拉公式表明，對于任意實數x，有{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\}。當x = π時，代入歐拉公式，得到{\displaystyle e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi \,}。由于{\displaystyle \cos \pi =-1}和{\displaystyle \sin \pi =0}，因此{\displaystyle {{e}^{{i}\,{\pi }}}=-1}，最終得到歐拉恒等式{\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}。
用途
萊昂哈德·歐拉這個公式已經融合于廣義相對論和量子力學結合的m理論，成為虛時間的基本架構。也是光量子糾纏的數學表示。
與歐拉恒等式有關的文學作品
《博士熱愛的算式》（博士の愛した數式），小川洋子著，臺灣版本由王蘊潔翻譯，二版，麥田出版社，2008年，ISBN 978-986-173-408-8。該作品中提到了歐拉恒等式，展現了數學在文學作品中的魅力。
參考資料 >
歐拉公式.history-maps.com.2024-01-25
歐拉公式在高中三角函數教學中的應用.m.fx361.com.2024-01-25
我們一切人的老師----萊昂哈德·歐拉.fjscdsxxh.com.2024-01-25
最美的十個數學公式.微信公眾號.2024-08-05
歐拉公式——真正的宇宙第一公式.微信公眾平臺.2024-08-03
歐拉公式 Euler‘s formula.pianshen.2024-08-12
content.個人圖書館.2024-08-03
博士熱愛的算式.豆瓣.2024-08-05
博士的愛情算式.簡書.2024-08-03