解析幾何（Analytic Geometry），又被稱作坐標幾何或卡式幾何，早先被叫做笛卡爾幾何，是一種借助于解析式進行圖形研究的幾何學分支。解析幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分，其要旨是把幾何問題歸結為代數問題，借助坐標系用代數學的方法進行計算和證明，從而解決幾何問題。
1637年，勒內·笛卡爾在著作《科學中正確運用理性和追求真理的方法論》的附錄《幾何學》中提出了解析幾何的基本方法。解析幾何的原意，即經典解析方法，是用解析幾何研究幾何做圖并根據方程討論一些幾何性質。一直到十八世紀末，解析幾何才成為普遍使用的名詞。解析幾何最早是用代數的方法來解析的，因此代數學也被看成是數學分析的一支。 對代數幾何學者來說，解析幾何也指（實或者復）流形，或者更廣義地通過一些復變量（或實變量）的解析函數為零而定義的解析空間理論。
解析幾何有一些基本概念，如向量，坐標，圖形的方程等。研究解析幾何時會采用許多方法，如坐標表示法，坐標變換等，它們將數與形結合起來，使幾何問題代數化。解析幾何是數學中最基本的學科之一，也是科學技術中最基本的數學工具。 它的發展為計算機的發展鋪平了道路。現代解析幾何的思想和方法也廣泛應用于物理學、工程學、光學等領域。
發展歷史
17 世紀早期，生產和科技的發展導致一系列重要事件發生，如德國天文學家約翰尼斯·開普勒發現行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略·伽利萊發現投擲物體試驗著拋物線運動的。這使得人們發現，圓錐曲線不僅是依附在圓錐上的靜態曲線，而且與自然界物體運動密切相關。這些發現都涉及圓錐曲線等復雜曲線的研究。當時，數學體系的核心是歐式幾何。歐氏幾何雖有嚴密的公理化邏輯體系，但僅局限于對直線和圓所組成圖形的演繹，面對橢圓、拋物線這些新奇圖形及它們的運動規律，歐氏幾何力不從心。這些，促使人們去尋找解決問題的新的數學方法。
數學史上，法國數學家勒內·笛卡爾（法語：René Descartes）與皮耶·德·費瑪（法語：Pierre de Fermat）被普遍認為是解析幾何的共同創始人。1637年，笛卡兒發表了著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》(簡稱《方法論》) ，這本書有三篇附錄。笛卡爾對解析幾何的貢獻就在第三篇附錄《幾何學》中。在這篇附錄中，他提出了幾種由機械運動生成的新曲線。此外，皮埃爾·德·費馬也為解析幾何的發展做出了貢獻。他的《平面與立體軌跡引論》(Ad locos planos et solidos isagoge) 雖然沒能在生前發表，但手稿于1637年在巴黎出現，正好早于勒內·笛卡爾的《方法論》。《平面與立體軌跡引論》從研究不定方程解的作圖問題出發 ,也闡述了解析幾何原理，為解析幾何提供了鋪墊。
費馬與笛卡兒方法的不同在于出發點。笛卡爾的中心思想是把算術、代數、幾何統一起來，將一個數學問題化為代數問題，再把代數問題歸結到去解一個方程式。為了實現上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經緯制度出發，指出平面上的點和實數對的對應關系。與的不同數值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數的方法研究曲線的性質。而在《平面和立體軌跡引論》中，皮耶·德·費瑪解析地定義了許多新的曲線。勒內·笛卡爾從幾何曲線開始，以代數公式（方程）告終；費馬則從代數公式開始，然后來描述它的幾何曲線。這正是解析幾何基本原則的兩個相反的方面。結果，笛卡兒的方法可以處理更復雜的方程，并發展到使用高次多項式來解決問題。
1692年，坐標、橫坐標、縱坐標等術語由戈特弗里德·萊布尼茨提出的。1733年，克雷洛出版了《關于雙重曲率曲線的研究》一書，這是最早的一部空間解析幾何著作。1748年，歐拉寫成《無窮分析概要》，是符合現代意義的第一部解析幾何學教程，這本書的特色包括：立體解析幾何的系統研究，極坐標的使用，曲線參數表示法的引入等等。1788年，約瑟夫·拉格朗日開始研究有向線段的理論。1844年，赫爾曼·格拉斯曼提出了多維空間的概念，并引入向量的記號，于是多維解析幾何出現了。
此外，解析幾何的發展也和代數的進步息息相關。法國數學家韋達在十六世紀末期創立的符號代數學使代數學從過去以分析解決特殊問題、偏重于計算的一個數學分支，轉變成一門研究一般類型和方法的學科，也使代數依賴于幾何的地位開始逆轉。這為由幾何曲線建立代數方程并由代數方程來研究幾何曲線鋪平了道路。
解析幾何為后來倒換代數和幾何的地位鋪平了道路。解析幾何在近代的發展，產生了無窮維解析幾何和代數幾何等一些分支。解析幾何最早是用代數的方法來解析的，因此代數學也被看成是數學分析的一支。作為經典解析幾何推廣的數學分支代數幾何，已成為利用抽象代數的方法，對代數簇進行研究的一門學科。
代數幾何與解析幾何是兩個關系密切的學科。法國數學家塞爾（法語：Jean-Pierre Serre）在他的論文《代數幾何與解析幾何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)中闡述了現代解析幾何和代數幾何的關系。在這篇論文中，解析幾何指復解析簇的幾何。解析簇(analytic variety)定義為幾個解析函數的共同解集。代數簇與解析簇的相似性也在論文中得到了證明。然而，這兩個學科依然有其獨特性，證明方式也十分不同，代數幾何也包括幾何的有限特征。對代數幾何學者來說，解析幾何也指（實或者復）流形，或者更廣義地通過一些復變數（或實變數）的解析函數為零而定義的解析空間理論。
基本思想和概念
基本思想
解析幾何的基本思想有如下要點：
第二，建立坐標系后，空間中的向量有了向量的坐標表示，進而可以用數量計算討論點及向量的共線關系。
第三，利用點或向量間的空間關系，曲線或曲面得以確定。從而建立起曲線或曲面與代數方程之間的一一對應關系，因而就能用代數方法研究幾何問題。
基本概念
向量
既有大小又有方向的量稱為向量（或矢量）。一個向量可以用一條有向線段來表示，用這條線段的長度來表示的大小（或長度），用起點到終點 的指向表示向量 的方向。
零向量是大小為零的向量，記作。零向量是唯一方向不確定的向量。
向量的加法
對向量,作有向線段表示，有向線段表示，把表示的向量稱為和的和，記作（如下圖）。
向量的加法適合下述規律：
向量的數量乘法
實數與向量的乘積是一個向量，長度為。對任意向量和實數，向量的數量乘法適合如下規律：
坐標
坐標系的實質是平面或空間中點到有序數組的對應關系。為此首先要建立一個參考系，即坐標標架。最常見的是笛卡爾坐標系，即直角坐標系。平面上兩條互相垂直并且以交點為零點的兩條數軸構成一個平面直角標架。平面內任何一點的坐標根據數軸上對應的點的坐標設定。在平面直角坐標系中，每個點都有坐標對應水平位置，坐標對應垂直位置。這樣，平面上的點被記為有序對。笛卡爾坐標系也可以被用在三維幾何當中，類似地，空間中的每個點被記為多元組。
此外，還有極坐標系等。在平面取定一條射線，就得到一個平面的極坐標系。其中每個點都以從原點出發的半徑和到取定射線的角度表示。在三維空間中，最常見的另類坐標系統是圓柱坐標系和球坐標系。
圖形與方程
當空間取定一個坐標系后，空間中的圖像就可建立方程。通過方程，就可用代數方法來研究圖形。對于一個圖形，如果圖形上的點的坐標滿足某種數量關系而圖形外的點不滿足，就把這個數量關系稱為這個圖形的一個方程。例如在一個直角坐標系中，以點為球心，半徑為2的球面的點的坐標滿足方程式
，
而不在球面上的點都不滿足這個方程。反過來，以為變量的方程式（組）決定一個圖形。一個三元方程的解對應的坐標系的點的集合構成的圖形被稱作這個方程式（組）的圖像。在三維空間直角坐標系中，方程的所有解的集合為。這個解集決定的點集就是平面，即方程的圖像是平面。
基本方法
向量的坐標表示
在空間建立一個直角坐標系，沿軸，軸，軸的正方向各取單位向量依次記為，稱為空間直角坐標系的三個基本單位向量。設坐標原點為，則空間中任意點對應的向量， 稱為點的位置向量。這樣可以建立空間點與向量的一一對應
，
為基本單位向量，. 設向量的坐標分別是，則
距離
設空間中兩點為和，則向量可以記作。點和的距離為
。
方向余弦
有空間點，設向量與夾角分別為這些夾角稱為向量的方向角，稱為方向余弦。易得
向量及點的共線問題
有了向量的坐標表示后，可以把向量的線性運算解決幾何問題的計算過程數量化。在幾何上，平面上的一點和兩個與此平面平行的不共線向量決定一張平面。因此，討論點及向量的共線關系是求出平面方程的基礎。
向量平行
設在一個空間坐標系中，向量的坐標是，則，
.
證明： 不妨設，（如果等于零向量則顯然成立）
因為，所以存在實數，使得。于是，
.
不妨假定，記，即，從而
于是，從而.
三點共線
設平面直角坐標系中三點的坐標為,則三點共線等價于
.
證明：三點共線
.
坐標變換
在不同的坐標系中，點的坐標不同，從而圖形的方程也不相同。在一些情形中，圖形在事先給定的坐標系中的方程比較復雜，這時我們需要選擇另一個合適的坐標系，使這個方程的圖像變得比較簡單。
設和是空間中兩個不同的直角坐標系，這里，和是兩個坐標系的原點，和分別是兩個坐標系的基本單位向量。點在兩個坐標系下的坐標分別是和。 下面，來看兩種坐標之間的關系。
平移
設和的坐標系坐標軸方向相同，原點不同，即， 。 且有點在兩個坐標系下的方向向量為
，
在坐標系下的坐標為，即
。
根據，則有
，
因此，得到平移時的坐標變換公式
。
旋轉??
設和的坐標系原點相同，但坐標軸方向不同。假設坐標系可由坐標系繞向量軸逆時針旋轉后得到，那么對于空間中的點，它在坐標轉換公式是
.
應用
解析幾何是數學中最基本的學科之一，也是科學技術中最基本的數學工具。它的生產和發展，曾在數學的發展過程中起著重要的作用，是大多數現代幾何領域的基礎，并且已經被應用到更多領域。
在計算機圖形學中的應用
解析幾何的發明也為計算機的發展鋪平了道路。計算機圖形學主要研究用計算機及其圖形設備來輸入、表示、交換、運算和輸出圖形的原理。計算機的圖形顯示是依賴于幾何坐標實現的。只要是計算機圖形軟件，其內部的機理本質上就是空間坐標的運算。幾何變換，如常見的空間平移、按特定位置旋轉、按比例要求縮放和仿射變換等都在計算機圖像中涉及到。計算機圖像的幾何變換實質是改變圖像像素空間位置，按照變化關系計算圖像在新空間的像素值，而這些都涉及到解析幾何的知識。
在生產生活中的應用
解析幾何對曲線的研究使人們對曲線的性質認識更深刻，橢圓、雙曲線、拋物線等等被廣泛應用在生產或生活中，特別表現在物理學、工程學、光學等方面的應用。在物理學中，解析幾何用于描述二維和三維物體的運動。例如，在射彈研究中，解析幾何用于確定射彈在空氣中移動時的軌跡。在工程中，解析幾何用于機械系統的設計和分析。在航空領域，解析幾何用于計算飛機和火箭的軌跡；在空間科學中，解析幾何用于計算航天器和衛星的軌跡。根據拋物線的性質，牛頓制成了反射望遠鏡。聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛星的天線、射電望遠鏡等也都是利用拋物線的原理制成的。
參考資料 >
幾何之解析幾何.華北水利水電大學.2023-12-01
1. 向量與坐標系.空間解析幾何.2023-12-01