軌跡方程，是與幾何軌跡對(duì)應(yīng)的代數(shù)描述，符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說(shuō)，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡。一般地說(shuō)，如果一個(gè)方程反映了軌跡上所有點(diǎn)的共同性質(zhì)。且方程和軌跡之間滿足：軌跡上所有點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程；坐標(biāo)適合方程的所有點(diǎn)都在軌跡，則把方程稱為軌跡（或曲線）的方程，而軌跡稱為方程的曲線。
1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒內(nèi)·笛卡爾（René Descartes）發(fā)表了《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》（簡(jiǎn)稱《方法論》）一書(shū)，在書(shū)中三個(gè)附錄之一的《幾何學(xué)》中，笛卡兒闡述了解析幾何原理，他提出了幾何軌跡的代數(shù)方程，并對(duì)幾何代數(shù)化方法的可行性進(jìn)行了驗(yàn)證，曲線與方程的概念隨之形成。
軌跡方程除了在軌跡理論中自身上的應(yīng)用外，在自然科學(xué)領(lǐng)域里，尤其在物理學(xué)上，軌跡方程的應(yīng)用是非常多的。小至原子、分子運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而流體力學(xué)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)、航海、軍事科學(xué)，大至人造衛(wèi)星、天體軌道等，都需要應(yīng)用軌跡方程的理論。
定義
符合一定條件的動(dòng)點(diǎn)所形成的圖形，或者說(shuō)，符合一定條件的點(diǎn)的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點(diǎn)的軌跡．
軌跡，包含兩個(gè)方面的問(wèn)題：凡在軌跡上的點(diǎn)都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點(diǎn)都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點(diǎn)必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）．
平面軌跡一般是曲線，空間軌跡一般是曲面。 【例如】A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，k（>0）是一個(gè)常數(shù)，滿足MA:MB=k的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡：
在平面上表示一條直線（k=1）或一個(gè)圓周（k≠1）；
在空間內(nèi)表示一條平面（k=1）或一個(gè)球面（k≠1）。
【軌跡方程】就是與 幾何軌跡對(duì)應(yīng)的 代數(shù)描述。
解法
一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟
⒈建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo);
⒉寫(xiě)出點(diǎn)M的集合；
⒊列出方程=0;
⒋化簡(jiǎn)方程為最簡(jiǎn)形式；
⒌檢驗(yàn).
二、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法：
求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法和交軌法等.
⒈直譯法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡(jiǎn)后即得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法.
⒉定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫(xiě)出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法.
⒊相關(guān)點(diǎn)法：用動(dòng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)x,y表示相關(guān)點(diǎn)P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點(diǎn)P的坐標(biāo)（x0,y0）所滿足的曲線方程，整理化簡(jiǎn)便得到動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法.
⒋參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時(shí)，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法.
⒌交軌法：將兩動(dòng)曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法.
*直譯法：求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的一般步驟
①建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；
②設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P（x，y）；
③列式——列出動(dòng)點(diǎn)p所滿足的關(guān)系式；
④代換——依條件的特點(diǎn)，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X,Y的方程式，并化簡(jiǎn)；
⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程。
典型例題
典型例題
例1、已知Q點(diǎn)是雙曲線上異于二頂點(diǎn)的一動(dòng)點(diǎn)，一級(jí)方程式錦標(biāo)賽、F2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，從F2點(diǎn)向∠F1QF2的平分線作垂線F2P，垂足為P點(diǎn)，求P點(diǎn)的軌跡方程
分析：注意圖形的幾何性質(zhì)，聯(lián)想到雙曲線的定義，可考慮用定義法求軌跡方程.
解答：如圖，連結(jié)OP，則由角平分線的性質(zhì)，
得|AQ|=|F2Q|.
由三角形中位線性質(zhì)，得.
.
（若點(diǎn)Q在雙曲線的左支上時(shí)，應(yīng)為）.
即.∴P點(diǎn)軌跡方程即為.
例2、設(shè)動(dòng)圓C的對(duì)稱軸平行于坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，且以y軸為左準(zhǔn)線，左頂點(diǎn)A在拋物線y2=x-1上移動(dòng)，求這些橢圓的中心C的軌跡方程.
分析：A點(diǎn)和C點(diǎn)是一對(duì)相關(guān)點(diǎn)，設(shè)法將A點(diǎn)的坐標(biāo)用C點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)，用相關(guān)點(diǎn)法求C的軌跡方程
解答：設(shè)中心C的坐標(biāo)（x,y），則A的坐標(biāo)為（x-2,y），又A在拋物線y2=x-1上中國(guó)移動(dòng)通信集團(tuán)
∴y2=（x-2）-1，即y2=x-3，此即所求C的軌跡方程.
另外，問(wèn)題也可用參數(shù)法求解.
∵左頂點(diǎn)A在拋物線y2=x-1上移動(dòng)，
∴設(shè)A（t2+1,t)（t為參數(shù)）.
∵y=yA=t，①
∵2a=4，∴a=2，∴x=xA+2=t2+3. ②
由①、②消去參數(shù)t，得中心C的軌跡方程是y2=x-3.
例3、如圖，P是拋物線C：上一點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線C交于另一點(diǎn)Q.若直線l與過(guò)點(diǎn)P的切線垂直，求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程
分析：這是2004年全國(guó)高考題（福建省卷）理科的壓軸題，依題意直線l的方程可用P的橫坐標(biāo)表達(dá)，于是選擇以P的橫坐標(biāo)為參數(shù)，用參數(shù)法求解動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.
解答：設(shè)P（x1,y1），M（x0,y0），其中x1≠0.
由，①
由，∴過(guò)點(diǎn)P的切線的斜率k切=x1,
∴直線l的斜率，
直線l的方程為 ②
聯(lián)立①②消去y，得.
∵M(jìn)為PQ的中點(diǎn)，∴
消去x1，得.
∴PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為.
另外，此題屬"中點(diǎn)弦"的問(wèn)題，可考慮用"點(diǎn)差法"來(lái)處理。探求x0與x1的關(guān)系.
設(shè)P2（x2,y2），于是由.
得，
則，
將上式代入②并整理，得.
例4、已知常數(shù)a>0，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)（如圖）.問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析：這是一道探索性問(wèn)題，首先求出P點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，再根據(jù)此判斷是否存在兩定點(diǎn)，使P到兩定點(diǎn)的距離之和為定值。鑒于P為兩直線GE和OF的交點(diǎn)，可用交軌法求解P的軌跡方程
解答：以O(shè)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖的直線坐標(biāo)系.
按題意有A（-2,0),B（2,0),C（2,4a),D（-2,4a).
設(shè)（0≤k≤1），
由此有E（2,4ak),F（2-4k,4a),G（-2,4a-4ak).
直線OF的方程為：2ax+（2k-1）y=0，①
直線GE的方程為：-a（2k-1）x+y-2a=0，②
從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P（x,y）坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0,
整理得.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離和為定長(zhǎng).
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值.
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為定值2a.
例5、動(dòng)直線l過(guò)定點(diǎn)A（2,0），且與拋物線y=x2+2相交于不同的兩點(diǎn)B和C，點(diǎn)B和C在x軸上的射影分別是B′和C′（如圖），P是線段BC上的點(diǎn)，并滿足關(guān)系式|BP|∶|PC|=|BB′|∶|CC′|，求POA的重心G的軌跡方程
分析：本題是一道較復(fù)雜的軌跡綜合題，動(dòng)點(diǎn)G的位置取決于P點(diǎn)的位置，即P是G的相關(guān)點(diǎn)，又P在動(dòng)直線l上，l繞定點(diǎn)A（2,0）而動(dòng)，依前所述，選用斜率k為參數(shù)較合理，又相應(yīng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，還要滿足這一比值，這又出現(xiàn)了另一參數(shù)λ，為多元參數(shù).
解答：設(shè)直線l的斜率為k，顯然l與x軸垂直時(shí)，l與拋物線不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故l的方程為y=k（x-2） .將它與拋物線方程聯(lián)立，消去y得x2-kx+2+2k=0.
此方程有兩個(gè)不同實(shí)根的充要條件是=k2-4（2+2k)=k2-8k-8=0.
解得，或. ①
設(shè)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1），（x2,y2），則x1+x2=k,x1x2=2+2k. ②
令③設(shè)，依定比分點(diǎn)公式，有④設(shè)動(dòng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x,y），則將④、③、②分別代入上式并注意到，
可得 消去k得12x―3y―4=0.
另外，由可得，代入①，得，或.
解之得（并注意到y(tǒng)≠4）.，若.
因此，POA的重心G的軌跡方程為12x-3y-4=0.
其中.
它表示一條除去端點(diǎn)及其點(diǎn)的線段.
點(diǎn)評(píng)：解決本題時(shí)，應(yīng)充分注意所求軌跡方程中y的取值范圍，這是最容易出現(xiàn)失誤的，甚至可能發(fā)生根本不去求出k的范圍，而誤認(rèn)為所求的軌跡方程為12x-3y-4=0.
例6、如圖所示，給出定點(diǎn)A（a,0）和直線l:x=-1,B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系.
分析一：借助交軌法和參數(shù)法，并利用角平分線上一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解題.
解答一：依題意，記B（-1,b),（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0或y=-bx，設(shè)點(diǎn)C（x,y），則有0≤x據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得. ①
由于點(diǎn)C在直線AB上，故有.
由x-a≠0，得. ②
將②代入①得.
整理，得，
若y≠0，則（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0（0若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,0），滿足上式.
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0（0≤x⑴當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x（0≤x<1），此時(shí)，方程表示拋物線弧段.
⑵當(dāng)a≠1時(shí)，軌跡方程化為.
所以，當(dāng)0當(dāng)a>1時(shí)，方程表示雙曲線一支的弧段.
分析二：借助兩倍角的正切公式解題.
解答二：如圖所示，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x,E是垂足.
⑴當(dāng)|BD|≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C（x,y），則0由CE//BD，得.
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD，又2∠COA=π-∠BOD.
∴.
整理，得.
⑵當(dāng)|BD|=0時(shí)，∠BOA=，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,0），滿足上式.
綜合⑴、⑵，得點(diǎn)C的軌跡方程為（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0（0以下同解法一.
分析三：由于C、A、B三點(diǎn)在一直線上，而A、B在特殊直線上，故可構(gòu)造定比分點(diǎn)公式模型解決本題.
解答三：設(shè)C（x,y），其中0≤x∵OC平分∠AOB，∴，從而，
由定比分點(diǎn)公式 即
分別用b2、代入有，
化簡(jiǎn)得.
以下同解法一.
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于本題給出的三種解法，實(shí)質(zhì)上是分別從三種不同的角度去審視問(wèn)題的結(jié)果。這同時(shí)也表明，即使是一個(gè)較難的問(wèn)題，只要我們深入地挖掘問(wèn)題的各種知識(shí)背景，就完全有可能找出一個(gè)個(gè)異彩紛呈的解法，從而由此提高綜合分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力以及增強(qiáng)解題的創(chuàng)新意識(shí).
總之，在解決求解軌跡方程問(wèn)題時(shí)，要重視基該方法的綜合運(yùn)用，要有意識(shí)地去觀察圖形的幾何性質(zhì)，要合理地去選擇參數(shù)，還應(yīng)特別留意軌跡的完備性和純粹性.
鞏固練習(xí)
⒈一動(dòng)圓與兩圓x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，則動(dòng)圓圓心軌跡是（)
⒉已知點(diǎn)P在直線x=2上移動(dòng)，直線l通過(guò)原點(diǎn)且與OP垂直，通過(guò)點(diǎn)A（1,0）及點(diǎn)P的直線m和直線l交于Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程.
⒊如圖，設(shè)點(diǎn)A和B為拋物線y=4px（p>0）上原點(diǎn)以外的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，已知OA⊥OB,OM⊥AB.求點(diǎn)M的軌跡方程
⒋已知橢圓直線l:.P是l上一點(diǎn)。射線OP交橢圓于點(diǎn)R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|·|OP|=|OR|2，當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線
參考答案：
⒈C
⒉
⒊x2+y2-4px=0（x≠0)
⒋點(diǎn)Q的軌跡方程為（其中x,y不同時(shí)為零），其軌跡是以（1,1）為中心，長(zhǎng)短半軸分別為和且長(zhǎng)軸與x軸平行的橢圓，去掉坐標(biāo)原點(diǎn).
數(shù)學(xué)應(yīng)用題的解題方法
應(yīng)用問(wèn)題是考查應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)和能力的極好題型，它題材貼近生活，涉及知識(shí)面廣，題型功能豐富，增加應(yīng)用性與能力性試題是高考改革的方向，解決實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用題已成為高考的熱點(diǎn).
解答應(yīng)用問(wèn)題就是在閱讀材料，理解題意的基礎(chǔ)上，把實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，再利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析、研究，得到數(shù)學(xué)答案，然后再把數(shù)學(xué)答案返回到實(shí)際問(wèn)題中去，獲取具有實(shí)際意義的結(jié)論，求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，可以用示意圖表示為：
下面就應(yīng)用題常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型舉一些實(shí)例，以求開(kāi)闊同學(xué)們的思維，受到一些啟示.
⒈建立函數(shù)模型
例1、某小區(qū)欲建一面積為a平方米的矩形綠地，四周有小路，綠地長(zhǎng)邊外小路寬為5米，短邊外小路8米（如圖）.綠地長(zhǎng)邊至多長(zhǎng)28米，至少長(zhǎng)20米。對(duì)于給定的a（300≤a≤700），怎樣設(shè)計(jì)綠地的長(zhǎng)寬使綠地和小路總占地面積最小?
分析：引入長(zhǎng)邊長(zhǎng)為自變量x，建立關(guān)于總占地面積的目標(biāo)函數(shù)x，再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式知識(shí)求解.
解答：設(shè)綠地的長(zhǎng)邊為x米（x>0），則短邊為米，且。總占地為S平方米
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式中等號(hào)成立，滿足等號(hào)成立的充要條件為：
即250≤a≤490.又依條件300≤a≤700.
故⑴當(dāng)300≤a≤490，即時(shí),S有最小值，此時(shí)長(zhǎng)為，寬為米.
⑵當(dāng)490≤a≤700時(shí)，設(shè).
.
這是因?yàn)?0≤x≤28,a>490，使得28-x≥0,16a>7840≥280x的緣故.
因此，當(dāng)x=28時(shí)，S有最小值，并注意到此時(shí).
點(diǎn)評(píng)：求解函數(shù)模型經(jīng)常要用到不等式的知識(shí)，有兩點(diǎn)特別值得注意，一是函數(shù)自變量范圍應(yīng)在實(shí)際意義下考慮；二是在利用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，必須要檢驗(yàn)等號(hào)是否能夠成立.
例2、制定投資計(jì)劃時(shí)，不僅考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.
某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目。根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確保可能的資金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元。問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大?
分析：這是今年江蘇高考試題，可將總盈利z表達(dá)成甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目的投資額x、y的目標(biāo)函數(shù)z（x、y），問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為在x、y約束條件（不等關(guān)系）的最值問(wèn)題，可借助線性規(guī)劃知識(shí)求解.
解答：設(shè)投資人分別用x萬(wàn)元、y萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，
由題意知，
目標(biāo)函數(shù)z=x+0.5y.
上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.
作直線l0:x+0.5y=0，并作平行于直線l0的直線x+0.5y=z（z∈R），與可行域相交，其中有一條直線經(jīng)過(guò)可行域上的M點(diǎn)，且與直線x+0.5y=0的距離最大。這里M點(diǎn)是直線x+y=10和0.3x+0.1y=1.8交點(diǎn).
解方程組，得x=4,y=6.
此時(shí)z=4+0.5*6=7（萬(wàn)元）.∴當(dāng)x=4,y=6時(shí)，z取得最大值.
答：投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大.
點(diǎn)評(píng)：這是一道線性規(guī)劃問(wèn)題，是運(yùn)籌學(xué)中最基礎(chǔ)的內(nèi)容，可用中學(xué)知識(shí)求解。一般采用的方法有目標(biāo)函數(shù)分析法和圖解法。學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)的主要困難之處在于不會(huì)把約束條件中的多個(gè)等式或不等式與所求目標(biāo)溝通起來(lái)，關(guān)于簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題，高中數(shù)學(xué)新教材中已增加了此項(xiàng)內(nèi)容，我們?cè)趶?fù)習(xí)過(guò)程中應(yīng)給予一定的重視.
⒉建立數(shù)列模型
例3、某城市2001年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛?
分析：引入新增汽車數(shù)量為未知數(shù)，以各年末的汽車保有量為項(xiàng)建立數(shù)列模型，借助數(shù)列知識(shí)求解.
解答：2001年末汽車保有量為b1萬(wàn)輛，以后各年末汽車保有量依次為b2萬(wàn)輛，b3萬(wàn)輛，…，每年新增汽車x萬(wàn)輛，則：
b1=30,b2=b1*0.94+x.
對(duì)于n>1，有bn+1=bn*0.94+x=bn-1*0.94x2+（1+0.94）x,
……
當(dāng)，即x≤1.8時(shí)，bn+1≤bn≤…≤b1=30.
當(dāng)，即x>1.8時(shí)，.
并且數(shù)列{bn}逐項(xiàng)增加，可以任意靠近.
因此，如果要求汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即bn≤60（n=1,2,3，…）.
則，即x≤3.6（萬(wàn)輛）.
綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛.
評(píng)注：求數(shù)列的通項(xiàng)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，對(duì)于遞推式bn+1=bn*0.94+x，也可作如下化歸處理：
另外還應(yīng)有一點(diǎn)極限知識(shí)才行.
例4、為了保護(hù)三峽庫(kù)區(qū)的生態(tài)環(huán)境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要綠化造林，經(jīng)初步統(tǒng)計(jì)，在三峽庫(kù)區(qū)坡度大于25°的坡荒地面積約有2640萬(wàn)畝，若從2003年初開(kāi)始綠化造林，第一年造林120萬(wàn)畝，以后每年比前一年多綠化60萬(wàn)畝.
⑴若所有被綠化造林的坡荒地全部綠化成功，問(wèn)到哪一年底可使庫(kù)區(qū)的坡荒地全部綠化?
⑵若每萬(wàn)畝綠化造林所植樹(shù)苗的木材量平均為0.1萬(wàn)立方米，每年樹(shù)木木材量的自然增長(zhǎng)率為20%，那么當(dāng)整個(gè)庫(kù)區(qū)25°以上荒地全部綠化完的那一年底，一共有木材多少萬(wàn)立方米?（保留1位小數(shù)，1.29=5.16,1.28=4.30）
分析：每年綠化面積成一等差數(shù)列，某年的造林量所形成的以后各年的木材量成一等比數(shù)列.
解答：⑴設(shè)a1=120,d=60，第n年后可以使綠化任務(wù)完成。則有
.
解得n≥8.故到2010年，可以使庫(kù)區(qū)為25°以上的坡地全部綠化
⑵∵2010年初造林?jǐn)?shù)量為：a8=120+7*60=540（萬(wàn)畝）,
設(shè)到2010年木材總量為S，依題意有：
令⑴
兩邊乘以1.2得⑵
⑵-⑴得，∴S=6*90.6=543.6（萬(wàn)立方米）
答：到2010年底共有木材543.6萬(wàn)立方米
點(diǎn)評(píng)：解決與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題，要仔細(xì)弄清題意，搞清是等差數(shù)列還是等比數(shù)列的問(wèn)題，是求某一項(xiàng)還是求和的問(wèn)題以及項(xiàng)數(shù)是多少等等，然后根據(jù)有關(guān)結(jié)論進(jìn)行計(jì)算證明
⒊建立幾何模型
例5、A、B、C是我方三個(gè)炮兵陣地，A在B的正東，相距6km,C在B的北偏西30°方向上，相距4km,P為敵炮陣地。某時(shí)刻A地發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號(hào)，由于B、C兩地比A地距離P較遠(yuǎn)，因此4秒鐘后，B、C才同時(shí)發(fā)現(xiàn)這一信號(hào)（已知該信號(hào)的傳播速度為每秒1km),A若炮擊P地，求炮擊的方位角
分析：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵是要確定P點(diǎn)的位置，注意到P點(diǎn)滿足的條件|PB|-|PA|=4，且|PB|=|PC|，聯(lián)想到雙曲線的定義和中垂線的性質(zhì)，可通過(guò)建立坐標(biāo)系，用解析幾何模型求解.
解答：如圖，以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BA所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（3,0),B（-3,0),C（-5,).
∵|PB|-|PA|=4，∴點(diǎn)P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上.
該雙曲線右支的方程是. ①
又|PB|=|PC|，∴點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上，該直線的方程為.②
將②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或（舍），于是可得.
又.
故點(diǎn)P在點(diǎn)A的北偏東30°方向上，即A地炮擊P地的方位角是北偏東30°.
例6、現(xiàn)有一放置乒乓球的圓柱形桶，其內(nèi)徑為（cm），高為40cm，則該桶內(nèi)最多可放置多少個(gè)直徑為4cm的乒乓球?
分析：要解決本例，需要兩個(gè)工作，一是計(jì)算桶內(nèi)一層可放置乒乓球多少個(gè)？它應(yīng)該通過(guò)桶的內(nèi)徑與乒乓球的直徑，及第一層乒乓球在底面上的射影等數(shù)據(jù)與幾何特性進(jìn)行計(jì)算；二是計(jì)算桶內(nèi)最多可放置多少層球？計(jì)算第二個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何求出兩層乒乓球球心所在平面之間的距離，應(yīng)根據(jù)從相鄰兩層球的球心提煉出球心所組成的幾何體，將計(jì)算轉(zhuǎn)移到該幾何體中進(jìn)行.
解答：首先建立如圖1所示的幾何模型，其中⊙O1、⊙O2、⊙臭氧為三個(gè)半徑均為2cm且兩兩外切的圓，這三個(gè)圓又都內(nèi)切于⊙O，顯然O1o2o3是邊長(zhǎng)為4cm的正三角形，它的高為，∴，若⊙O2與⊙O相切于P，則.
故圓O的半徑為，∴其直徑為（cm），因此在內(nèi)徑為cm的桶內(nèi)層可放置3個(gè)直徑為4cm乒乓球
在桶內(nèi)放置第二層球時(shí)，為了使放置的乒乓球盡可能多，因此在放置第二層球時(shí)可以考慮利用第一層乒乓球放置后留下的空檔，故應(yīng)將第二層的三個(gè)球放置的位置相對(duì)于第一層的三個(gè)乒乓球的位置逆時(shí)針（或順時(shí)針）旋轉(zhuǎn)60°.這二層六個(gè)乒乓球的球心可以看作是如圖2所示的正六棱柱下底面上的三頂點(diǎn)A1、B1、C1與上底面上的三個(gè)頂點(diǎn)A2、B2、C2，并且A2B2=4cm，從而我們可以求出這個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)和高.
設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)和高分別為x、h，則A2B22=x2+x2-2x2cos120,
.
又.
這樣我們就求得了二層乒乓球的球心所在平面間的距離，若設(shè)這個(gè)桶內(nèi)放置了n層的乒乓球，則n應(yīng)滿足：.
，
又由于，故（n-1）≤11，∴n≤12.
所以這桶內(nèi)最多可放置12層乒乓球，每層有3個(gè)，故這個(gè)桶內(nèi)最多可放置36個(gè)乒乓球
點(diǎn)評(píng)：本例我們建立了兩個(gè)幾何換型，關(guān)鍵是建立了桶內(nèi)相鄰兩層球中每一個(gè)球的球心及它們?cè)诹硪粚忧蛐乃谄矫嫔系?a href="/hebeideji/6058322291370742882.html">射影共12個(gè)點(diǎn)組成的一個(gè)正六棱柱（如圖2）這一幾何模型
除了上述列舉的三種常用應(yīng)用題型外，還有三角型，排列組合型，概率型等其它模型，學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)多思多想，加強(qiáng)歸納總結(jié)，善于抓住主干，合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，不斷提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)和應(yīng)用能力
參考資料 >