曲線，是導(dǎo)數(shù)幾何學(xué)研究的主要對(duì)象之一。直觀上，曲線可看成空間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學(xué)科。為了能夠應(yīng)用微積分的知識(shí)，我們不能考慮一切曲線，甚至不能考慮連續(xù)曲線，因?yàn)檫B續(xù)不一定可微。這就要我們考慮可微曲線。但是可微曲線也是不太好的，因?yàn)榭赡艽嬖谀承┣€，在某點(diǎn)切線的方向不是確定的，這就使得我們無(wú)法從切線開始入手，這就需要我們來研究導(dǎo)數(shù)處處不為零的這一類曲線，我們稱它們?yōu)檎齽t曲線。正則曲線才是經(jīng)典曲線論的主要研究對(duì)象。
數(shù)學(xué)名詞
基本定義
按照經(jīng)典的定義，從(a,b)到R3中的連續(xù)映射就是一條曲線，這相當(dāng)于是說：
(1)R3中的曲線是一個(gè)一維空間的連續(xù)像，因此是一維的。
(2)R3中的曲線可以通過直線做各種扭曲得到。
(3)說參數(shù)的某個(gè)值，就是說曲線上的一個(gè)點(diǎn)，但是反過來不一定，因?yàn)槲覀兛梢钥紤]自交的曲線。
微分幾何就是利用微積分來研究幾何的學(xué)科。
曲線：任何一根連續(xù)的線條都稱為曲線。包括直線、折線、線段、圓弧等。曲線是1-2維的圖形，參考《分?jǐn)?shù)維空間》。處處轉(zhuǎn)折的曲線一般具有無(wú)窮大的長(zhǎng)度和零的面積，這時(shí)，曲線本身就是一個(gè)大于1小于2維的空間。導(dǎo)數(shù)幾何學(xué)研究的主要對(duì)象之一。直觀上，曲線可看成空間質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。曲線的更嚴(yán)格的定義是區(qū)間α，b)到E3中的映射r:α,b)E3。有時(shí)也把這映射的像稱為曲線。
具體地說，設(shè)Oxyz是歐氏空間E3中的勒內(nèi)·笛卡爾直角坐標(biāo)系，r為曲線C上點(diǎn)的向徑，于是有。上式稱為曲線C的參數(shù)方程，t稱為曲線C的參數(shù)，并且按照參數(shù)增加的方向自然地確定了曲線C的正向（圖1）。曲線論中常討論正則曲線，即其三個(gè)坐標(biāo)函數(shù)x(t)，y(t)，z(t)的偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)且對(duì)任意t不同時(shí)為零的曲線。對(duì)于正則曲線，總可取其弧長(zhǎng)s作為參數(shù)，它稱為自然參數(shù)或弧長(zhǎng)參數(shù)。弧長(zhǎng)參數(shù)s用來定義，它表示曲線C從r(α)到r(t)之間的長(zhǎng)度，以下還假定曲線C的坐標(biāo)函數(shù)都具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即曲線是C3階的。
基本公式
設(shè)正則曲線C的參數(shù)方程為r=r(s)，s是弧長(zhǎng)參數(shù)，p(s)是曲線C上參數(shù)為s即向徑為r(s)的一個(gè)定點(diǎn)。Q(s+Δs)為C上鄰近p的點(diǎn)，Q沿曲線C趨近于p時(shí)，割線pQ的極限位置稱為曲線C在p點(diǎn)的切線。過p點(diǎn)與切線垂直的平面稱為曲線C在p點(diǎn)的法平面。曲線C在p點(diǎn)的切線及C上鄰近點(diǎn)R確定一個(gè)平面σ,σ的極限位置稱為曲線C在p點(diǎn)的密切平面，它在p點(diǎn)的法線稱為曲線C在p點(diǎn)的次法線，曲線C在p點(diǎn)的切線和次法線決定的平面稱為曲線C在p點(diǎn)的從切平面。p點(diǎn)的法線稱為曲線C在p點(diǎn)的主法線（圖2）。
曲線
以"·"表示關(guān)于弧長(zhǎng)參數(shù)s的導(dǎo)數(shù)，并且設(shè)
那和b(s)=t(s)×n(s)分別是曲線C在p(s)點(diǎn)的切線、主法線和次法線上的單位向量，并且t(s)指向曲線C的正向。n(s)指向曲線凹入的一方。t(s)、n(s)和b(s)按此順序構(gòu)成右手系，且分別稱為曲線C在p(s)點(diǎn)的切向量、主法向量和次法向量。{r(s),t(s),n(s),b(s)}稱為曲線C在p(s)點(diǎn)的弗雷內(nèi)標(biāo)架。
C的每一點(diǎn)都有弗雷內(nèi)標(biāo)架。為研究曲線上兩個(gè)鄰近點(diǎn)上弗雷內(nèi)標(biāo)架之間的變換關(guān)系，要討論t(s)、n(s)和b(s)關(guān)于s的導(dǎo)向量，它們可由標(biāo)架向量線性表出，這就是下述曲線論的基本公式（弗雷內(nèi)公式）：
式中k(s)和τ(s)分別被稱為曲線C在p(s)點(diǎn)的曲率和撓率。
曲率
這是切向量t(s)和t(s+Δs)之間的夾角。故曲率度量了曲線上相鄰兩點(diǎn)的切向量的夾角關(guān)于弧長(zhǎng)的變化率。直線的曲率恒為0。圓周的曲率等于其半徑的倒數(shù)。當(dāng)曲線C在p(s)點(diǎn)的曲率k≠0時(shí)，在p(s)點(diǎn)的主法線上沿n(s)的正向取點(diǎn)Q，使得pQ=1/k,在p點(diǎn)的密切平面上以Q為中心，1/k為半徑的圓稱為曲線C在p點(diǎn)的曲率圓或密切圓，Q和1/k分別稱為曲率中心和曲率半徑。密切圓是過曲線C上p(s)點(diǎn)和鄰近兩點(diǎn)的圓的極限位置。
撓率
撓率，它的絕對(duì)值度量了曲線上鄰近兩點(diǎn)的次法向量之間的夾角對(duì)弧長(zhǎng)的變化率。平面曲線是撓率恒為零的曲線。空間曲線如不是落在一平面上，則稱為撓曲線。
若p0(s0)點(diǎn)的曲率和撓率均不為零，取p0為原點(diǎn)，曲線的切線、主法線和次法線為坐標(biāo)軸，在p0附近，曲線可近似地表示為：
所以曲線C在p0點(diǎn)鄰近的近似形狀。
基本定理
曲線的弧長(zhǎng)s、曲率k(s)和撓率τ(s)是運(yùn)動(dòng)的不變量。反過來，曲線的曲率和撓率也完全決定了曲線的形態(tài)。具體地說，如果給定了兩個(gè)連續(xù)函數(shù)k(s)>0和τ(s),s∈【α,b)】，則存在以k(s)和τ(s)分別為其曲率和撓率的曲線，并且這些曲線經(jīng)過空間的一個(gè)運(yùn)動(dòng)可以互相疊合。
平面曲線
撓率恒為零的曲線為平面曲線。設(shè)Oxy為歐氏平面E2的勒內(nèi)·笛卡爾直角坐標(biāo)系，則平面曲線C的參數(shù)方程為r=r(s)=(x(s),y(s)),s為弧長(zhǎng)參數(shù)，弗雷內(nèi)公式可寫成
這里nr是單位法向量，使t(s)到nr(s)的有向角為。kr(s)稱為相對(duì)曲率，kr>0和kr<0分別表示曲線向左轉(zhuǎn)和向右轉(zhuǎn)。
螺線
C為撓曲線，若其曲率和撓率具有固定比值，稱為螺線。它的特征是切線與一固定方向作成定角。特別，如果曲率和撓率均為非零常數(shù)，那么C是圓柱螺線，即它在圓柱面上且與直母線作固定角。它是質(zhì)點(diǎn)繞一條直線（螺旋軸）等速旋轉(zhuǎn)且又沿這軸線方向等速移動(dòng)時(shí)的軌跡。
貝特朗曲線
撓曲線C若滿足λk(s)+μtau;(s)=1,其中λ、μ為常數(shù)且λ>0,稱為貝特朗曲線。這樣的曲線可與另一條曲建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，使在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線重合。反之，這個(gè)性質(zhì)也是曲線成為貝特朗曲線的充分條件。這樣的C中的每一條都稱為另一條的侶線。兩條貝特朗鋁線在其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線作固定角。
漸縮線與漸伸線
曲線C1的切線為另一條曲線C2的法線，則C1稱為C2的漸縮線或漸屈線，C2稱為C1的漸伸線或漸開線。可以證明與齒廓曲線為漸伸線的齒輪相嚙合的齒輪的齒廓曲線也是漸伸線，通常齒輪的齒廓曲線都采用圓的漸伸線。
整體性質(zhì)
以曲線的全部或確定的一段作為研究對(duì)象時(shí)，就得到曲線的整體的幾何性質(zhì)。設(shè)曲線C的參數(shù)方程為r=r(s)，s∈【α,b)】，s為弧長(zhǎng)參數(shù)，若其始點(diǎn)和終點(diǎn)重合r(α)=r(b))，這時(shí)曲線是閉合的，稱為閉曲線。若它在這點(diǎn)的切向量重合，即r┡(α)=r┡(b))，且自身不再相交，則稱為簡(jiǎn)單閉曲線。對(duì)于正則閉曲線C,把它的切向量t(s)的始點(diǎn)放在原點(diǎn)，t(s)的終點(diǎn)軌跡是單位球面上的一條閉曲線，它稱為曲線C的切線像或切線標(biāo)形。C的切線像的長(zhǎng)度為
等式右方是閉曲線C的曲率k(s)沿C的積分，自然就稱為曲線C的全曲率，表示。正則閉曲線的全曲率等于其切線像的長(zhǎng)度。關(guān)于正則閉曲線的全曲率的界限有下述二定理。
芬切爾定理
正則閉曲線C的全曲率，且等號(hào)僅當(dāng)C為平面凸閉曲線時(shí)成立。這定理給出了正則閉曲線的全曲率的下限，白正國(guó)將此定理推廣到分段光滑的閉曲線。
法里-米爾諾定理
簡(jiǎn)單正則有結(jié)空間閉曲線的全曲。
閉曲線C的撓率τ(s)沿自身的積分
自然就稱為C的全撓率。球面上閉曲線的全撓率等于零，反之，如果非平面的曲面上任意閉曲線的全撓率都等于零，那么這曲面為球面或其一部分。
設(shè)C為平面正則閉曲線，則當(dāng)點(diǎn)繞C一周時(shí)，曲線C的切線像t(s)將在單位圓周上繞若干圈，這個(gè)圈數(shù)ir（以逆時(shí)針向環(huán)繞時(shí)圈數(shù)為正，順時(shí)針向時(shí)為負(fù)）稱為C的旋
轉(zhuǎn)指標(biāo)，可算得：
這里kr(s)是C的相對(duì)曲率。切線回轉(zhuǎn)定理表明：平面簡(jiǎn)單正則閉曲線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)ir等于±1。
將平面上一條定長(zhǎng)的細(xì)繩首尾相接而構(gòu)成一條簡(jiǎn)單閉曲線，它把平面分成以其為公共邊界的二個(gè)部分，它所圍成的區(qū)域的面積為最大時(shí)，其形狀是圓周。有如下更精確的結(jié)論：設(shè)曲線C是長(zhǎng)度為L(zhǎng)的平面正則簡(jiǎn)單閉曲線,A是C所圍區(qū)域的面積，那么L2-4A≥0,并且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)C是圓周時(shí)成立。上述不等式有過種種的推廣，這類問題叫做等周問題。對(duì)于平面曲線，與空間曲線論基本定理相仿，它的形態(tài)由其相對(duì)曲率kr(s)所確定，故kr(s)的極值自然是令人感興趣的。相對(duì)曲率kr(s)的逗留點(diǎn)，的點(diǎn)稱為曲線的頂點(diǎn)，對(duì)于凸閉曲線，即位于其上每一點(diǎn)的切線的一側(cè)的曲線，成立著名的四頂點(diǎn)定理：平面凸閉曲線至少有四個(gè)頂點(diǎn)，因?yàn)闄E圓只有四個(gè)頂點(diǎn)，所以這個(gè)結(jié)論不能再改進(jìn)。此外，還可以利用柯西-克羅夫頓公式來計(jì)算平面正則曲線的長(zhǎng)度(見積分幾何學(xué))。
曲線介紹
相關(guān)定義
若曲線C上的點(diǎn)滿足f（x，y）=0，同時(shí)滿足f（x，y）=0的都是曲線C上的點(diǎn)，那么f（x，y）叫做曲線C的方程。
求解方法
1、建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用有序數(shù)對(duì)（x，y）表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。
2、寫出適合條件的點(diǎn)M的集合{M|P(M)}。
3、用坐標(biāo)表示條件P(M)，列出方程。
4、化方程為最簡(jiǎn)形式。
5、證明這方程是曲線的方程。
注意：點(diǎn)既不能多也不能少。
建系方法
（1）以已知定點(diǎn)為原點(diǎn)；
（2）以已知定直線為坐標(biāo)軸；
（3）以已知線段所在直線為坐標(biāo)軸，以已知線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)；
（4）以已知互相垂直的兩定直線為坐標(biāo)軸；
（5）讓盡量多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上。
直接法
如果動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件本身就是幾何量的等量關(guān)系，或這些幾何條件簡(jiǎn)單明了且易于表達(dá)，那么我們只須把這些幾何條件轉(zhuǎn)化成含有變量的數(shù)值表達(dá)式，化簡(jiǎn)成曲線方程。
定義法
當(dāng)動(dòng)點(diǎn)符合某一基本軌跡的定義（圓、橢圓、直線、雙曲線、拋物線）時(shí)我們可以根據(jù)定義，用待定系數(shù)法求出系數(shù)，求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。
代入法
當(dāng)形成曲線的動(dòng)點(diǎn)P（x，y），隨著另一個(gè)已知曲線f（x，y）=0上的動(dòng)點(diǎn)Q（w，z）有規(guī)律的運(yùn)動(dòng)時(shí)，我們可以得到w=g（x，y），z=h（x，y），再利用f（x，y）=0就可得到曲線方程。
參數(shù)法
有時(shí)可以借助第三個(gè)變量t，求出關(guān)系式x=f（t），y=g（t）再通過一些方法（代入、加減、平方）消掉t，就得到了曲線的方程。
參考資料 >