運籌學（Operations Research，簡稱OR）是近代應用數學的一個重要分支。它主要研究如何將生產、管理等事件中出現的運籌問題加以提煉，然后利用數學方法進行解決，其研究對象是系統。
運籌學的歷史源遠流長，在古代中國，田忌賽馬、圍魏救趙等戰略體現了深厚的運籌思想。數理經濟學對運籌學，特別是對線性規劃的影響可以從弗朗索瓦·魁奈（Qusnay）1758年發表的《經濟表》算起，當時著名的經濟學家里昂·瓦爾拉斯（Walras）研究了經濟平衡問題，后來的經濟學家對其數學形式繼續研究并使之得以發展。第一次世界大戰期間，以英國生物學家希爾（Hill）為首的英國國防部防空實驗小組對高射炮系統利用的研究，是當時最早進行的運籌學工作。
運籌學作為一門科學的名稱，正式誕生于20世紀30年代末。1938年，由帕特里克·布萊克特（Blackett）負責成立運籌學小組，運用圖表和數據，對戰略后果做了預測分析，使雷達和高炮配合達到最佳狀態。1947年，美國數學家丹齊格（Dantzig）提出了求解線性規劃問題的有效方法——單純形算法。后來，運籌學在英國、美國、中國等國家都得到了廣泛關注，1959年，國際運籌學聯合會（IFORS）成立。華羅庚在中國推廣優選法與統籌法，成效顯著，推動服務性行業及公用事業廣泛應用運籌學，電子計算機技術的發展為此提供了支持。
運籌學具有一些鮮明的特征，如注重實際應用，它也具備多學科交叉的綜合性。運籌學的基本內容主要包括規劃論、圖論、排隊論、博弈論等。此外，運籌學理論與成果在其他領域中應用廣泛，如在建筑學中，運籌學中的線性規劃特別是整數規劃作為操作建筑空間的重要數理邏輯，可以幫助解決建筑平面生成等問題。
學科簡介
運籌學是近代應用數學的一個重要分支。運籌學作為一門科學的名稱，正式誕生于20世紀30年代末。英國運籌學學會認為，運籌學是現代科學方法在工業、商業、政府和國防等領域中，獨具由人、機器、材料和貨幣組成的大型系統的指導和管理所產生的復雜問題中的應用。《中國大百科全書》指出，運籌學是“用數學方法研究經濟、民政和國防等部門在內外部環境的約束條件下合理分配人力、物力、財力等資源，使實際系統有效運行的技術科學。”具體來說，運籌學主要是研究如何將生產、管理等事件中出現的運籌問題加以提煉，然后利用數學方法進行解決的學科。實質上，運籌學的基本目的是找到“優”的方案、途徑，而在實際中，最優只能是一種理想追求。由于問題的復雜性、各種確定與不確定因素的綜合影響，運籌學目標的準確（或有保障的）定位應該是通過研究避開更壞的結果。
運籌學的研究對象是系統。這種系統時常包含著人和在自然環境中運行的“機器”，這個廣義的“機器”可以推廣到按照公認的規則運行的復雜社會結構。運籌學是一門應用科學，它廣泛應用科學技術知識和數學方法，解決實際中提出的專門問題，為決策者選擇最優決策提供定量依據。運籌學與多學科交叉，例如綜合運用了數學、經濟學、心理學、物理學、化學等的一些方法。
歷史沿革
萌芽與起源
運籌學的歷史源遠流長，在古代中國，田忌賽馬、圍魏救趙等戰略體現了深厚的運籌思想。博弈論和決策論的數學基礎萌發于17世紀，帕斯卡（Pascal）的著作《論算術三角形，及關于同一問題的小論文若干》為現代概率論奠基，雖未用“概率”一詞，但其工作與皮耶·德·費瑪（Fermat）的交流推動了這一領域的發展。克里斯蒂安·惠更斯（Huygens）《論骰子問題中的推理》和雅各布·伯努利（Bernoulli）《猜想術》的后續研究進一步規范了數學期望、排列組合等概率理論。
世界經濟學理論對運籌學的影響是與數理經濟學派緊密相連的。數理經濟學對運籌學，特別是對線性規劃的影響可以從弗朗索瓦·魁奈（Qusnay）1758年發表的《經濟表》算起，當時著名的經濟學家里昂·瓦爾拉斯（Walras）研究了經濟平衡問題，后來的經濟學家對其數學形式繼續研究并使之得以發展。第一次世界大戰（1914年）之前就已經發展成熟的古典管理學派，對運籌學的產生和發展也影響很大。以泰勒（Taylor）、甘特（Gantt）、吉爾布雷思（Gilbreth）等為代表的古典管理學派，對企業管理的中心思想是尋求一些方法，讓人們自愿地聯合與協作，保持個人的首創精神和創造能力，達到增加效率的目的。他們提出了管理的基本原則，研究了機構設置、權限、工廠布局、計劃等一系列問題，也提出了刺激性工資制度。
應用與誕生
在應用方面，運籌學興起于軍事、服務等領域。1909年，丹麥工程師愛爾郎（Erlang）研究電話服務的等候問題標志著排隊論的誕生。第一次世界大戰期間，以英國生物學家希爾（Hill）為首的英國國防部防空實驗小組對高射炮系統利用的研究，是當時最早進行的運籌學工作。同時期，英國的莫爾斯（Morse）用數學模型分析了美國海軍大西洋護航艦的得失，這是現代運籌學的早期應用。1928年，約翰·馮·諾依曼（Von Neumann）以研究二人零和對策的一系列論文為“博弈論”奠基。
運籌學作為一門科學的名稱，正式誕生于20世紀30年代末，并在國家危急時期發揮了至關重要的作用。1938年，英國剛剛制造出了雷達，在技術指標上比德國的雷達要差一些。當時，雷達的信息和戰機、高射炮的配合還不密切，不發揮作用。于是，在英國皇家空軍指揮部的作用下，由帕特里克·布萊克特（Blackett）負責成立了運籌學小組，成員包括數學家2人，數學物理學家2人，生物學家3人，天文學家、物理學家、陸軍軍人、測量技士各1人。他們研究了雷達的最佳配置和高射炮的有效射擊方法、運輸艦的最佳編組以及對潛艇的有效攻擊。這個運籌學小組運用圖表和數據，對戰略后果做了預測分析，使雷達和高炮配合達到最佳狀態。這一研究不僅影響了第二次世界大戰的進程，也催化了運籌學這門新學科的誕生。而在這一時期的經濟學研究中，蘇聯數學家康托洛維奇（Kantorovich）的《生產組織與管理中的數學方法》出版于1939年，但是當時未得到重視。
繁榮與傳播
1944年11月，美國陸軍航空隊司令亨利·阿諾德（Henry H. Amold）提議設立獨立研究機構，利用運籌學預防未來危機并備戰。1945年，美國陸軍航空隊與道格拉斯飛機公司合作啟動“蘭德計劃”，并發布航天飛機構想。1948年5月，在福特基金會資助下，蘭德公司脫離道格拉斯，成為獨立智庫，后發展為全球知名的決策咨詢機構，為美國政軍界提供重要智囊支持。同年，英國成立了運籌學俱樂部，并出版了運籌學的專門學術刊物。第二次世界大戰之后，多數戰時研究軍事運籌學的科學家們轉向研究在民用部門（如工商業等）應用類似方法的可能性，因而促進了在民用部門中應用運籌學有關方法的研究和實踐，使應用研究和理論研究相互促進的局面出現。1947年，美國數學家丹齊格（Dantzig）提出了求解線性規劃問題的有效方法——單純形算法。20世紀50年代初，應用電子計算機求解線性規劃問題獲得了成功。
后來，運籌學的在英國、美國、中國等國家都得到了廣泛關注。1951年，莫爾斯與金博爾（Kimball）的專著《運籌學方法》出版，這本書是這一時期運籌學重要工作的總結，奠定了其理論基礎。1954年，齊莫爾曼（Zimmermann）率先提出了計算機作戰模擬理論與技術，構建了“作戰實驗室”的框架。1956年，美國應用數學理查德·貝爾曼（Biermann）提出了“動態規劃理論”，使規劃論增加了一個重要分支。1956-1957年，美國學者庫普曼（Koopmann）發表了專著“搜索論”。1957年，第一次國際運籌學會議在英國牛津大學召開。20世紀50年代末，工業先進國家的一些大型企業也陸續應用了運籌學方法來解決在生產經營活動中遇到的許多問題，取得了良好效果。1959年，國際運籌學聯合會（IFORS）成立。
20世紀50年代后期，運籌學在中國的應用主要集中在運輸問題上，其中一個代表性的工作室研究“打麥場的選址問題”，解決在以手工收割為主的情況下如何節省人力的問題。著名的“中國郵路問題”模型也是在那個時期由管梅谷提出的。華羅庚20世紀50-60年代在中國推廣優選法與統籌法，成效顯著，推動服務性行業及公用事業廣泛應用運籌學，電子計算機技術發展為此提供了支持。1960年，康托洛維奇（Kantorovich）出版了《最佳資源利用的經濟計算》一書后，引起了廣泛反響，他也因此獲得了1975年的諾貝爾獎。1980年，中國成立了中國運籌學會，該學會于1982年成為IFORS的正式成員，并創辦了《運籌學雜志》，1997年將其改名為《運籌學學報》。20世紀90年代，中國運籌學界涌現一批新人，其中的代表人物是堵丁柱，他對斯坦納（Steiner）樹的研究解決了國際上多年懸而未決的難題，獲得了1993年中科院自然科學一等獎和1995年中國國家自然科學二等獎，還被英國《大不列顛百科全書》列為1992年的全世界六項數學成果之首。
特點
（1）引進數學研究方法。運籌學是一門以數學為主要工具，尋求各種問題最優方案的學科，所以它是一門優化科學。隨著生產與管理的規模的日益擴大，其間的數量關系更加復雜，從數量關系來研究這些問題，即引進數學研究方法，是運籌學的一大特點。
（2）系統性。運籌學把研究的對象看作一個系統，把相互影響、相互作用和相互制約的各個方面作為一個整體，從整體上進行綜合分析，以找到一個優化協調的方案，而不是從個體的角度去分析問題，其最終目標是整體最優。
（3）注重實際應用。在運籌學學術界，有許多人強調運籌學的實用性和隊研究結果的“執行”，把“執行”看作運籌工作的一個重要組成部分。
（4）多學科交叉的綜合性。運籌學研究和解決問題的優勢是應用多學科交叉的方法，具有綜合性。運籌學從一開始就是由不同學科專長、多方面專家經過共同協作集體努力而獲得成果的。在21世紀，研究對象的的復雜性和多因素性決定了運籌學具有跨學科性、交叉滲透性和綜合性。
（5）理論與應用的發展相互促進。運籌學的各個分支學科，都是由于實際問題的需要或以一定的實際問題為背景逐漸發展起來的。在發展的過程中新的理論相繼出現，其研究被開拓出新的領域，例如線性規劃中橢球法、內點法的產生。
（6）以概率論與統計學為基本的數學工具。概率論是從數量角度研究大量隨機現象，并從中獲得規律的理論；統計學則是研究如何有效地收集、整理隨機數據，找出隨機現象數量指標分布規律及其數字特征的理論。很多軍事問題和基礎數據均可運用上述理論進行描述或獲取。
基本方法
構建數學模型
就單個目標而言，把問題按系統的關系來構建數學模型，至少有部分變量是可控的。運籌學模型的一般形式可表述為，式中表示對系統效果的計量，表示可控變量，表示不可控變量。
這個模型既可以代表優化模型，又可以代表模擬模型。當把它作為優化模型使用時，代入不可控變量的值，對可控變量的值加以控制，從而使對系統效果的計量最優化。例如，一位營銷經理希望使銷售總額達到最優化，那么在這個模型中包含的不可控變量主要有競爭者價格、國民生產總值或價格水平的變化等，而可控變量則包括銷售人數、允許的傭金、產品價格和廣告費用等。
雖然模型都是模擬現實的，但“模擬模式”是指使用者在模型中對可控變量給出一組數值，并為不可控變量假定一組數值。通過使用一組或多組不可控變量的數值（因為不可控變量常常是不可知的），使用者就能計算出，直到找到一個他們認為滿意的數值。當然，在這種情況下，無法知道最優方案是否已經找到，但它能得到各種看得到的結果。
基本內容
規劃論
簡介：規劃論是線性規劃、非線性規劃、整數規劃、動態規劃和多目標規劃的統稱，主要解決兩個方面的問題：一是對于給定的的人力、物力和財力，怎樣才能發揮它們的最大效益；二是對于給定的任務，怎樣才能用最少的人力、物力和財力去完成。一切可以用目標函數和約束條件刻畫的事理問題，均屬于規劃論的研究對象。單純形法使求解線性規劃問題最為有效的一個方法，它的基本思想是從滿足所有約束條件的一個基本可行解（即從可行域的一個頂點）出發，經過基變換轉換到另一個基本可行解，使目標函數值不斷增大直至達到一個最大值點，從而得到問題的最優解。最優化和古典的求極值問題有本質上的不同，古典方法只能處理具有簡單表達式和簡單約束條件的情況，而現代數學規劃中的問題目標函數和約束條件都很復雜，并且要求給出某種精確度的數學解答，因此算法的研究特別受到重視。
研究進展：1939年，康托洛維奇（H.B.Kahtopob）研究了工業生產的資源合理利用和計劃等問題，開創性地提出線性規劃，他因此獲得了1975年的諾貝爾經濟學獎。同年，美國的希奇柯克（F. L. Hitchcock）等人首先將線性規劃方法用于制訂交通運輸方案。1951年，庫恩（H. W. Kuhn）和塔克（A. W. Tucker）等人完成了非線性規劃的基礎性工作，使非線性規劃逐步發展起來。
圖論
簡介：圖論是近代應用數學的重要分支，它是以圖為對象，研究事物之間關系的學科。在圖論中，圖是指某類具體離散事物集合和該集合中的每對事物間以某種方式相聯系的數學模型，用圖表示事物間的聯系時，用節點表示事物，邊表示具體事物間的聯系。圖論主要研究解決生產組織、計劃管理中的最短路徑問題、最小連接問題、最小費用流問題以及最優分派問題等，其特點是能夠用圖與網絡簡單直觀地表示廣泛的科學領域和實際生活中的問題，并且借助于圖與網絡上發展得到的理論來解決問題，特別是在設計和安排大型復雜工程時，圖與網絡技術是重要的工具。
研究進展：圖論起源于18世紀著名的哥尼斯堡七橋問題，1738年，數學家萊昂哈德·歐拉（Euler）解決了這個問題，他也因此成為了圖論的創始人。1847年，克?；舴颍↘irchhoff）運用圖論知識解決了電路理論中求解聯立方程組的問題，并引入了“樹”的概念。1936年，柯尼希（Konig）出版了第一部關于圖論的專著《有限圖與無限圖理論》，圖論的發展進入了一個嶄新的階段。
排隊論
簡介：排隊論又稱隨即服務系統理論，是研究擁擠現象的一門科學，研究的任務是排隊系統的規律，并應用于排隊系統的最優設計和最優控制。排隊論以概率論和數理統計學為主要工具，對服務系統的最優設計及營運提供了重要的理論依據。排隊論中，排隊、等待等統稱為“擁擠現象”，可以歸納為有形排隊和無形排隊，稱為“排隊系統”，也可稱“服務系統”。排隊現象十分普遍，排隊的形式也多種多樣。排隊系統的常見例子有：商店、售票處、醫院等服務系統；商業及工業的投資活動中的等待；通訊系統，如電話、因特網等；維修服務系統、系統可靠性；軍事，如巡航、空防、火力封鎖等；公共設施，如消防系統等。
研究進展：排隊論的基本思想是1910年丹麥電氣工程師愛爾朗（A. K. Erlang）在解決自動電話設計問題時形成的。20世紀30年代，威廉·費勒（Feller）引進了生滅過程，用數學方法分析了電話呼叫的本質特性，促進了排隊論的研究。20世紀50年代初，美國數學家關于生滅過程的研究和英國數學家肯德爾（Kendall）提出的嵌入馬爾可夫鏈理論以及對排隊隊形的分類方法為排隊論奠定了理論基礎。此后塔卡奇（Tacachi）等人又將組合方法引進排隊論，使它更能適應各種類型的排隊問題。
博弈論
簡介：博弈論又稱對策論，主要研究具有個體競爭性質的現象，并以公式的形式體現競爭主體之間的相互關系，研究判斷并優化其理想行為與實際行為。博弈論是企業決策的一個常用工具，常見的分類方法是按博弈的結果將博弈論劃分為負和博弈、零和游戲、合作博弈。
研究進展：近代對博弈論的研究最早開始于策梅洛（Zemero）、波萊爾（Polaire）及約翰·馮·諾依曼（Von Neumann），思想最初運用于象棋、橋牌等對弈問題以及軍事戰役中。1928年，馮·諾伊曼證明了博弈論的基本原理，博弈論正式誕生。1944年，馮·諾伊曼和摩根斯頓（Morgenstern）共著的《博弈論與經濟行為》將二人博弈推廣到人博弈結構，并將博弈論系統地應用于經濟領域，奠定了這一學科的基礎和理論體系。1950-1951年，約翰·納什（John Nash）利用不動點定理證明了均衡點的存在，為博弈論的一般化做出了貢獻。
決策論
簡介：決策論是為科學地解決帶有不確定性和風險性的決策問題所發展的一套系統分析方法。決策論旨在提高科學決策的水平，減少決策失誤的風險，主要應用于經營管理工作中的中高層決策中。決策貫穿于組織管理活動的全過程，從不同的角度對決策加以分類，有助于決策者把握各種失策的特點，提高決策的效率和效果。按決策的重要性和作用可分為戰略決策、管理決策和業務決策；按決策問題所處的條件分類可分為確定型決策、風險型決策和不確定型決策；按決策問題的重復程度分類可分為程序化決策和非程序化決策。
研究進展：決策論起源于20世紀50年代，美國學者瓦爾德（Wald）提出的統計決策理論，被公認為是決策論這一領域的奠基性著作。1961年，美國學者賴法（Reifa）與施來弗（Schrijver）的《應用統計決策理論》一書出版，使決策論具備了學科分支的雛形。
儲存論
簡介：儲存論系統地描述了各種存貨決策的原理和方法。在經營管理工作中，為了保證系統的有效運轉，往往需要對原材料、元器件、設備、資金以及其他物資保障條件，保持必要的儲備量。儲存論就是應用數學方法研究在什么時間，以多少數量，從什么供應渠道來補充這些儲備，使得在保證生產正常運行的情況下，保持庫存和補充采購的總費用最少。
可靠性理論
簡介：可靠性理論是研究系統可靠性的基本理論和數學方法。在給定的時間、區間和規定的運用條件下，一個實體系統（設備、部件或元件）有效地執行其任務的概率，稱為系統裝置的可靠性。對任何正常工作的系統，尤其是在自動化控制系統中，都必須有一定的可靠性。一般來講，實體系統越龐大，所用的零件或元器件越多，則可靠性就越差，系統整體的可靠性決定于各單元可靠性的調整。因此，對于龐大、復雜和價格昂貴的系統，如通信系統、精密機床自動加工系統、電子計算機系統等，都必須把可靠性研究作為系統技術評價的重要內容。有的系統故障后即行報廢，這種系統叫不可修復系統；有的系統故障之后經修理，恢復其原有功能并投入使用，這種系統叫可修復系統，簡稱可修系統。
研究進展：20世紀初，可靠性理論開始被提出，弗賴登塔爾（Freudenthal）在《結構安全性》一書中首次提出了理想塑性可靠性理論，也為概率可靠性理論的研究奠定了基礎。1969年，美國學者柯涅爾（Cornell）提出與結構失效概率相聯系的可靠指標作為衡量結構安全度的一種統一數量指標，建立了結構安全度的二次矩模式。同時，美國伊利諾斯（Illinois）大學的洪華生對各種結構不定性做了分析，提出了廣義可靠度概率法。
搜索論
簡介：搜索論研究在尋找某種目標的過程中如何合理使用人力、物力、資金和時間等搜索手段，并取得最好的搜索效果的方法。例如，1968年5月，美國海軍潛艇“施柯賓”號失事后，共用了四個半月的時間組織搜索作業，根據搜索論的原理，用計算機模擬失事的情節，根據現場探測結果，制訂和修改搜索計劃，最終拍得了“施柯賓”號的海底殘骸照片。
研究進展：搜索論始于第二次世界大戰時期，盟軍研究如何利用飛機和軍艦準確、有效地搜索納粹德國的潛艇。二戰以后，搜索論作為運籌學的一個分支又有了長足發展。1956-1957年，美國的唐·庫普曼（Koopman）根據二戰期間美英海軍對德反潛戰德搜索經驗，連續發表了正式取名為《搜索論》的三篇論文，奠定了這門學科的理論基礎。
最優化
簡介：最優化理論是一個重要的數學分支，它所研究的問題是討論在眾多方案中什么樣的方案是最優的，以及怎樣才能找出這個最優方案。構建最優化問題的數學模型并求解該模型是最優化理論的研究內容。最優化與運籌學的大部分研究內容相互重合，很難區分。運籌學偏重解決實際問題，最優化偏重理論研究；一個運籌學問題往往會歸結為一個求最優值的最優化問題，因此最優化理論是求解運籌學問題的重要理論支撐。
應用
建筑學
在建筑學中，運籌學借助計算機可以解決建筑空間排布問題。例如，運籌學中的線性規劃特別是整數規劃應用于操作建筑空間，是重要的數理邏輯，解決了一些問題，例如①路徑規劃 ：利用“水流”概念對路徑的連續性、覆蓋范圍、曲折度進行建模，可以把路徑規則涉及的圖問題轉為線性整數表達式 ；②地塊內的建筑布局 ：在網格上對建筑的二維形狀模板進行各種拓展，實現相鄰、日照遮擋等復雜關系的線性描述 ；③建筑平面生成 ：在網格上利用建筑的二維形狀模板，將滿鋪、相鄰、旋轉問題轉化為線性整數表達式。
經濟學
在經濟學的學術體系中，市場機制設計是微觀經濟學的一個前沿領域，市場設計與運籌學從學科關系到發展歷史都有密切關系，研究問題既有理論淵源又深受現實問題驅動。例如，寡頭理論是闡述了廠商之間策略互動的經典M理論，但是現實中很多經濟主體是以各種各樣的方式進行策略性互動的，因此需要運用運籌學中的博弈論對策略互動進行一般性分析。此外，運籌學線性規劃中的對偶理論應用于經營決策中，通過掌握同一個問題的兩個方面的定量數據，即企業的最大收益和最小成本，為企業的經營決策提供重要依據。
計算機科學
在計算機科學中，可將運籌學用于計算機的內存分配，研究不同排隊規律對磁盤和磁鼓工作性能的影響。運籌學中的規劃論，通過整數規劃，解決了尋找滿足一組需求文件的尋找次序的問題。此外，運籌學中的圖論、數學規劃幫助了計算機信息系統的自動設計。尤其是圖論，它作為計算機科學的基礎之一，很多非常難解的組合優化問題都屬于NP-完全的圖論問題。而運籌學中的博弈論，通過博弈對抗思維和納什均衡、維爾弗雷多·帕累托最優等方法，在計算機科學領域可以解決各種均衡的計算及復雜性問題、機制設計（包括在線拍賣、在線廣告）等問題。
相關學科
管理科學
簡介：運籌學是一門重要的管理科學分支，在管理科學領域有著廣泛應用。例如，在應急物流管理領域，運籌學為需求預測、貨物調度和路徑規劃、庫存管理和資源優化、風險分析和決策支持提供多種工具和方法，為更加靈活、高效、可持續的應急響應提供堅實的基礎。20世紀60年代，管理科學被視為運籌學在商業領域的應用，至21世紀，管理科學的內涵更加廣泛，包含了研究若干個個體是如何組成一個組織結構的，它是如何運作的，組織內部的個體應如何協調，以發揮出個體最大的潛能，給組織帶來最大的利益以及組織之間所形成的社會關系，而這些關系又是怎樣影響個體的表現等方面。
聯系：在國際學科分類框架下，運籌學和管理科學被合并在一起組成了一個大類學科。在運籌學應用場景中，不同管理問題對應的模型存在較大的差異，但是從數學的角度講，不同場景的模型之間可能存在一些共性的形式。比如，某些確定環境下的人力資源規劃模型和車輛的調度模型本質上都屬于線性規劃模型，多周期的庫存模型和機票的定價模型本質上都屬于動態規劃模型，它們可以采用相同的方法進行優化求解。
參考資料 >