非線性規劃（Nonlinear programming）是最優化問題中具有非線性約束條件或目標函數的最優化，是論述一個目標函數在等式約束和不等式約束之下的最優化問題，被用來識別和計算多個變量的非線性函數的最優解。非線性規劃是運籌學和最優化的一個重要分支，它的研究對象是非線性函數的數值最優化問題，主要研究求解多元函數問題的有關數學理論和算法，包含凸規劃、二次規劃、幾何規劃等規劃問題。
“非線性規劃”一詞最早是由美國數學家哈羅德·威廉·托馬斯·庫恩（Harold William Kuhn）和加拿大數學家阿爾伯特·威廉·塔克（Albert William Tucker）在1950年提出的。到1951年，Kuhn-Tucker條件的建立，可以看作是非線性規劃近代理論和方法研究的開始。第二次世界大戰后，近代科學技術發展，非線性規劃也得到了快速發展，新的理論和算法不斷出現。如1959年提出的變尺度法、1960年提出的可行方向法，還有共軛梯度法、擬牛頓法、乘子法等。綜合近現代算法，在求解非線性規劃問題可以使用分析方法如數學分析模型，數值方法如一維搜索法、直接法、解析法。
在應用方面，非線性規劃為系統的優化和管理提供了有用的工具，能在自然科學、工程、經濟、工程設計、過程控制、經營管理等諸多領域提供強有力的數學工具。
定義
非線性規劃是統籌學和最優化的一個重要分支，它的研究對象是非線性函數的數值最優化問題。如果一個最優問題的解不隨時間變化，這個最優問題稱作“靜態最優或非線性規劃”，它是通過數學模型的代數方程或超越方程來表達。
在最優化問題中，有一些數學模型具有如下結構：
第一是變量。即所考察的問題可歸結為優選若干個稱為參數或變量的量，這些變量都取實數值，可用中的維向量簡記。
第二是約束。設問題中對變量所加的限制或約束可以用這些變量滿足的如下等式和不等式表示出來：
第三是目標。設最優化問題的目的是在約束限制下確定變量的取值，使得某個個實函數取到極大值或極小值，或是最大值或是最小值。稱為這一最優化問題中的目標函數。
根據上述結構得出如下數學規劃（Mathematical Programming）：
其中定義于某個維區域，記號min意為極小化，是subject to的縮寫，意為“受約束于”。滿足所有約束的向量稱為問題的可行解。所有可行解的全體組成可行域。非線性規劃問題，則是尋找一個可行點使得對每一可行點有，這樣的點稱為該問題的最優解。
當全為的線性函數時，最優化便是線性規劃（Linear Programming）；否則，即目標函數、約束函數中至少有一個不是的線性函數時，數學規劃便稱為非線性規劃。若是去掉（MP）的約束條件，則稱（MP）為無約束最優化問題。因此，也稱問題（MP）為約束最優化問題。在約束優化問題中，如果只有等式約束，則稱為等式約束優化問題。另一種特殊情形是所有的約束條件都是線性函數，這時便稱為線性約束優化問題。等式約束、不等式約束或無約束的問題都劃歸為非線性規劃問題。
在實際問題中，其目標函數或約束條件中含有非線性函數，就稱這種規劃問題為非線性規劃問題，而解決這種問題就需要非線性規劃的方法。由于非線性數值最優化問題是最優化研究中重要的中心課題，因此，通常的所謂最優化理論主要即指非線性規劃理論，而最優化方法也主要是指非線性規劃的求解方法。
非線性規劃具有廣泛適用性，可以通過建立非線性規劃問題求解最優控制、結構設計、機械設計、電網絡、水資源管理、隨機資源分配、設施位置等最優化問題。
簡史
古典時期
早在17世紀，英國科學家艾薩克·牛頓（Isaac Newton）創立微積分的時代，就已提出極值問題。后來法國數學家約瑟夫·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）研究一個函數在一組等式約束條件下的極值問題時提出了乘數法。從瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）和拉朗格日那時起，帶等式約束的非線性規劃理論就為人們所知。
到1847年，法國數學家奧古斯丁·路易斯·奧古斯丁-路易·柯西（Augustin Louis Cauchy）研究了函數值沿什么方向下降最快的問題，并提出了沿著負梯度方向尋找非線性函數極小點的方法(最速下降法)，而后牛頓法也應用到非線性規劃，并在1948年被蘇聯經濟學家列奧尼德·康托羅維奇（Leonid Kantorovich）推廣到無窮維空間的非線性映射方程的求解中。
分析時期
1939年，美國數學家威廉·卡魯什（William Karush）已經用一種相當令人滿意的方式處理不等式約束的情況。但不幸的是，卡魯什的工作大大被忽略了。他所使用的約束規格與托馬斯·庫恩和塔克所使用的是一樣的。在卡魯什后，但仍在庫恩和塔克前，德裔美籍數學家弗里茨·約翰（Fritz John）就已經考慮過不等式約束的非線性規劃問題并提出了約翰條件。
而后三十年代中期以來，塔克一直對張量計算中協變和反協變、組合拓撲中下同調和上同調之間的對偶性感到興趣。1948年5月，美國數學家喬治·丹齊格（George Bernard Dantzing）在普林斯頓大學拜訪了美國數學家約翰·馮·諾依曼（John Von Neumann），討論了當時新興的線性規劃和博弈論之間潛在的聯系。這次訪問，促使他們研究線性規劃和矩陣博弈之間的關系。同時，英國經濟學家大衛·蓋爾（David Gale）、托馬斯·庫恩和塔克也參與其中，并證明了線性規劃的對偶性定義。
1949年，庫恩把線性規劃的對偶性作為Lagrange公式的一個鞍點性質表示出來。這個鞍點問題后來被選為講解Kuhn-Tucker理論分析的出發點。幾個數學家在對聯性、網格理論和線性規劃得到啟發，對與最優化相鄰近的一些學科的數學結構進行深化，并在凸分析、非線性系統分析和求解最優化問題的算法等課題中獲得顯著成就。
現代時期
二十世紀40年代前，對于最優化往往只能進行一些最小二乘計算，或對某些物理問題用到最速下降類型的梯度法。直到40年代中期，隨著電子計算機的出現，在非線性規劃方面出現了與問題的具體結構無關，并得到廣泛應用的“爬山法”。20世紀50年代初，Kuhn-Tucker條件的建立，被看作是非線性規劃近代理論和方法研究的開始。
第二次世界大戰后，近代科學技術的發展，特別是電子計算機技術的飛速發展促進了最優化的迅速發展，出現了很多有效算法。如1959年，美國物理學家威廉·克萊德·戴維登（William Clyde Davidon）提出變尺度法，并由蘇格蘭大學數學系教授羅伊·弗萊徹（Roy Fletcher）和英國數學家邁克爾·詹姆斯·戴維德·鮑威爾（Michael James David Powell）在1963年加以簡化。1960年荷蘭數學家蓋爾·祖騰迪克（Gerrit Zoutendijk）提出可行方向法，同年美國統籌學專家詹姆斯·B·羅森（James B Rosen）提出梯度投影法。1963年德國運籌學專家沃爾夫（Peter Wolf）提出既約梯度法，1964年羅伊·佛萊徹，英國數學家克里斯托弗·M·里弗斯（Christopher Michael Reeves）給出共軛梯度法，同年鮑威爾提出Powell方法。1969年美國哥倫比亞大學教授唐納德·戈德法布（Donald Goldfarb）給出DFP變尺度法等等。
20世紀60年代后，這門新興的基礎學科便滲透到各個技術領域，形成了最優化與技術這門應用學科，并在此基礎上，運籌學逐漸發展出了新的更細的研究分支——非線性規劃。非線性規劃作為運籌學的一個重要研究分支在近20年得到了快速發展。20世紀80年代以來，隨著計算機技術的快速發展，非線性規劃方法取得了長足進步，在信賴域法、稀疏擬牛頓法、并行計算、內點法和有限存儲法等領域取得了豐碩的成果。
相關概念
凸集和凸函數
凸集、凸函數以及凸函數的極值的性質，是研究非線性規劃問題所不可缺少的內容。
凸集的定義：設集合，如果，，均有，則稱集合為凸集（comvex set）。
凸集的幾何意義：若兩個點屬于此集合，則這兩點連線上的任意一點均屬于此集合（見圖1.4.1和圖1.3）。
凸函數的定義：設為定義在維歐式空間中某個凸集上的函數，若對任何實數以及中的任意兩個點和，恒有則稱為定義在上的凸函數。
凸函數的幾何定義：如果是凸集上的凸函數，則對于凸集上的任意兩點，連結點與點之間的直線段位于函數圖形(曲線或曲面)的上方，或函數圖形上任意兩點的連線都不在這個圖形的下方。
圖1.4和圖7.2給出了凸函數的幾何直觀表示。
梯度和Hesse矩陣
是多元函數的一階導數，Hesse矩陣是它的二階導數。在最優化中，這是兩個常用的概念。對于局部最優解，我們常借助目標函數和約束函數在最優值點的梯度信息和Hessian陣信息來刻畫最優值點所滿足的性質，進而建立起非線性規劃問題的一階與二階最優性條件。
梯度的定義：設函數在平面區域內具有一階連續偏導數，則對于每一點，都可以確定一個向量。這個向量為函數在點的梯度，記作grad或即
Hesse矩陣的定義：Hesse矩陣是微積分中常用的概念和記號，也是與最優化相關的數學基礎知識。
，是元函數關于的二階導數，稱為的Hesse矩陣。它是一元函數的二階偏導數在多元情形下的推廣。
Taylor展開
函數的Taylor展開式對于理解最優化方法十分重要，許多最優化數值迭代方法及其收斂性的證明都是從Taylor展開式出發的，一般優化中的Taylor展開大多是一階或者二階展開。
一元函數的展開：
從幾何上看，一階展開就是用直線近似函數，二階展開就是用圓錐曲線近似函數，如圖1-1和圖1-2所示。
二元函數Taylor展開：設在點的某一鄰域內連續且有直到n+1階的連續偏導數，為此鄰域內任一點，則有：
從幾何上看，二元函數一階展開就是用切平面近似函數，二階展開就是用二次曲面近似函數。
n元函數的Taylor展開：
元函數在一點處的Taylor展開式在非線性規劃的理論和方法研究中都有重要的應用。
記。
元函數的一階Taylor展開（向量形式）：，其中為元函數在處的梯度向量。
元函數二階Taylor展開（向量形式）：，其中為元函數在處的Hesse矩陣。
Kuhn-Tucker條件
以下我們介紹由托馬斯·庫恩和塔克提出的關于約束非線性規劃問題最優解的著名的必要條件。該條件由庫恩和塔克（1951）提出后被廣泛接受。后來人們發現卡魯什早在1939年就提出了類似的條件。
設是約束優化問題的（全局或局部）最優解，則當約束函數在點滿足一定條件時，存在非零向量滿足：
上述系統稱為KKT條件，是（MP）的Kuhn-Tucker條件，簡稱K-T條件。凡滿足K-T條件的點叫做（MP）的K-T點。
對于一些凸性要求的凸規劃問題，托馬斯·庫恩和塔克的條件也是它的最優解的充分條件。
Lagrange乘子法
所謂Lagrange函數是指目標函數和約束函數的如下線性組合：
，其中為一些參數，稱為Lagrange乘子。它（Lagrange函數）提供了一種從約束最優化問題到無約束求穩定點問題的轉換。是拉朗格日提出的一個很古老的思想。
Lagrange乘子法在等式約束問題中的定理：在一定條件下，等式約束問題的局部解及其相應的Lagrange乘子向量恰為Lagrange函數的穩定點，即。這里為Lagrange函數，而。特別，當沒有約束時，就退化為通常的穩定點條件。
相關類別
凸規劃
如果最優化問題的目標函數是凸的，而可行域是凸集。則問題的任何最優解（不一定唯一）必是全局最優解，這樣的最優化問題又稱凸規劃。即目標函數為凸函數，可行集為凸集的凸規劃問題可確保任意最優解就是問題的全局最優化。
凸規劃性質：
（1）可行解集為凸集；
（2）最優解集為凸集（假定最優解存在）；
（3）任何局部最優解均為其全局最優解；
（4）若目標函數為嚴格凸函數，且最優解存在，則其最優解必唯一。
二次規劃
非線性規劃數學模型中提到：目標函數、約束函數中至少有一個不是的線性函數時，最優化便稱為非線性規劃。而此時，若目標函數為二次函數，約束條件為線性等式或不等式，則稱為二次規劃。
二次規劃是最簡單的、也是最早被人們研究的一類非線性規劃問題；它不僅在實踐中有自己的來源，而且還作為子問題，出現在一般非線性規劃問題的求解算扶風縣法門高中。它通常通過解其Kuhn-Tucker條件（KT條件）獲得一個解。KT條件的解稱為KT對，其中與原問題的變量對應的部分稱為KT點。二次規劃分為凸二次規劃和非凸二次規劃，前者的KT點便是其全局極小點，而后者的KT點可能連局部極小點都不是。
二次規劃求解方法：
二次規劃問題的約束可能不相容，也可能沒有有限的最小值，這時稱二次規劃問題無解。
如矩陣是半正定，則二次規劃問題是一個凸二次規劃問題，它的任何局部解也是整體解；如果矩陣正定，二次規劃問題中的目標函數是（嚴格）凸函數，這時二次規劃問題被稱為（嚴格）凸的二次規劃問題。由于二次規劃的可行域非空則必為凸集，所以當目標函數是凸函數時，任何Kuhn-Tucker點必為二次規劃的全局極小點；如果矩陣不定，二次規劃問題是一個一般（或不定）二次規劃問題，有可能出現非整體解的局部解。
有很多算法可以用于解凸二次規劃，如美國統籌學專家菲利普·沃爾夫（Philip Wolfe），丹齊格等人的方法。還有不少內點算法可用于解凸二次規劃，應用最廣泛的是弗萊徹的有效集法。
幾何規劃
在非線性規劃中，從分析和計算的觀點出發，最廣泛地被研究的一個分支是幾何規劃和它的推廣。利用幾何不等式及其推論，可以求解一類特殊的非線性問題，“幾何規劃”由此而得名。
幾何規劃可以分為正式項幾何規劃和廣義幾何規劃兩類。
若中，則稱為關于變量的正項式函數。若對于所有的，有且，則稱問題（GP）是一個正項式幾何規劃（PGP），若中存在取值為的情況下，則稱之為廣義幾何規劃（GGP）。
幾何規劃求解方法：
幾何規劃屬于這樣一類非線性規劃，即其對偶規劃具有線性約束。這種約束的重要性在于，線性約束的非線性規劃通常比非線性約束的規劃更易于求解。
而正項式是很難處理的函數，一般的，它們既不是凸也不是凹的。但原作者美國數學家魯弗斯·約瑟夫·達芬（Rufus Joseph Duffin）、美國數學家愛德華·L·彼得森（Edward L.Peterson）和美國物理學家克拉倫斯·梅爾文·齊納（Clarence Melvin Zener）注意到：一個簡單的變量代換將使每個正項式變成一個凸函數，這就將幾何規劃化為凸規劃的課題。
對于正項式幾何規劃，它的局部極小點也是它的全局極小點，因為每一個正項式幾何規劃問題都等價于一個凸規劃，也就是等價于在凸區域上極小化一個凸函數，這是正項式幾何規劃的一個重要特征。由于任何一個正項式幾何規劃都等價于一個凸規劃問題，因此凸規劃的理論可以應用于正項式幾何規劃的情況。
在分析幾何規劃時，能作變量代換，從而得到一個凸規劃。
非線性規劃問題解決方法
分析方法
非線性規劃的分析，是在建立一個體現所考察決策問題的數學模型過程后，對數學模型進行分析，并選擇一個適當的求最優解的數值方法。非線性規劃的數值解法依賴于目標函數和約束的性質以及最優化問題的結構。因此，在分析的基礎上，決策者在現有數值解法中能確定哪一種能求得最優解。
非線性規劃的分析，對于問題的結構提供了有價值的觀察，并回答了關于能行決策和最優決策的存在性與特征性質問題。
數值方法
數值分析法內容包括解非線性方程組的理論與方法，常用的方法如Newton型方法，同倫延拓法，單純形算法等。
討論非線性最優化問題的數值解法，首先介紹無約束最優化方法的研究，包括不用導數的方法、共軛方向法和變尺度方法等。對于有約束非線性規劃來說，懲罰函數法、無約束方法的擴充和近似型算法，皆屬于最為廣泛使用的或者最近發展起來并被認為有發展前途的算法。
一維搜索方法
一維搜索方法是研究非線性規劃方法的重要基礎。一維搜索方法是指，在求解非線性規劃的方法研究中，求解只有一個決策變量的非線性規劃問題。或在大多數無約束極值的算法中，為了確定極小化點列，要沿逐次確定的一系列射線求極小點，即所謂的一維搜索。而這實際上就是求一元函數的極小點問題。
一維搜索的方法很多，常用的有：
（1）0.618法：又稱黃金分割法。由于任一斐波那契分數和0.618都是黃金分割數的近似值，所以斐波那契法和0.618法都是近似黃金分割法。由此，它們都具有近似黃金分割法所具有的在每一有限輪迭代時的最優性。
0.618法步驟如下：
第1步，選取初始數據。確定單谷區間，給出最后區間精度。
第2步，計算最初兩個探索點。取按計算。
求，令。
第3步，比較目標函數值。若，進行第4步。否則，進行第5步。
第4步，向左搜索。若，停止迭代輸出。否則，令，。求，令。令轉第3步。
從0.618法求解的過程容易知道，此法從第2個探索點開始每增加一個探索點作一輪迭代之后，原單谷區間要縮短0.618倍。由于0.618法至多只能取10個探索點，所以它最多只能把最初的單谷區間的長度縮短成
因此，在使用0.618法時，精度只能要求取不小于的數，否則求解將是沒有意義的。
下面給出0.618法框圖
（2）裴波那契法（Fibonacci法）：又稱分數法，是不斷縮短函數的單股區間[a，b]的辦法，來求得問題的近似最優解。這個求解的一維搜索方法是美國數學家杰克·基弗（Jack Kiefer）1953年提出的。
（3）插值法，用插值多項式來近似表達連續函數，即，把的極小值點作為的極小值點近似，解并判斷，即得的極小值點的近似。通常取為二次或三次多項式，即得二次或三次插值法。
（4）切線法。牛頓法的基本思想是將非線性方程組逐次線性化，從而形成迭代算法。
無約束極值最優化問題方法
求解無約束極值問題時常使用迭代法，迭代法可大體分為兩大類。一類要用到函數的一階導數和（或）二階導數，由于用到了函數的解析性質，故稱為解析法；另一類在迭代過程中僅用到函數值，而不要求函數的解析性質，這類方法稱為直接法。
屬于解析法的有：
（1）最速下降法：又稱梯度法，是從搜索點沿負梯度方向進行一維搜索，形成迭代過程。是求多變量函數極小問題的最早方法。
（2）共軛梯度法：一個完整的無約束極小化算法稱為共軛梯度法，其基礎是美國數學家馬格納斯·R·赫斯滕斯（Magnus R.Hestenes）、瑞士數學家愛德華·L·斯蒂費爾（Eduard L.Stiefel）為求解線性方程組提出的一個方法。
共軛梯度法的基本思想是在共軛方向法和最速下降法之間建立某種聯系，以求得到一個既有效又有較好收斂性的算法。
屬于直接法的有：
（1）交替方向法：最早的也是最簡單的直接方法。它利用個坐標軸方向進行一維搜索。
（2）單純形法：是另一個較早的直接方法。它的基本思想是：在每次迭代時利用已有的單純形去尋找一個函數值更小的點。如果得到這樣一個更好的點，則利用這個新點作為一個頂點構造新的單純形。否則的話，將已有單純形縮小重復迭代。
（3）共軛方向法：由定理3.4.3及推論，如果第k次迭代所取的方向與以前各次迭代所取的方向關于共軛，則從任意初始點出發，對二次函數作精確一維搜索，至多經過次迭代就可得到極小點。
（4）差分擬牛頓法：是用差商代替導數的擬牛頓法，是共軛方向法以外的另一類有效的直接方法。
（5）方向加速法（Powell法）：在不依賴于目標函數梯度的所有直接搜索法中，方向加速法是最有效的。它的基本出發點是利用§4性質（ii）去逐次構造共軛方向，并以此為搜索方向，去構成搜索算法。因此，從本質上講方向加速法亦是共軛方向法。
約束極值最優化問題方法
實際工作中遇到的大多數極值問題，其變量的取值多受到一定限制，這種限制由約束條件來體現。帶有約束條件的極值問題稱為約束極值問題，也叫規劃問題。
通常將約束問題化為無約束問題，將非線性規劃問題化為線性規劃問題將復雜問題變換為較簡單問題來求解約束極值問題。
常用的方法有：
（1）罰函數法：罰函數法是求解一般約束最優化問題的重要方法。罰函數法，簡記為SUMT（Sequential Unconstrained Minimizaton Technique），是根據約束的特點，構造某種“懲罰”函數，然后把它加到目標函數中去，將約束問題的求解轉化為一系列無約束問題的求解。
一般來講，制約函數常見的大致有這樣兩類，一是“懲罰函數”，另一種是“障礙函數”。對應這兩種函數的不同特點，SUMT又可分為外點法和內點法。
外罰函數法：又稱SUMT外點法。它對違反約束的點，在目標函數中加入懲罰項，而對可行域內的點不予懲罰。此法的迭代點一般在可行域外移動，隨一個無約束問題求解轉到另一個無約束問題的求解，相應的懲罰參數逐次加大，從而迫使迭代點像可行域靠近，并由此產生非可行點的序列。它的任一收斂子序列的極限是原來約束問題的一個最優解。
內罰函數法：為使迭代點始終保持在可行域內移動，可以使用這樣的“懲罰策略”：在可行域的邊界上筑起一道很高的“圍墻”，當迭代點靠近邊界時，目標函數陡然增大，以示懲罰，組織迭代點穿越邊界，這樣就可以把最優解“擋”在可行域內。這樣的方法稱為內罰函數法。
（2）可行方向法：可行方向法是通過從一個可行點移動到一個改進的可行點的方法。如近似線性化法、Zoutendijk法、羅森投影梯度法、沃爾夫簡約梯度法等都屬于此類算法。
下面的策略是典型的可行方向算法，因此這些方法通常稱為原始方法：
給出一個可行點，確定一個方向，使得對充分小的下面的兩條性質成立：①是可行的；②在的目標值比在的目標值好。在確定這樣的方向以后，為了決定沿前進多遠，必須求解一個一維最優化問題，這樣導致一個新點，并重復這一過程。
（3）線性逼近法：線性逼近法是將非線性規劃問題線性化，通過解線性規劃來求解原問題的近似解。通過不同的方式形成線性規劃可以得到不同的線性逼近法。如近似中華人民共和國城鄉規劃法是將原問題的目標函數和約束函數線性化，并對變量的取值范圍加以限制，從而得到線性近似規劃，再用單純形方法解此線性規劃，把其最優解作為原問題解的近似。每得到一個近似解后，再從這出發，重復以上步驟。通過解一系列線性規劃，產生一個由線性規劃最優解組成的序列。經驗表明，這樣的序列往往收斂于原非線性規劃問題的解。
還有另一種典型的線性逼近法是割平面法。割平面法針對凸規劃問題用多面集取代非線性規劃的可行域，并在多面集上求解一系列不斷改進的線性規劃，使它們的解收斂于原問題的解。
（4）乘子法：等式約束問題乘子法計算步驟如下：
Step1：給定初始點，乘子向量初始估計，參數，允許誤差，常數，置
Step2：以為初點，解無約束問題得解
Step3：若，停止計算，得到；否則，進行步Step4
Step4：若則置，轉到Step5；否則，進行Step5
Step5：用公式計算，置，轉Step2
拓展應用
物理
隨著物理科學的發展，人們研究的物理問題體系越來越大，而最優化提供了一種有效的數學工具。最優化方法幾乎遍及理論物理和實驗物理中的各個領域。例如，在物理問題中，如何用一個含有多個可調參量的理論模型模擬一個實驗現象或物理體系，并且逼近實際狀態的過程。具體而言，在物理研究中最常碰到的問題就是用一個含有若干個參量的理論表達式去擬合實驗曲線，就需要通過一定的數學規律調整這些參量，達到最小誤差，搜索出最終最優解。
物理問題研究中應用最優化方法主要包括兩個方面：從物理問題構造數學模型——確定目標函數和搜索變量以及確定求解數學模型的數學方法。
經濟
背包問題
線性規劃在經營管理中應用十分廣泛，但當問題中的各有關的量不全是簡單的比例關系時，就會出現非線性規劃問題。如經典的背包問題：一個人帶一個背包上山，背包可攜帶物品的總質量為。現有種物品，第種物品每件的質量為，若帶件第種物品，則可獲價值為，試問帶哪幾件物品各多少件，才能使獲得的總價值最大？求解類似經營計劃決策問題，需要構建類似背包問題的數學模型，并用非線性規劃的方法求解。
石油分配
如何合理的將全國各油田提供的可加工的原油分配給各煉油廠，煉油廠如何選擇合適的加工方案生產各種所需產品以及如何將各油廠的石油產品合理的調運到各消費區，使得總的運費最小、生產成本低、國家收益最大呢？該問題可分為兩個部分來考慮，第一部分是根據各油田與煉油廠的地理位置、原油的品種、煉油廠的加工能力和工藝裝備組成，把全國各油田提供的可加工原油分配給煉油廠進行加工，并選擇各煉油廠的生產方案，要求原油運費省，煉油廠生產成本低，收益大。第二部分是將煉油廠生產的石油產品運往消費區（包括出口點），要求滿足各消費區的需求，產品總運費低，運輸流向合理。
根據問題要求，第一部分建立生產子模型，第二部分建立運輸子模型。將這兩個子模型合起來就成為石油產品生產運輸模型，并通過非線性規劃求解得到其最優值。
工程設計
非線性規劃方法是工程設計中不可缺少的重要方法和手段。在工程技術問題中，如何使研制對象（一個工程或一個產品）在一定的客觀條件下質量最佳，成本最低，效率最高，亦即最優的性價比，這些問題的求解就是一個最優化問題。優化過程有3個方面，即最優設計（靜態優化問題）、優化控制（動態優化問題）和優化管理（方法問題）。對于水泥工業生產中的工程系統來說，無論是在設計過程中，還是在工業控制過程和生產管理過程中，總是存在許多可供優化的問題。另外，對于一些工程設計中所遇到的不確定的因素或問題，往往也可以借助于非線性規劃方法進行解決或定量地分析和處理。
如在船舶方案設計中，由于船舶設計工作中充滿著各種錯綜復雜的矛盾，這種估算校核的工作要經過多次反復，才能得到一個比較特合要求的設計方案。因此，非線性規劃運用到船型方案設計中：首先根據設計船舶的具體要求確定設計變量、目標函數及約束條件，構造出描述有關技術及經濟性能的數學模型；其次運用“運籌學”中有約束條件的非線性規劃問題的罰函數算法、多目標決策問題的分層序列算法，結合MATLAB強大的“最優化 Toolbox”進行優化計算；最后通過航區內3種庫型船的實際營運效果的對比得出船型方案優劣結果。
參考資料 >