等比數列，又稱幾何數列（英語：Geometric progression，常記作 G.P.），是指從第二項起，每一項與其前一項的比值都等于同一個非零常數的數列。該常數稱為等比數列的公比，通常用字母 q 表示（q≠0）。等比數列中各項均不為 0。若數列首項為 a?，公比為 q，則第 n 項為 a?＝a?·q??1。例如，當 a?＝2、q＝3 時，第 2、3 項分別為 6 和 18。
公元前3000年的古埃及時期，人類已經開始對等比數列進行研究。在名為《萊因德紙草書》的古埃及遺跡中發現了等比數列求和等內容的計算痕跡。公元前三世紀，古希臘數學家歐幾里得（希臘語：Ευκλειδc）在其著作《幾何原本》中對等比數列的性質進行研究，并總結出等比數列有限項的求和公式。另一位古希臘數學家阿基米德（希臘語：?ρχιμ?δη?）在研究拋物線弓形面積問題研究時，引出了等比數列。可以通過等比數列的定義計算等比數列的前n項和和前n項積以及等比中項；通過等比數列的公比還可以計算無窮級數的等比數列。
等比數列的研究已經有數千年的歷史，19世紀后，其理論實現跨學科融合，成為現代科學建模的重要工具，目前的應用十分廣泛，在數學分析、物理建模等學科中均有應用，在經濟領域可以通過等比數列計算銀行復利；在科技領域可以和網絡技術相結合制作線性無線傳感網絡。
定義
一般地，如果一個數列的首項不為0，且從第 2 項起，每項與它前一項的比都等于同一個常數，那么稱這個數列為等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示。
由等比數列的定義，從第 2 項起每一項與它的前一項的比都等于公比，對于等比數列，用數學公式可以表示為：
以此類推，可得到等比數列的通項公式為：。
根據等比數列的通項公式可知，如果滿足，其中，是非零常數，則數列是等比數列。
除通項公式外，等比數列任意兩項和還存在以下關系： 。
簡史
等比數列的研究可追溯到數千年以前。公元前3000年的古埃及時期，人類已經開始對等比數列進行研究。公元前3100年的埃及納爾美王(Narmer)圖。圖左邊有表示數字1的拐杖，而圖右邊的鷹象征著國王。這只鷹的一只爪子抓著人，另一只爪子踩在六瓣蓮花上。一瓣蓮花代表數字1000。也就是說，這幅圖的含義是，國王(鷹)抓了6000名俘虜(六瓣蓮花)。因為埃及的尼羅河定期泛濫，土地肥沃，而且不易遭到外敵入侵，人民生活安定，所以埃及的數字和文字文明較為發達。在名為《萊因德紙草書》的古埃及遺跡中甚至發現了我們現在所說的等比數列求和等內容的計算痕跡。
這本書用圖片、文字和數字的形式記載了110個數學問題，其中就包括等比數列求和的問題。相關內容用現代語句翻譯如下。“7座房子里各有7只貓。1只貓能抓7只老鼠，1只老鼠能吃7根麥穗，1根麥穗里有7顆谷粒。那么房子、貓、老鼠、麥穗和谷粒的總數有多少呢?"
古印度時期，記載了一個國際象棋與麥子的故事，其中涉及到以2為公比的等比數列的求和問題。一個國際象棋和麥子的故事：印度國王打算賞賜宰相發明了國際象棋，問他要什么賞賜宰相對國王說：“請您在這棋盤的第一方格內給我一粒小麥，在第二格內給我兩粒小麥，第三格內給我四粒小麥，如此下去，每一格內的放的麥仁數都是前一格二倍，直至64格都放下應放的小麥粒數目，便是您給我的賞賜了。”國王哈哈大笑答應了宰相的請求。因為國際象棋一共有64個格子,第一個格子可以看作放粒麥子，所以最后一個格子就是粒麥子。等式兩邊同時乘以公比，這道題的公比是2，
公元前三世紀，古希臘數學家歐幾里得（希臘語：Ευκλειδc）在其著作《幾何原本》中對等比數列的性質進行研究，并總結出等比數列有限項的求和公式。另一位古希臘數學家阿基米德（希臘語：?ρχιμ?δη?）在研究拋物線弓形面積問題研究時，引出了這一等比數列：
十六世紀，法國數學家韋達（法語：Fran?ois Viète）第一次給出了無窮項等比數列求和公式，該公式為。
性質
等比數列存在如下的性質：
1. 在有窮等比數列中，每隔取出一項，數列仍為等比數列。
3. 等比數列，首項，公比為，而各項的倒數構成的新數列可表示為
4. 是數列的前n項和，。
5. 等比數列的第項和前項和都是的指數函數，定義域為正整數集。
等比中項
如果在與中間插入一個數，使得成等比數列，也就是或，有，那么叫做與的等比中項。在等比數列中，從第2項起，每一項（有窮等比數列的末項除外）都是前一項與后一項的等比中項。
如果數列的任一連續三項滿足， 則數列是等比數列。
數列分類
遞增數列
如果等比數列的首項，公比，該數列是遞增數列；
遞減數列
如果，， 該數列是遞減的。當時，情況與此相反。
常數列
其中，，當時，即數列的各項都相等，該數列稱為常數列。
擺動數列
當公比時，數列總是擺動的。
計算
等比數列前n項和
設是等比數列，表示其前項和，即
由等比數列的通項公式可知：
，
等式兩邊同乘上，
，
兩式相減可得，
當時，等比數列的前項和公式為
。
代入通項公式，則上式可改寫為
。
當時，等比數列為常數數列，每一項都等于第一項，故其前項和公式為
。
綜上，等比數列的其前項和為
。
上述方法也稱為錯位相減法，這種方法同樣適用于等差數列與等比數列乘積的和。
等比數列前n項積
設是等比數列，給定首項，末項，
則；
又有代入
得
于是，得出等比數列前n項積公式。
給定首項，公比為，又知代入上述公式
得
最終得，得出等比數列前n項積公式。
例如，三個數為等比數列，和為38，積為1728，求這三個數。
先設三個數分別為，由題意知，由②得，所以。
把代入①，得.
解得，則所求三個數依次是8,12,18。
同理。當時，所求三個數依次是18，12，8。
等比中項的求法
在公比為的無窮等比數列中，每間隔項的項仍構稱等比數列，其公比為 。
設是數列每隔項的項所組成的新數列, 且，即是數列的第項，則：
以此類推，
因此，。
等比數列的充要條件
當時，由三個值確定一個等比數列的充要條件是：存在自然數，使得以下等式成立。
證明過程如下：
令，
則有。
如果以為首項，為公比構建等比數列，則以上三個式子均成立。
假設另有一以為公比的等比數列滿足
由可知，, 故
唯一。
等比數列的判定與證明方法
證明方法
定義法：；
等比中項法：。
判定方法
通項公式法：，
說明：；
前n項和法：，
說明：。
如判定某數列不是等比數列，只需判定有連續三項不成等比數列即可，就可以聯系到賦值法，比如常常判斷。
衍生概念
高階等比數列
設數列不是等比數列:若它的一階差數列是公比不為1的等比數列，則稱它為一階等比數列;若它的一階差數列不是等比數列，而二階差數列是公比不為1的等比數列，則稱它為二階等比數列一般地說，如果某一個數列它的(p-1)階差數列不是等比數列，而p階差數列是公比不為1的等比數列，則稱這個數列為p階等比數列(0階差數列當作為原數列)。
設數列的p階差數列是公比為的等比數列，則，而它的（p+1）階差數列的通項為，由此可見，（p+1）階差數列也是公比為q的等比數列，以此類推，得（p+2）、（p+3）…階差數列也是等比數列，且公比等于q。
高階等比求通項
求數列的通項:
先作各階差數列:
一階差數列由此可知，數列是一階等比數列，數列的首項為6，公比為2，于是，
因為，所以，，
將以上各式兩邊分別相加，得，所以
因此，數列的通項公式為。
幾何級數
定義
如果一列數，從第一項開始，以后一項都是它前一項乘上一個固定數r，即因為該數列毎相鄰兩項之比r保持不變，故稱之為等比數列，r為公比。如果等比數列中各項依次相加，即我們便稱其為等比級數（或幾何級數）。
當等比數列公比的絕對值小于1，即，則稱數列為無窮遞縮等比數列。無窮遞縮等比數列和為。無窮遞縮等比數列必須首先是等比數列，所以，但從數列的和的角度看，只需要。
求和方式
設級數為
第一項用表示為，
前兩項和為，
前三項和為…
前n項和為，可見為一數列。
根據數列的極限定義級數的“和”。設有無窮級數
，
它的前n項和是，
當時，如果有極限，即，
則稱是收斂的，叫做級數的和，此時可寫為
或。
當，如果沒有極限，則稱級數是發散的，由定義可知，如果收斂，必有和，即
這時，，把叫做級數的的余項。如果用作為的近似值，則產生的誤差等于余項的絕對值。
例如，和均為幾何級數。當趨于無窮大時，如果，該無窮級數的和是存在的，且為 。
證明過程如下：
首先求出前項和可知，由等比數列的前項和公式可知：
如果，幾何級數存在和，定義為：
因此該幾何級數的和為：
。
利用上述結論可以將循環小數化為分數。例如，
。
當時，對應的幾何級數收斂。該級數對應的等比數列也稱為無窮遞縮等比數列。例如, 即為無窮遞縮等比數列。
斂散性
當時，，因此，此時等比級數收斂。
當時，，因此，此時等比級數發散。
當時，，，此時等比級數發散。
當時，，所以不存在，等比級數發散。
應用
數學方面
化循環小數為分數，示例：
生活方面
復利
復利是和單利相對應的經濟概念，單利計算不用把利息計入本金計算；而復利恰恰相反，它的利息要并入本金中重復計息。可以用等比數列計算。如：10000元錢，日利率萬分之五，那么30天后，本息合計：10000*(1+0.05%)^30=10151.09，第一天結束，有利息是10000*0.05加上本金=10000（1+0.05）=A1。第一天結束本金A1第二天結束，利息是A1*0.05加上本金=A1(1+0.05)，那么第30天結束，利息A29*0.05加本金=A29*(1+0.05)。最終計算出復利是10000*(1+0.0005)^30。
細胞分裂
一個細胞，
分裂一次形成兩個細胞，
兩個細胞各分裂一次形成四個細胞
WSNs
無線傳感器網絡(Wireless Sensor Networks，WSNs)通過在監控區域隨機播撒大量傳感器節點，然后按照自組織網絡形式組成的應用于特定環境的網絡。
LIENS方案的主要思路是在網絡中不同的區域采用限制節點數量的方式，使傳感器節點的數量從內到外按等比數列遞增，同時在網絡中隨機部署一定數量的中繼節點用于轉發收集的數據。在采用的線性無線傳感器網絡模型中，假定需要通過Sink節點進行中繼的子監測區域數量總共為n，傳感器節點在相同的子監測區域中配置也是相同的，假定B為每個子監測區域中包含的傳感器節點數量,其中，但是B只是表示子監測區域中普通傳感器節點的數量，并不包含中繼傳感器節點的數量。普通傳感器節點主要是用于監測待測信息并發送所采集的數據信息，同時也能接收其他傳感器節點傳送來的數據信息；而中繼傳感器節點只用于傳輸普通傳感器節點所收集的數據信息，但其自身并不用于采集任何數據信息。令為第i個子監測區域中全部傳感器節點單位時間的能耗，為傳感器節點發送1比特數據所需的能耗，為節點接收1比特數據所需的能耗，網絡中全部節點的初始能量都是,每個傳感器節點每次發送的數據都是v比特。則在第n個子監測區域中，普通傳感器節點單位發送數據所需能耗為，如。
參考資料 >
等比數列.術語在線.2023-09-25
等比數列前n項積.MATHalino.2023-09-27