在數學領域，橢圓（ellipse）是圓錐曲線的一種，它是平面內到定點F（焦點）與到不通過這個點的一條定直線L(準線）的距離之比為小于1的常數e(離心率)的點的軌跡。e可以表示橢圓的扁平程度，當e越大，橢圓越扁平；當e越趨近于0，橢圓就越趨近于正圓；特別地，當e=0時，橢圓就變成圓了。我們把方程叫做橢圓的標準方程；把叫做橢圓的參數方程。
橢圓是封閉類型的圓錐曲線：追蹤圓錐與平面相交的平面曲線，在公元前4世紀，被稱為”銳角圓錐截線”。
橢圓在天文學、計算機圖形學、統計與金融學中很常見。例如，在天文學中，利用橢圓相關的數學知識結合物理規律解決關于衛星在萬有引力作用下做橢圓軌道的機械能問題。在計算機圖形學中，將橢圓繪制為圖形基元，MLV Pitteway在1976年將Breseham的直線算法擴展到了二次曲線。 在統計與金融學中，橢圓分布很重要，因為如果資產回報率聯合橢圓分布，那么所有投資組合都可以完全由其均值和方差來表征，也就是說，任何兩個具有相同投資組合回報均值和方差的投資組合都具有相同的投資組合分布返回。
橢圓詞源
?λλειψι?，英譯ellipse，也就是現在稱為橢圓的曲線，是由古希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius of Perga）在其著作《圓錐曲線論》中提出的。
發展歷史
約公元前 4 世紀，古希臘學者蒙愛啟馬斯(Meneachinus，約公元前375~325)在研究平面與直圓錐相交時得到了三種不同的圓錐曲線，其中截銳角圓錐所得的截線成為“銳角圓錐截線”，這種截線就是現在的“橢圓”。這也是橢圓視為圓錐截線的原始定義的由來。
公元前2世紀，古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）從純幾何的思想出發，建立起系統的圓錐曲線理論。如右圖所示，他在同一個圓錐體中使用不同的切割面得到了圓、橢圓、雙曲線、拋物線4種圖形。阿波羅尼奧斯發表了數學著作《圓錐曲線論》，該著作詳細介紹了橢圓等圓錐曲線的性質。
17世紀，法國數學家勒內·笛卡爾（René Descartes）和皮耶·德·費馬（Pierre de Fermat）創立了解析幾何，建立起坐標系的概念，用數學方程來研究圓錐曲線的各種性質。1745 年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）發表了《分析引論》，基于方程思想對橢圓曲線進行了系統的研究，建立起完整的橢圓積分等理論。
19 世紀，經法國數學卡爾·雅可比（Abel Jacobi）等人從橢圓積分發展出橢圓函數理論，將變量從實數范國延伸至復數范圍。
中國古代也早對橢圓做了研究，在《測量全義》《恒星歷指》等書中都記載了不少關于橢圓的知識。1742年編成的《歷象考成后編》中，不僅記載了橢圓的許多性質和畫法，并且研究了橢圓的切線和面積公式，特別是項名達、戴煦所著《橢圓求圍術》中，用初等方法推得橢圓周長的計算公式與后人用積分方法的結果完全一致。
概念簡介
橢圓（ellipse）是平面內與兩個定點F,F’的距離之和等于常數（大于|F,F’|的點的軌跡。這兩個頂點叫做橢圓的焦點，兩個焦點之間的距離叫做橢圓的焦距。
橢圓有兩條相互垂直的對稱軸（稱為橢圓的軸），它們的交點是對稱中心（稱為橢圓的中心）。通過焦點的軸稱為長軸，另一條軸稱為短軸。兩軸與橢圓的四個焦點都稱為橢圓的頂點。長軸上兩個頂點之間的線段被稱為短軸。
橢圓定義
第一定義
平面內與兩個定點的距離的和等于常數 (大于) 的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做焦距。
對這一定義, 應該注意：
(1) 動點到兩定點的距離之和 (記作) 大于(記作)， 否則，其軌跡不是橢圓。當時, 軌跡是線段；當時,軌跡不存在。
(2) 若用表示橢圓上的動點，則有
若建立平面直角坐標系, 使，則有
是橢圓第一定義軌跡條件的數量描述形式。
第二定義
平面內與一個定點和一條定直線的距離的比是常數的動點的軌跡是橢圓。定點叫做橢圓的焦點，定直線叫做焦點對應的準線, 常數稱為離心率。
對第二定義的理解,應特別注意:
(1)
(2) 點不在直線上，否則無軌跡。
(3) 根據橢圓的對稱性，橢圓有兩個焦點，因而有兩條準線，并且左、右焦點與左、右準線分別對應。
(4)若是橢圓上任意一點, 設到對應準線的距 離為，到對應準線的距離為，則有
若建立平面直角坐標系，使，則有
是第二定義軌跡條件的數量描述形式。
應當指出, 橢圓的上述兩個定義是等價的。事實上, 由 可得
兩邊減去，得
因此，
此這說明由第一定義可推出第二定義，反之亦然。
橢圓方程
標準方程
基本概念
橢圓標準方程是橢圓方程的一種規范形式，即橢圓的最簡方程，橢圓的標準方程為
（焦點在橫軸上）
或 （焦點在縱軸軸上）
對橢圓的標準方程, 應注意理解以下幾點:
(1)標準方程中的兩個參數和，確定了橢圓的形狀和大小，是橢圓的定形條件。
(2) 焦點的位置，是橢圓的定位條件, 它決定橢圓標準方程的類型。知道了焦點位置，其標準方程只有一種形式；不知道焦點位置，其標準方程具有兩種類型..
(3)任何一個橢圓，只要選擇適當的坐標系, 使橢圓的中心在原點, 焦點在坐標軸上, 橢圓的方程就具有標準形式。
(4) 橢圓方程中的參數是橢圓所固有的, 與坐標系的建立無關，始終是成立的。
推導過程
建立如圖4-1所示的直角坐標系，設點是橢圓上任意一點，取焦距,那么焦點、坐標分別為
又設與和之間的距離之和等于常數
根據兩點間距離公式，得：
化簡得
由橢圓定義可知，，即，所以
將帶入上式，得
兩邊同時除以,得
即橢圓的標準方程
參數方程
橢圓的參數方程是橢圓方程的一種常用形式，即橢圓方程的參數表示。在平面直角坐標系下，方程
稱為橢圓常用的參數方程，點是橢圓的中心，參數是半徑為a的圓(稱為橢圓的輔助圓)與點對應的半徑GP與x軸正向的交角，中心在原點的參數方程為。
推導過程
由橢圓的標準方程改寫可得
若令，則得，由于在時本身有正有負，所以可以通過適當選取所在象限，使符號省略，故有，于是得到，即橢圓的一種參數方程。
極坐標方程
相對于中心的極坐標形式
相對于中心的橢圓極坐標：
推導過程
由橢圓的標準方程可得：，以橢圓中心為原點，AB所在直線為x軸，過點C垂直于AB直線為y軸構造直角坐標系xOy
觀察圖4-3-1由極坐標與直角坐標的關系
易得：，帶入至標準方程可得
提取得,此方程表示橢圓的軌跡。
相對于焦點的極坐標形式
相對于焦點的橢圓極坐標：
推導過程
如圖 4-3-2，以橢圓的左焦點為極點，向右為極軸的正方向，設到左準線的距離為，橢圓的離心率為，設橢圓上任意一點的極坐標為,則，作于點，則,由橢圓的定義可知，，即,解得
幾何性質
主軸
如圖5-1中，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半周長。
范圍
觀察圖5-1，易得橢圓上點的橫坐標范圍為，縱坐標范圍為。如下，利用方程方法研究其范圍。
由方程可知
所以，橢圓上點的橫坐標都適合不等式,即;
同理有,即;
可得橫縱坐標的范圍分別為：、。
對稱性
觀察橢圓的形狀，可以發現橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。
在橢圓中以代，方程并不改變，這說明當點 在橢圓上時，它關于軸的對稱點也在圓上，所以圓關于 軸對稱;同理以代，方程也不改變，所以橢圓關于軸對稱;以代，以代，方程也不改變，所以橢圓關于原點對稱。
綜上，橢圓關于軸、軸都是對稱的，這里，坐標軸是圓的對稱軸，原點是圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心
頂點
圓與對稱軸的交點為圓的頂點(a,0)、B(0,6)、B(0,-b),線段分別叫做橢圓的長軸、短軸,長分別為
離心率
楠圓的焦距與長軸長的比為橢圓的離心率,,越接近于1，則橢圓越扁，反之， 越接近于0，橢圓越接近于圓。
從圖 7-3-1可以看到,壓縮系數的值愈小,也就是c的值愈接近于a時，橢圓就愈扁平。一般我們用的焦距和長軸的比來表示橢圓的扁平程度,并且把這個比叫做橢圓的離心率,用e來表示,就是
由于c 因為 當時,橢圓就愈扁平； 當時，,橢圓愈近于圓； 當時,，橢圓就變成了圓,這時,兩個焦點就重合，所以圓是兩個焦點重合的橢圓，故我們就把圓看作橢圓的一種特殊情況。 橢圓上任一點到焦點的距離為焦半徑，當焦點在軸上時，任一點到左焦點的焦半徑 ，到右焦點的焦半徑 橢圓和圓不同,其各點的曲率不同，曲率半徑不是常量，在這里我們用 來表示圓上點 的曲率半徑。曲率半徑在光路計算中有重要用途，有以下計算公式 式中為焦點半徑，為焦點參數，為點的焦點半徑與切線的夾角。 綜上所述，橢圓的長軸在軸上,它的長是 ，短軸在 軸上,它的長是 ,焦點是 和,中心在原點,離心率<1,其中。橢圓是關于長軸、短軸和中心對稱的圖形。 同理可以知道，橢圓的長軸在 軸上,它的長是 ,短軸在軸上，它的長是,焦點是和 中心在原點,離心率<1，其中。 一般地說，二次方程,如果，A、B、C的符號相同，可得到且有 所以這個方程可以化成橢圓的標準方程的形式：如果，則橢圓的長軸在軸上，短軸在軸上；，則橢圓的長軸在軸長，短軸在軸上；，則軌跡是個圓。 經過橢圓上某點M的切線與焦半徑FM，F’M構成等角，且在 之外通過，這個幾何性質的物理意義是:從橢圓的一個焦點F發出的光線或聲波經過繞長軸旋轉所得的橢圓面反射后，都通過另一焦點F‘，這就是橢圓的光學性質，也是“焦點”命名的依據。 推導過程 不通過錐面頂點的圓錐曲線（如圖6-1），可以看作圓在截平面上的射影（射影直線重合與母線）。橢圓平面和錐面沿母線的切面交直線(圖如6-1）。這條直線是圓的切線的射影，而叫做橢圓的切線。 要證明，在點M的焦半徑與切線作成等角。 事實上，一方面，二平面與“上面的”球面切于點和;因此按照定理(a)：如果和是交于直線C并與球面切線于A，B兩點的二平面，則直線C上任意一點至A，B作的二切線段，與直線C做成等角。（如圖6-2） 得；（1） 另一方面，這二平面與“下面的”球面切于點和; 再次應用定理（a）可得：；（2） （1）和（2）二式等號右邊的二角由于是對頂角，相等，所以等號左邊的二角相等，即，得證。 將以上結果聯系著名的光學上的鏡面反射定律，導出如下推論：從一個焦點發出的光線，經橢圓鏡面反射后，都通過另一焦點。（如圖6-3） 切線方程推導過程 設Q是在橢圓上與點鄰近的一個點（如圖7-5），它的坐標為這里表示很小的改變量（因為在曲線上與點可以任意靠近，所以這兩個點的橫坐標與縱坐標之差是一個很小的改變量）。連結，那么割線的斜率為,根據曲線的切線定義，當沿著橢圓移動，無限趨近于點P時，線的極限位置就是切線。因而割線的斜率的極限，就是切線的斜率(如果的斜率存在的話)。 設切線PT的斜率為，那么 因為兩點都在圓上，所以 兩式相減，化簡，得 因為橢圓是連續曲線，所以當趨近于時，因此當時, 這就是切線的斜率。當即為橢圓的頂點時，切線平行于軸，沒有斜率。所以，過點的切線的方程是 即 兩邊同時除以，得 因為 所以。 已知橢圓的焦點F，F’和長軸長2a。在點F，F’處釘上釘子，用一根細線結成長為2a+|FF’|的圓圈，套在釘子上，并用一根筆尖P拉緊，則筆尖P在平面上移動所畫的曲線即為橢圓。 已知橢圓的長軸A’A和短軸B‘B互相垂直平分于O，以B為圓心,半長軸 OA 為半徑作圓弧交 AA’于 F，F’(焦點)。在 A’A上任取一點 M,分別以 F,F為圓心，以AM，A'M為半徑畫弧交于 PP兩點變M的位置，同樣畫出 P和 PP和 P等點把各點連結成光滑的曲線就得到所要畫的橢圓給定圓兩焦點F和F的位置以及長軸 2a，述畫法相當于畫出以 F和 F為圓心的兩族同心圓兩族圓中徑之和等于 2a 的圓的交點都是圓上的點用光滑曲線將這些交點連結起來即得橢圓。 以橢圓的長軸A’A和短軸B'B為直徑分別作橢圓的大小輔助圓O（如下圖），作涉嫌OM和大、小輔助圓分別相交于M和N，作MQOA，做NP//OA，交MQ于P，則P是橢圓上的點，取不同的可以得出橢圓上相對應的不同的點,把這些點用光滑的曲線連接起來，就形成了一個橢圓。 平面E繞著它上面的一個圓周的中心的旋轉，是把這個圓周平面變成自己的平面E的仿射變換。它所誘發的平面E的變換叫做橢圓旋轉。 橢圓的旋轉是一種平面仿射變換，即將橢圓繞其中心旋轉的平面仿射變換。在平面直角坐標系中，橢圓旋轉的計算公式為：；。 橢圓標準方程為：，觀察圖10-1易得： 點在圓內： 點在圓上: 點在圓外: 直線與橢圓方程分別為 消去得 如果，則方程（3）的判別式為，那么 人造星體軌道 在地面上發射一個物體，如果發射速度過小，由于地球引力作用，這個物體就會被吸引回到地上，只有當發射速度等于或超過公里/秒時，物體才會保持在空中不回到地面，這個速度叫做環繞地球速度，也叫第一宇宙速度。 公里/秒，叫做脫離地球速度，也叫做第二宇宙速度。 當時，則,發射體的軌道是一個橢圓，隨著的增大，軌道越來越扁平，長軸約拉越長，但發射體仍然繞地球運行，稱為人造衛星。當=16.7公里/秒時，軌道是一個橢圓，發射體稱為一個人造行星，當時，發射體飛出太陽系，所以叫做脫離太陽系的速度，也叫做第三宇宙速度。 橢球鏡面 根據橢圓法線的性質：經過橢圓上一點的法線，平分這一點的兩條焦點半徑的夾角。因此如果把光源放在橢球鏡面的一個焦點處，那么經過反射，都集中到另一個焦點上(如圖 11-2-1)。 許多光燈泡是橢球形就是根據這個性質設計的，如下面要介紹的一種電影放映機的聚光燈泡。它的構造如圖11-2-2所示橢圓弧繞軸旋轉成橢球面，以為焦點; 圓弧和旋轉成一球帶。以為球心，為直徑，這兩曲面組成反射面，表示透明的光窗，燈絲在處，片門裝在與另一焦點間緊靠于的處，這樣從燈絲發出的光、或經橢球面反射后集中于。所以燈絲發出的光，除射到光窗和頭處以外，全部透過片門集中到 ，再經放射鏡頭，將影片上的畫面放大并投射到銀幕上。 片門如放在處，本來可以得到最多的光照射其上，但處光線集中，照在影片上，難免中間特別明亮麗周圍較暗。將使銀幕上的畫面出現照度不均勻的現象。因此片門從移后一些。 這種燈泡的優點是體積小，且減少了光源后面的反光鏡和光源與片門間的聚光透鏡組，使放映機結構簡單，體積較小，便于移動，但更主要的是光源發出的光能夠充分地被利用。 沖擊波排石 泌尿系統結石是泌尿外科常見的疾病，可引起腎絞痛、泌尿系感染及腎功能不全，給病人造成極大痛苦。據醫學知識，如果結石小于0.4公分，有八成機率會自動排出體外，介于0.4到0公分時，有一半自然排出機會，一旦大于1.6公分，結石很難自行排出體外。自20 世紀80 年代以來，逐漸普及體外沖擊波碎石法，比藥物排石和手術取石有獨特優勢，是目前泌尿結石的首選治療方法。 如圖11-3-1，是體外沖擊波碎石機原理示意圖，1980 年2月2日，在德國慕尼黑首次使用于臨床。這種碎石機的沖擊波源，是在一個半橢球形金屬反射體的一個焦點處安置的電極，反射體內充滿水。當高壓電在水中放電時，在電極極尖處產生高溫、高壓，因液電效應而形成高頻超聲波。這種沖擊波向四周傳播，遇橢球光滑表面反射而會聚于第二焦點處。當人體結石經 B超定位而處于第二焦點時，結石在沖擊波的多次拉應力和壓應力的聯合作用下粉碎，然后自然排出體外。這種體外沖擊波礫石適用于腎、膀胱、輸尿管結石的治療，它無需病人住院，無手術創傷，無痛苦，完成治療省時，而且費用低。 激光消痣 如圖11-3-2，是英國劍橋大學于 70 年代發明的一種醫用激光消痣器，它可用于人體美容，治療人體皮膚的各種色素斑、鮮紅斑痣、黑痣等。這種激光消痣器的消痣頭，是一個半橢球形有機玻璃固體，激光束位于橢球的一個焦點處。激光經橢球壁反射后聚焦射向痣區，瞬間完成去痣操作，同時保護正常皮膚，大大提高美容效果。 還有的拱橋主跨是橢圓形。如在16世紀歐洲就盛行建造圓拱橋，到意大利威尼斯水城，就見一座座橢圓石拱橋在水面上成半月狀，與水城建筑風格相映成趣。 如圖11-4-1，是建于我國清代乾隆(1736-1795 年)的北京顧和園樹圓拱形玉帶橋。這橋拱高聳，橋拱與水中倒影恰成一長軸豎直的橢圓，配以柔曲橋面及漢白玉橋體和精美石雕，放在山水綠柳中，美景獨特。在天津南開大學內有一座便橋，其橋拱是一個長軸水平方向的半橢圓。又如 2006 年初建成的江蘇無錫長廣溪大橋，是無錫正規劃、開發建設有50萬人口的濱湖新城的景觀大橋。它是6跨圓拱結構，全長224米，橢圓拱橫放并列建筑，抗壓強度好，排洪泄澇能力大。該橋的六橢圓聯拱仿歐洲風情造型和整座橋精致華麗的建筑，成為無錫最漂亮的橋梁。 橢球形“上海科技城”與“南京青少年科技活動 近 10 年來，我國的薄殼結構建筑也得到迅速發展。如圖11-4-2，是 2005年8月在上海浦東建造的“上海科技城”，其壯觀的橢圓形球體，長、短軸分別為67米、51米。如圖11-4-3，是 2005 年10月在南京雨花臺區建造的“南京青少年科技活動中心”的主體科技館，呈橢球體，面積3萬平方米。該科技館外形奇特像鯨目、像潛水艇，它的設計原型是法國著名科幻小說家儒勒·凡爾納科幻小說《海底兩萬里》中那艘探尋科學奧秘的魔船。這個“南京青少年利技活動中心”已成為一流的現代科技公園。 在統計學中，二元隨機向量 如果它的等密度輪廓（密度函數的相等值的軌跡）是橢圓，則它是聯合橢圓分布的。該概念擴展到隨機向量的任意數量的元素，在這種情況下，等密度輪廓通常是橢球體。一個特例是多元正態分布。橢圓分布在金融中很重要，因為如果資產回報率聯合橢圓分布，那么所有投資組合都可以完全由其均值和方差來表征，也就是說，任何兩個具有相同投資組合回報均值和方差的投資組合都具有相同的投資組合分布返回。 參考資料 >焦半徑
曲率半徑
光學性質
相關公式
橢圓畫法
拉線法
定義法
輔助圓法
橢圓旋轉
幾何關系
點與橢圓
直線與橢圓
橢圓應用
物理應用
建筑應用
統計與金融應用