極坐標(biāo)系是用于平面中定位點(diǎn)的系統(tǒng)，它由極點(diǎn)、極軸和極徑組成。以一個(gè)固定點(diǎn)O（原點(diǎn)）和一條從原點(diǎn)發(fā)出的射線Ox（通常是正x軸）作為參考。坐標(biāo)用（ρ，θ）表示，其中ρ是原點(diǎn)到任意點(diǎn)P的距離，θ是線段OP與極軸之間的夾角。通常規(guī)定角度取逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎＆逊Q為極徑，θ稱為極角。笛卡爾坐標(biāo)（x，y）和極坐標(biāo)（r，θ）之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系，即：x=r cosθ和y=r sinθ。
在極坐標(biāo)被公認(rèn)為一種通用的幾何工具之前，它被用于一些特殊目的和研究特定的曲線。最早使用極坐標(biāo)的數(shù)學(xué)家是邦納文圖拉·卡瓦列里，他用它通過(guò)與拋物線外的面積聯(lián)系起來(lái)的方法來(lái)計(jì)算阿基米德螺旋線內(nèi)的面積。
第一位將極坐標(biāo)視為平面中任何點(diǎn)定位手段的數(shù)學(xué)家是艾薩克·牛頓。雅各布·伯努利寫出了以極坐標(biāo)形式給出的曲線的曲率半徑表達(dá)式。
第一位想到在三維空間中使用極坐標(biāo)的數(shù)學(xué)家是克萊羅，但他只是簡(jiǎn)單地提到了這種可能性。第一個(gè)發(fā)展它的人是長(zhǎng)城歐拉，即極坐標(biāo)和極角坐標(biāo)。
歷史
眾所周知，希臘人最早使用了角度和弧度的概念。天文學(xué)家喜帕恰斯（Hipparchus 190-120 BC）制成了一張求各角所對(duì)弦的弦長(zhǎng)函數(shù)的表格。并且，曾有人引用了他的極坐標(biāo)系來(lái)確定恒星位置。在螺線方面，阿基米德描述了他的著名的螺線，一個(gè)半徑隨角度變化的方程。希臘人作出了貢獻(xiàn)，盡管最終并沒(méi)有建立整個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)。
關(guān)于是誰(shuí)首次將極坐標(biāo)系應(yīng)用為一個(gè)正式的坐標(biāo)系統(tǒng)，流傳著有多種觀點(diǎn)。關(guān)于這一問(wèn)題的較詳盡歷史，哈佛大學(xué)教授朱利安·盧瓦爾·科利奇（Julian Coolidge）的《極坐標(biāo)系起源》作了闡述。格雷瓜·德·圣-萬(wàn)桑特（Grégoire de Saint-Vincent）和博納文圖拉·卡瓦列里，被認(rèn)為在幾乎同時(shí)、并獨(dú)立地各自引入了極坐標(biāo)系這一概念。圣-萬(wàn)桑特在1625年的私人文稿中進(jìn)行了論述并發(fā)表于1647年，而卡瓦列里在1635進(jìn)行了發(fā)表，而后又于1653年進(jìn)行了更正。卡瓦列里首次利用極坐標(biāo)系來(lái)解決一個(gè)關(guān)于阿基米德螺線內(nèi)的面積問(wèn)題。布萊士·帕斯卡隨后使用極坐標(biāo)系來(lái)計(jì)算拋物線的長(zhǎng)度。
在1671年寫成，1736年出版的《流數(shù)術(shù)和無(wú)窮級(jí)數(shù)》（Method of Fluxions）一書中，艾薩克·牛頓第一個(gè)將極坐標(biāo)系應(yīng)用于表示平面上的任何一點(diǎn)。牛頓在書中驗(yàn)證了極坐標(biāo)和其他九種坐標(biāo)系的變換關(guān)系。在1691年出版的《博學(xué)通報(bào)》（Acta eruditorum）一書中雅各布·伯努利正式使用定點(diǎn)和從定點(diǎn)引出的一條射線，定點(diǎn)稱為極點(diǎn)，射線稱為極軸。平面內(nèi)任何一點(diǎn)的坐標(biāo)都通過(guò)該點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和與極軸的夾角來(lái)表示。伯努利通過(guò)極坐標(biāo)系對(duì)曲線的曲率半徑進(jìn)行了研究。
實(shí)際上應(yīng)用“極坐標(biāo)”（polar coordinate system）這個(gè)術(shù)語(yǔ)的是由格雷古廖·豐塔納（Gregorio Fontana）開(kāi)始的，并且被18世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家所使用。該術(shù)語(yǔ)是由喬治·皮科克（George Peacock）在1816年翻譯席維斯·拉克魯克斯（Sylvestre Fran?ois Lacroix）的《微分學(xué)與積分學(xué)》（Traité du calcul différentiel et du calcul intégral）一書時(shí)，被翻譯為英語(yǔ)的。
亞歷克西斯·克萊羅和萊昂哈德·歐拉被認(rèn)為是將平面極坐標(biāo)系擴(kuò)展到三維空間的數(shù)學(xué)家。
射影
過(guò)點(diǎn)M作軸Ox的垂線，垂足M'叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)射影點(diǎn)，記作。矢量叫做矢量的極坐標(biāo)射影矢量，記作。少數(shù)情況下，PrjPoint也可以記作“射影點(diǎn)”，PrjVector也可以記作射影矢量。
轉(zhuǎn)換
在極坐標(biāo)系Ox中，以O(shè)為原點(diǎn)Ox為x軸正方向建立平面Rt坐標(biāo)系xOy。矢量，那么。，于是的直角坐標(biāo)為。
從極坐標(biāo)和可以變換為直角坐標(biāo)：
（參閱畢氏定理）
（atan2是已將象限納入考量的反正切函數(shù)）
或
來(lái)源
第一個(gè)用極坐標(biāo)來(lái)確定平面上點(diǎn)的位置的是艾薩克·牛頓。他的《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》，大約于1671年寫成，出版于1736年。此書包括解析幾何的許多應(yīng)用，例如按方程描出曲線。書中創(chuàng)建之一，是引進(jìn)新的坐標(biāo)系。17甚至18世紀(jì)的人，一般只用一根坐標(biāo)軸（x軸），其y值是沿著與x軸成直角或斜角的方向畫出的。牛頓所引進(jìn)的坐標(biāo)之一，是用一個(gè)固定點(diǎn)和通過(guò)此點(diǎn)的一條直線作標(biāo)準(zhǔn)，例如我們使用的極坐標(biāo)系。艾薩克·牛頓還引進(jìn)了雙極坐標(biāo)，其中每點(diǎn)的位置決定于它到兩個(gè)固定點(diǎn)的距離。由于艾薩克·牛頓的這個(gè)工作直到1736年才為人們所發(fā)現(xiàn)，而瑞士數(shù)學(xué)家J.貝努利于1691年在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了一篇基本上是關(guān)于極坐標(biāo)的文章，所以通常認(rèn)為J.貝努利是極坐標(biāo)的發(fā)現(xiàn)者。J.貝努利的學(xué)生J.赫爾曼在1729年不僅正式宣布了極坐標(biāo)的普遍可用，而且自由地應(yīng)用極坐標(biāo)去研究曲線。他還給出了從直角坐標(biāo)到極坐標(biāo)的變換公式。確切地講，J·赫爾曼把cosθ，sinθ當(dāng)作變量來(lái)使用，而且用n和m來(lái)表示cosθ和sinθ。長(zhǎng)城歐拉擴(kuò)充了極坐標(biāo)的使用范圍，而且明確地使用三角函數(shù)的記號(hào)；長(zhǎng)城歐拉那個(gè)時(shí)候的極坐標(biāo)系實(shí)際上就是現(xiàn)代的極坐標(biāo)系。
有些幾何軌跡問(wèn)題如果用極坐標(biāo)法處理，它的方程比用直角坐標(biāo)法來(lái)得簡(jiǎn)單，描圖也較方便。1694年，J.貝努利利用極坐標(biāo)引進(jìn)了雙紐線，這曲線在18世紀(jì)起了相當(dāng)大的作用。
在極坐標(biāo)中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。
極坐標(biāo)系是一個(gè)二維坐標(biāo)系統(tǒng)。該坐標(biāo)系統(tǒng)中的點(diǎn)由一個(gè)夾角和一段相對(duì)中心點(diǎn)——極點(diǎn)（相當(dāng)于我們較為熟知的直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)）的距離來(lái)表示。極坐標(biāo)系的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，包括數(shù)學(xué)、物理、工程、航海以及機(jī)器人領(lǐng)域。在兩點(diǎn)間的關(guān)系用夾角和距離很容易表示時(shí)，極坐標(biāo)系便顯得尤為有用；而在平面直角坐標(biāo)系中，這樣的關(guān)系就只能使用三角函數(shù)來(lái)表示。對(duì)于很多類型的曲線，極坐標(biāo)方程是最簡(jiǎn)單的表達(dá)形式，甚至對(duì)于某些曲線來(lái)說(shuō)，只有極坐標(biāo)方程能夠表示。
極坐標(biāo)系
如何表示點(diǎn)
正如所有的二維坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r（半徑坐標(biāo)）和θ（角坐標(biāo)、極角或方位角，有時(shí)也表示為φ或t）。r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離，θ坐標(biāo)表示按逆時(shí)針?lè)较蜃鴺?biāo)距離0°射線（有時(shí)也稱作極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。
比如，極坐標(biāo)中的表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為的點(diǎn)。和表示了同一點(diǎn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)的半徑為在夾角射線反向延長(zhǎng)線上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的地方。
極坐標(biāo)系中一個(gè)重要的特性是，平面直角坐標(biāo)中的任意一點(diǎn)，可以在極坐標(biāo)系中有無(wú)限種表達(dá)形式。通常來(lái)說(shuō)，點(diǎn)可以任意表示為或，這里k是任意整數(shù)。 如果某一點(diǎn)的r坐標(biāo)為0，那么無(wú)論θ取何值，該點(diǎn)的位置都落在了極點(diǎn)上。
使用弧度單位
極坐標(biāo)系中的角度通常表示為角度或者弧度，使用公式具體使用哪一種方式，基本都是由使用場(chǎng)合而定。航海（en:Navigation）方面經(jīng)常使用角度來(lái)進(jìn)行測(cè)量，而物理學(xué)的某些領(lǐng)域大量使用到了半徑和圓周的比來(lái)作運(yùn)算，所以物理方面更傾向使用弧度。
兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換
極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo)r和θ可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值
，
，
由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x和y兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)：
在的情況下：若y為正數(shù)；若y為負(fù)數(shù)，則。
極坐標(biāo)方程
用極坐標(biāo)系描述的曲線方程稱作極坐標(biāo)方程，通常用來(lái)表示ρ為自變量θ的函數(shù)。
極坐標(biāo)方程經(jīng)常會(huì)表現(xiàn)出不同的對(duì)稱形式，如果，則曲線關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，如果，則曲線關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，如果，則曲線相當(dāng)于從極點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α°。
圓
在極坐標(biāo)系中，圓心在半徑為r的圓的方程為
另：圓心半徑r 的圓的極坐標(biāo)方程為:
根據(jù)余弦定理可推得。
直線
經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線由如下方程表示
其中φ為射線的傾斜角度，若m為直角坐標(biāo)系的射線的斜率，則有。任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線都會(huì)與某條射線垂直。這些在點(diǎn)處的直線與射線垂直，其方程為。
玫瑰線
極坐標(biāo)的玫瑰線（polar rose）是數(shù)學(xué)曲線中非常著名的曲線，看上去像花瓣，它只能用極坐標(biāo)方程來(lái)描述，方程如下：
或，
如果k是整數(shù)，當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)那么曲線將會(huì)是k個(gè)花瓣，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)曲線將是2k個(gè)花瓣。如果k為非整數(shù)，將產(chǎn)生圓盤（disc）狀圖形，且花瓣數(shù)也為非整數(shù)。注意：該方程不可能產(chǎn)生4的倍數(shù)加2（如2，6，10……）個(gè)花瓣。變量a代表玫瑰線花瓣的長(zhǎng)度。
阿基米德螺線
右圖為方程的一條阿基米德螺線。
阿基米德螺線在極坐標(biāo)里使用以下方程表示：，
改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，通常其為常量。阿基米德螺線有兩條螺線，一條，另一條。兩條螺線在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn)得到其鏡像，就是另一條螺線。
圓錐曲線
其中l(wèi)表示半徑，e表示離心率。如果，曲線為橢圓，如果，曲線為拋物線，如果，則表示雙曲線。
或者
其中e表示離心率，p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。
其他曲線
由于坐標(biāo)系統(tǒng)是基于圓環(huán)的，所以許多有關(guān)曲線的方程，極坐標(biāo)要比直角坐標(biāo)系（勒內(nèi)·笛卡爾坐標(biāo)系）簡(jiǎn)單得多。比如雙紐線，心臟線。
應(yīng)用
行星運(yùn)動(dòng)的開(kāi)普勒定律：
開(kāi)普勒第一定律：太陽(yáng)系中的所有行星圍繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道都是橢圓，太陽(yáng)處在所有橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。
開(kāi)普勒第二定律：極坐標(biāo)提供了一個(gè)表達(dá)在引力場(chǎng)中開(kāi)普勒行星運(yùn)行定律的自然數(shù)的方法。開(kāi)普勒第一定律，認(rèn)為環(huán)繞一顆恒星運(yùn)行的行星軌道形成了一個(gè)橢圓，這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在質(zhì)心上。上面所給出的圓錐曲線部分的等式可用于表達(dá)這個(gè)橢圓。開(kāi)普勒第二定律，即等域定律，認(rèn)為連接行星和它所環(huán)繞的恒星的線在等時(shí)間間隔所劃出的區(qū)域是面積相等的，即是常量。這些等式可由牛頓運(yùn)動(dòng)定律推得。在開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律中有相關(guān)運(yùn)用極坐標(biāo)的詳細(xì)推導(dǎo)。
計(jì)算二重積分
根據(jù)上式，可以將二重積分從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)，如下：
參考資料 >
極坐標(biāo).大英百科全書.2023-12-20
Coolidge: Origin of Polar Coordinates.MacTuor.2023-12-20