點(diǎn)是最簡單的形，是幾何圖形最基本的組成部分。在空間中作為 1 個(gè) 0 維的對象。在其他領(lǐng)域中，點(diǎn)也作為討論的對象。
在歐氏幾何中，點(diǎn)是空間中只有位置，沒有大小的圖形。點(diǎn)是整個(gè)歐氏幾何的基礎(chǔ)。歐幾里得最初含糊地定義點(diǎn)作為"沒有部分的東西"。在二維歐氏空間中，1 個(gè)點(diǎn)被表示為 1 組有序數(shù)對。同樣的，在笛卡爾坐標(biāo)系中，任意 1 個(gè)點(diǎn)都可以被精確地定位。
在現(xiàn)代數(shù)學(xué)語言中，任何集合的元素都叫作“點(diǎn)”，但與三維空間中的點(diǎn)可以沒有任何關(guān)系。
定義無效
點(diǎn)是無法被定義的。試圖去定義點(diǎn)就會陷入重復(fù)定義、逆邏輯定義的深淵。點(diǎn)作為原始概念的同時(shí)也具有原始概念的性質(zhì)。
在科學(xué)系統(tǒng)中總是要對概念下定義，而且一定會用一些已知的概念來定義新的概念，但概念的個(gè)數(shù)是有限的，又由第二條規(guī)則可知，下定義是不能惡性循環(huán)的，因此總有一些概念不能引用別的概念來定義，這樣概念叫做這個(gè)科學(xué)體系中的原始概念。
比如，把平行四邊形定義為兩組對邊分別平行的四邊形，因此就必須先對四邊形、平行以及對邊進(jìn)行定義。定義四邊形時(shí)，應(yīng)先對多邊形及邊進(jìn)行定義，又必須先定義折線，故必須先要對點(diǎn)和直線進(jìn)行定義。但是，在一般的初等幾何中，點(diǎn)和直線都無法再用已被定義過的概念進(jìn)行定義，它們都是原始概念。在數(shù)學(xué)中，點(diǎn)、直線、平面、集合，空間、數(shù)、量等都是原始概念，但在其中有些是通過公理來直接描述的，雖然有些概念在爐山中學(xué)課本中也有解釋，但這種解釋并不是定義。
點(diǎn)的含義
在幾何學(xué)、拓?fù)鋵W(xué)以及數(shù)學(xué)的相關(guān)分支中，空間中的點(diǎn)用于描述給定空間中的 1 種特別的對象，在空間中有類似于體積、面積、長、寬、高的類似物。 1 個(gè)點(diǎn)是 1 個(gè) 0 維的對象。點(diǎn)作為最簡單的圖形概念，通常作為幾何學(xué)、物理學(xué)、矢量圖形和其他領(lǐng)域中最基本的組成部分。
點(diǎn)的歷史
在亞里士多德的著作【論天體】第三冊中，已經(jīng)提到數(shù)學(xué)中的點(diǎn)是沒有大小的，他依此來駁斥柏拉圖將數(shù)學(xué)的幾何形視為物理實(shí)體的構(gòu)成要素（參見正多面體），并強(qiáng)調(diào)這與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)定義相違背：數(shù)學(xué)的平面沒有厚度，所以不能構(gòu)造物理實(shí)體。他論述說，如果數(shù)學(xué)平面有厚度，那么數(shù)學(xué)的線就要有寬度才能夠構(gòu)成平面，而數(shù)學(xué)的點(diǎn)必須有大小才能構(gòu)成線，但是在數(shù)學(xué)中已經(jīng)明確定義數(shù)學(xué)的點(diǎn)是沒有大小的，因此柏拉圖的理論與數(shù)學(xué)相抵觸。從這里，亞里斯多德陳述說，一個(gè)幾何物件只能分割成相同型態(tài)的幾何物件（而不會變成其它的東西）：平面只能分割成平面，而不能分割成線；線只能分割成線，不能分割成點(diǎn)；這樣的分割可以無限的進(jìn)行，而不是像原子論者所說的，最后分割到原子（或是基本構(gòu)成要素）就停止了。
因此，早在歐幾里得的【幾何原本】之前，數(shù)學(xué)中的點(diǎn)只用來標(biāo)示位置的用法已經(jīng)是共識。亞里士多德提到點(diǎn)的時(shí)候，用的字是 στιγμ??，是可見的點(diǎn)（spot），而歐幾里得則（小心翼翼的）采用另一個(gè)字 σημε??ν，原意是“標(biāo)示”（sign）：
σημε??ν ?στιν,ο? μ?ρο? ο?θ?ν.
這句話的意思是：點(diǎn)是沒有部分（μ?ρο?）的東西。點(diǎn)沒有部分，所以也就沒有大小。這個(gè)論點(diǎn)來源自亞里斯多德的“部分－整體”理論（part–whole theory）：
"the parts are causes of the whole"（整體是由部分所構(gòu)成的。）
【幾何原本】的阿拉伯文版，將 σημε??ν 翻譯為 ????，意思回到亞里斯多德的可見點(diǎn)；拉丁文版則將 σημε??ν 翻譯為 punctum，意思是被尖物刺成的小洞，反映不同文化對幾何原點(diǎn)的理解差異。
特殊的點(diǎn)
（內(nèi)容待補(bǔ)充）
端點(diǎn)：1 條線段兩端上的點(diǎn)或1條射線一端上的點(diǎn)（即線段或射線的起點(diǎn)或終點(diǎn)）；
等分點(diǎn)：把 1 條線段平均分成若干條線段的點(diǎn)；
頂點(diǎn)：圖形的邊的公共點(diǎn)；
交點(diǎn)：兩條直線的公共點(diǎn)。
點(diǎn)的性質(zhì)
點(diǎn)到點(diǎn)的距離
點(diǎn) A(x，y，z)到點(diǎn) B(xyz)的距離為
位置關(guān)系
點(diǎn)和點(diǎn)
1.點(diǎn)和點(diǎn)重合；
2.點(diǎn)和點(diǎn)不重合。
點(diǎn)和直線
1.點(diǎn)在直線上；
2.點(diǎn)在直線外。
點(diǎn)和平面
1.點(diǎn)在平面上；
2.點(diǎn)在平面外。
點(diǎn)的平移
點(diǎn)左右平移只影響橫坐標(biāo)的變化，點(diǎn)上下平移只影響縱坐標(biāo)的變化：
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x,y).
1若把點(diǎn)A向左平移k(k>0)個(gè)單位后，坐標(biāo)變?yōu)?x-k,y);若把點(diǎn)A向右平移k個(gè)單位后，坐標(biāo)則變?yōu)?x+k,y).
2.若把點(diǎn)A向上平移k(k>0)個(gè)單位后，坐標(biāo)變?yōu)?x,y+k);若把點(diǎn)A向下平移k個(gè)單位后，坐標(biāo)則變?yōu)?x,y-k).
3.若把點(diǎn)A先向左平移p個(gè)單位，再向上平移q個(gè)單位，坐標(biāo)則變?yōu)?x-p,y+q).
點(diǎn)的對稱
點(diǎn) A(x，y，z)關(guān)于點(diǎn) B(xyz)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)
點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)
（內(nèi)容待補(bǔ)充）
點(diǎn) A(x，y，z)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn) n°后的位置特征：
點(diǎn) A(x，y，z)繞點(diǎn) B(xyz)旋轉(zhuǎn) n°后的位置特征：
其他的點(diǎn)
點(diǎn)集拓?fù)渲械狞c(diǎn)定義為拓?fù)淇臻g中的集合的元素。
盡管點(diǎn)被看做幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)中的基本概念，但是有些幾何和拓?fù)淅碚摬⒉恍枰c(diǎn)的概念，例如非交換幾何和非點(diǎn)集拓?fù)洌? 個(gè)"非點(diǎn)空間"不是作為 1 個(gè)集合來定義的，而是通過某種類似于函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)。（代數(shù)上的或邏輯上的連續(xù)函數(shù)代數(shù)或集合代數(shù)。）
錯(cuò)誤理解
線段是由無限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，而線段的長度讓人們錯(cuò)誤的認(rèn)為點(diǎn)是有長度或者長度是無窮小。但這是嚴(yán)重錯(cuò)誤的。因?yàn)檫@違背了測度論和點(diǎn)的基本屬性。點(diǎn)的長度是 0 而不是無窮小。
參考資料 >
直線的定義你傷不起.直線的定義你傷不起.2016-08-16