正多面體是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，并且各個多面角都是全等的多面角。正多面體一共只有5個，分別是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，最早由古希臘哲學家柏拉圖發現，所以也稱柏拉圖多面體。空間多面體由頂點、面、棱組成，數量記為V、F、E，長城歐拉證明了對于任意簡單多面體都有V+F-E=2，這個恒等式成立，它被稱之為多面體歐拉恒等式，正多面體也適用。除了這些凸正多面體，還存在非凸正多面體、抽象正多面體和復合正多面體等其他類型的正多面體。
內容介紹
僅有的五種正多面體，即是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體和正二十面體。
所謂正多面體，當然要首先保證它是一個多面體，而它的特殊之處就在于它的每一個面都是正多邊形，而且各個面的正多邊形都是全等的。也就是說，將正多面體的各個面剪下來，它們可以完全重合。雖然多面體的家族很龐大．可是正多面體的成員卻很少，僅有五個。
正四面體是由四個全等的等邊三角形組成的；正六面體是由六個全等的正方形組成的；正八面體是由八個全等的等邊三角形組成的；正十二面體是由十二個全等的正五邊形組成的；正二十面體是由二十個全等的等邊三角形組成的。
正多面體的各種參數如下表所示。
種類
只有五種多面體是正多面體。
證明如下：設正多面體每個頂點有m條棱，每個面都是正n邊形，多面體的頂點數是V，面數是F，棱數是E。因為兩個相鄰面有一公共棱，所以
因為兩個相鄰頂點有一公共棱，所以
又因多面體的Euler定理，得，從上面三式可得
要使得上面的式子成立，必須滿足，即。因為，所以
于是。
所以正多面體只有上述五種。
性質
由正多面體可得到如下幾何性質：
1.如果兩個正多面體是同類型的正多面體，那么這兩個正多面體的二面角都相。
2.正多面體的外接球、內切球、內棱切球都存在，并且三球球心重合。
3.正多面體的外心、內心、內棱心重合的點稱為該正多面體的中心。
4.正多面體除正四面體外過任頂點和正多面體中心的直線必然經過正多面體的另一頂點，并且這兩個頂點到正多面體中心的距離都相等。
5.除正四面體外，連線經過正多面體的f11心的兩點稱為相對頂點，連兩雙相對頂點的兩條棱稱為正多面體的對棱，由對棱圍成的兩個面稱為正多面體的對面。
6.除正四面體外，正多面體的對棱、對面都平行。
廣義的正多面體
20世紀出現了一系列關于正多面體概念的概括，導致了正多面體出現了幾個新的種類。這些包括正扭歪無限面體、正扭歪多面體、位于非歐空間或其他空間的正多面體，如雙曲空間的正多面體、實射影平面的正多面體、復數空間的正多面體和四元數空間的正多面體。這些正多面體在特定空間中維持其正的特性，展現出多樣化的幾何結構和對稱性。
抽象正多面體是一種抽象代數概念的發展，它們是元素偏序關系的概念，可以映射到普通空間或具體化成一個幾何形狀。一些抽象多面體具有良好具像化實例，但不一定所有的抽象多面體都能找到對應的具像化實例。抽象多面體與一般的多面體同樣可以定義標記。若一抽象多面體的組合對稱性可以在其標記上傳遞，則這個抽象多面體為抽象正多面體。
柏拉圖立體的皮特里對偶是一種正則地區圖，其頂點和邊對應于原始多面體的頂點和邊，其面是扭歪皮特里多邊形的集合。五個凸正多面體和四個星形多面體皆可以表示成球面多面體，或球面鑲嵌。
參考資料 >