球心到某幾何體各面的距離相等且等于半徑的球是幾何體的內(nèi)切球。如果一個球與簡單多面體的各面或其延展部分都相切，且此球在多面體的內(nèi)部，則稱這個球為此多面體的內(nèi)切球。內(nèi)切球是多面體中所能容納的最大球，且內(nèi)切球的球心被稱為多面體的內(nèi)心。并非所有的多面體都有內(nèi)切球，但正多面體和四面體都有內(nèi)切球。與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱為這個圓柱的內(nèi)切球，此圓柱稱為球的外切圓柱。與圓臺的上、下底面以及每條母線都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球，此圓臺稱為球的外切圓臺。
定義
內(nèi)切球球心在幾何體各面上的射影與各面的重心重合，即球心被稱為多面體的內(nèi)心。半徑的求法一般在三棱錐中常用等體積法求半徑，即大三棱錐體積等于以球心為頂點，分割成三棱錐相加，即可求出半徑(高)。
舉例
求三棱錐內(nèi)切球半徑：
如圖，點M是底邊中線BE、CD的交點，
則圓心O在底面重心M和頂點P的連線上，作于H，則，
為計算表達相對簡便，，
則，
由得，即，解得R即可。
四面體的內(nèi)切球
任意四面體都有唯一的內(nèi)切球。四面體內(nèi)切球的球心經(jīng)過任何兩個面所成的二面角的平分面。如果已知四面體ABCD每個面的面積：{\displaystyle S_{A}}、{\displaystyle S_{B}}、{\displaystyle S_{C}}、{\displaystyle S_{D}}，以及四面體的體積{\displaystyle V}，則內(nèi)切球的半徑{\displaystyle r_{i}}可以表示為：
{\displaystyle r_{i}={\frac {3V}{S_{A}+S_{B}+S_{C}+S_{D}}}}。
圓柱的內(nèi)切球
與圓柱兩底面以及每條母線都相切的球稱為這個圓柱的內(nèi)切球(inscribed sphere in a circular 柱面)，此圓柱稱為球的外切圓柱，等邊圓柱才有內(nèi)切球，球心在圓柱軸線中點處，內(nèi)切球半徑與圓柱底面圓半徑相等。
圓錐的內(nèi)切球
與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球(inscribed sphere in a circular cone)，此圓錐稱為球的外切圓錐。圓錐的內(nèi)切球有且僅有一個，球心在圓錐的軸線上。
圓臺的內(nèi)切球
與圓臺的上、下底面以及每條母線都相切的球，稱為圓臺的內(nèi)切球(inscribed sphere in a frustum of a circular cone)，此圓臺稱為球的外切圓臺，當(dāng)且僅當(dāng)母線長與上、下兩底面圓半徑之和相等時，圓臺才有內(nèi)切球。
參考資料 >