正四面體是由四個全等等邊三角形圍成的空間封閉圖形，所有棱長都相等。它有4個面，6條棱，4個頂點。正四面體是最簡單的正多面體，也是唯一一個沒有對稱中心的正多面體。
簡述
正四面體是五種正多面體中的一種，有4個正三角形的面，4個頂點，6條棱。正四面體不同于其它四種正多面體，它沒有對稱中心。正四面體有六個對稱面，其中每一個都通過其一條棱和與這條棱相對的棱的中點。正四面體很容易由正方體得到，只要從正方體一個頂點A引三個面的對角線AB，AC，AD，并兩點兩點連結(jié)之即可。正四面體和一般四面體一樣，根據(jù)保利克-施瓦茲定理能夠用空間四邊形及其對角線表示。正四面體的對偶是其自身。
定義
正四面體是由四個全等的等邊三角形所組成的幾何體。它有四個面、四個頂點、六條棱。每個二面角均為70°32’，有四個三面角，每個三面角的面角均為60°，以a表示棱長，A表示全面積，V表示體積，則
性質(zhì)
1.正四面體的每一個面是正三角形，反之亦然。
2.正四面體是三組對棱都垂直的等面四面體。
3.正四面體是兩組對棱垂直的等面四面體。
4.正四面體的對棱中點的連線都互相垂直且相等，等于棱長的 倍，反之亦真。
5.正四面體的各棱的中點是正八面體的六頂點。
6.正四面體的全面積是棱長平方的 倍，體積是棱長立方的 倍。
7.正四面體的四個旁切球半徑均相等，等于內(nèi)切球半徑的2倍，或等于四面體高線的一半。
8.正四面體的內(nèi)切球與各側(cè)面的切點是側(cè)面三角形的外心，或內(nèi)心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命題均成立。
9.正四面體的外接球球心到四面體四頂點的距離之和，小于空間中其他任一點到四頂點的距離之和。
10.正四面體內(nèi)任意一點到各側(cè)面的垂線長的和等于這四面體的高。
11.對于四個相異的平行平面，總存在一個正四面體，其頂點分別在這四個平面上。
12.以正四面體的每條棱為直徑作球，設(shè)S是所作六個球的交集，則S中含有兩點，它們的距離為 倍棱長。
13.過正四面體的一棱及所對的棱的中點的截面面積與其側(cè)面三角形面積之比為。
14.四面體為正四面體的充要條件是，其棱均做為外接平行六面體的側(cè)面對角線時，平行六面體為立方體。
15.四面體為正四面體的充要條件是，其共頂點三棱作為外接平行六面體的棱時，平行六面體為一個三面角均為60°的菱形六面體。
16.四面體為正四面體的充要條件是，四面體在平行于兩棱的每一個平面的射影是正方形。
17.四面體為正四面體的充要條件是，四面體的展開圖是一個引出了三條中位線的等邊三角形。
18.正四面體每條高的中點與底面三角形三頂點均構(gòu)成直角四面體的四頂點，且高的中點為正三面角頂點。
相關(guān)計算
當(dāng)正四面體的棱長為a時，一些數(shù)據(jù)如下：
高： 。中心把高分為兩部分。
表面積：
體積：
對棱中點的連線段的長：
外接球半徑：
內(nèi)切球半徑：
兩條高夾角：
側(cè)棱與底面的夾角：
參考資料 >