正二十面體(Regular twenty aspect) 是一種由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，它是五個(gè)柏拉圖多面體之一，同時(shí)也是三角面多面體以及康威多面體。正二十面體擁有20個(gè)面、30條棱和12個(gè)頂點(diǎn)，其對(duì)偶多面體是正十二面體。在施萊夫利符號(hào)中，正二十面體表示為{3,5}。正二十面體是所有五種凸正多面體中面數(shù)最多的。
定義
正多面體各個(gè)面都是全等的正多邊形，并且各個(gè)多面角都是全等的多面角。其中面數(shù)最少的是正四面體，面數(shù)最多的是正二十四面體。
性質(zhì)
1.正二十面體的外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在，并且三球球心重合。
2.正二十面體的外心、內(nèi)心、內(nèi)棱心重合的點(diǎn)稱(chēng)為該正二十面體的中心。
3.正二十面過(guò)任頂點(diǎn)和正多面體中心的直線必然經(jīng)過(guò)正二十面體的另一頂點(diǎn)，并且這兩個(gè)頂點(diǎn)到正二十面體中心的距離都相等。
4.連線經(jīng)過(guò)正二十面體的中心的兩點(diǎn)稱(chēng)為相對(duì)頂點(diǎn)，連兩雙相對(duì)頂點(diǎn)的兩條棱稱(chēng)為正二十面體的對(duì)棱，由對(duì)棱圍成的兩個(gè)面稱(chēng)為正二十面體的對(duì)面。
5.正二十面體的對(duì)棱、對(duì)面都平行。
體積公式
（其中a為棱長(zhǎng)）
內(nèi)接正十二面體
在平面上，正多邊形內(nèi)接到圓時(shí)，邊數(shù)越多，占圓面積的百分比就較高；而在三維空間中，這個(gè)規(guī)則卻不能推廣——當(dāng)正十二面體和正二十面體內(nèi)接到一個(gè)球時(shí)，前者約占66.4909%，后者僅占60.5461%。某些病毒，如皰疹病毒科，擁有正二十面體的衣殼。
正二十面體：20面\12頂點(diǎn)\30棱
若正二十面體的中心為(0,0,0)，外接球半徑為1，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為{(±m(xù),0,±n), ,，其中。
計(jì)算公式
體心到每個(gè)頂點(diǎn)的距離（外接球半徑）=。
體心到每個(gè)面的中心的距離（內(nèi)切球半徑）=。
體心到每條棱的中點(diǎn)的距離（切棱球半徑）=。
正二十面體(Regular twenty aspect) 是一種由20個(gè)等邊三角形組成的正多面體，它是五個(gè)柏拉圖多面體之一，同時(shí)也是三角面多面體以及康威多面體。正二十面體擁有20個(gè)面、30條棱和12個(gè)頂點(diǎn)，其對(duì)偶多面體是正十二面體。在施萊夫利符號(hào)中，正二十面體表示為{3,5}，頂點(diǎn)布局為3.3.3.3.3或35。正二十面體是所有五種凸正多面體中面數(shù)最多的。
正交投影
正二十面體有3種特殊的正交投影，分別正對(duì)著一個(gè)面、一條棱、一個(gè)頂點(diǎn)。
應(yīng)用
正二十面體因其均勻性和多面性，適合作為子使用。在生物學(xué)中，某些病毒如皰疹病毒科、諾如病毒、腺病毒科和噬菌體等，擁有正二十面體的衣殼。在某些細(xì)菌中，也發(fā)現(xiàn)具有二十面體形狀的胞器，這些胞器的殼由具BMC結(jié)構(gòu)域的不同蛋白質(zhì)構(gòu)成。1904年，恩斯特·海克爾發(fā)表了一些放射蟲(chóng)的種類(lèi)，包括Circogonia二十面體（Circogonia icosahedra），其BOBBIN的形狀像一個(gè)正二十面體。
與黃金分割的關(guān)系
正二十面體與黃金分割有密切的關(guān)系。若以正二十面體的中心為原點(diǎn)，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為{(0,±1,±Φ), (±1,±Φ,0), (±Φ,0,±1)}，在此Φ = √5 ? 1/2，即黃金分割數(shù)。這些頂點(diǎn)能共同形成五組，每組擁有三個(gè)同心、相互垂直的黃金矩形。
半正涂色和子對(duì)稱(chēng)群
正二十面體有三種不同的半正涂色方法，可以按照一個(gè)頂點(diǎn)引出的5個(gè)面的涂色來(lái)標(biāo)記為11213、11212、11111。正二十面體可以被描述為扭棱正四面體，具有手征性正四面體對(duì)稱(chēng)性；它亦可以被描述成交錯(cuò)截頂正八面體，有五角十二面體對(duì)稱(chēng)性。這個(gè)具有五角十二面體對(duì)稱(chēng)的正二十面體也被叫做偽二十面體是五角十二面體的對(duì)聯(lián)。
參考資料 >