消元法一般指高斯消元法，是一種對方程組的增廣矩陣施行初等行變換，從而消去未知數的方法。
高斯消元法在公元1800年左右由高斯(Gauss)提出，用以解決天體計算和研究地球表面測量計算中的最小二乘法問題，現代則主要用于求解線性方程組，也可以求矩陣的秩、矩陣的逆等。高斯創造性地建立了消去線性方程中未知數的方法，使得對一般線性方程組，利用高斯消元法也能夠求其解(若有解)。高斯消元法的時間復雜度主要與方程組的方程個數和變量個數有關，一般時間復雜度為O(n3)。
分類
消元法主要有代入消元法、加減消元法、整體消元法、換元消元法、構造消元法、因式分解消元法、常數消元法、利用比例性質消元法等。
其中最常用的為代入消元法和加減消元法。
代入消元法
代入消元法簡稱代入法，是將方程組中的一個方程的未知數用含有另一個未知數的代數式表示，并代入到另一個方程中去，這就消去了一個未知數，得到一個解。
代入消元法解二元一次方程組的步驟如下：
1.從方程組中選取一個系數比較簡單的方程，把其中的某一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來；
2.把第1步中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數；
3.解所得到的一元一次方程，求得一個未知數的值；
4.把所求得的一個未知數的值代入第1步中求得的方程，求出另一個未知數的值，從而確定方程組的解。
加減消元法
加減消元法是指利用等式的性質使方程組中兩個方程中的某一個未知數前的系數的絕對值相等，然后把兩個方程相加或相減，以消去這個未知數，使方程只含有一個未知數而得以求解。
加減消元法解二元一次方程組的步驟如下：
1.利用等式的基本性質，將原方程組中某個未知數的系數化成相等或相反數的形式；
2.再利用等式的基本性質將變形后的兩個方程相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程（一定要將方程的兩邊都乘以同一個數，切忌只乘以一邊，然后若未知數系數相等則用減法，若未知數系數互為相反數，則用加法）；
3.解這個一元一次方程，求出未知數的值；
4.將求得的未知數的值代入原方程組中的任何一個方程中，求出另一個未知數的值；
5.聯立兩個未知數的值，就是方程組的解；
6.最后檢驗求得的結果是否正確（代入原方程組中進行檢驗，方程是否滿足左邊的數等于右邊的數）。
解題要點
1.把條件寫成幾個等式，并排列在一起進行比較，如果有一種量的數相同，就很容易把這種量消去。
2.如果兩種量的數都不相同，可以用一個數去乘等式的兩邊，使其中的一個量的數相同，然后消去這個量。
3.解答后，可以把結果代入條件列出的每一個等式中計算，檢驗是否符合題意。
相關計算
例1.聰明兔花1800元買了4件風衣和3條褲子。又花了1200元給兔弟弟買了同樣的2件風衣和3條褲子。你能算出風衣和褲子各是多少錢嗎？
解：由題可知，4件風衣+3條褲子=1800（元）；2件風衣+3條褲子=1200（元）。
風衣：（元）；褲子：（元）。所以風衣每件300元，褲子每件200元。
例2.小明要為鄰居大嬸看管雞和兔，大嬸告訴他：算頭共有50只，算腳共有140只。大嬸家有多少只雞，多少只兔？
解：設雞有只，兔有只，根據題意列方程組得：。由①得，再將③代入②，得，最后解得。所以雞有30只，兔有20只。
例3.解方程。
解：由方程可知，①+② 可得，
即
由此可得再把代入
可得
教學應用
設法把含有多個未知數的多個方程，轉化為含有一個未知數的一個方程，先求出一個未知數，再逐步擴大“戰果”，求出其余的未知數，這是善于思考者很順暢的思考結果，而它就是“消元”的思想。從培養良好的思維習慣和方法的角度看，引導學生產生和理解消元思想，使其逐步感受合理思考問題的作用，在這部分教學中是至關重要的。它是學生自覺、主動地理解和掌握代入法、加減法等具體解法的基礎，也是避免死記硬背解法程序的關鍵。
在實際教學中，學生往往關注的是如何消元，而不注意消元后得出的未知數值是否一定適合原方程組，也不關注原方程組是否有解被消元法被漏掉。這種現象自然與對方程組的同解理論缺乏深入認識有關。教師應進行適當引導，彌補思維過程中的空缺。為此，教學中可以適當滲透消元法的合理性，這有助于培養學生思維的縝密性。例如，剛開始消元法時，對得出的結果可以適當進行檢驗，從而使學生通過實例認識到方法的可靠性。
參考資料 >