在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。通常兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右和向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做橫軸，豎直的數(shù)軸叫做縱軸，橫軸和縱軸統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
在公元前四世紀(jì)，中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的石申就在其著作《石氏星經(jīng)》中利用坐標(biāo)思想記錄恒星位置，古希臘的阿波羅尼斯也曾運(yùn)用坐標(biāo)方法研究圓錐曲線。到了十七世紀(jì)，勒內(nèi)·笛卡爾受奧爾斯姆經(jīng)緯度理論的啟發(fā)正式研究平面坐標(biāo)，并提出用方程表示曲線的思想；與笛卡爾處于同一時(shí)期的皮耶·德·費(fèi)瑪則從方程出發(fā)，研究其描述的曲線。笛卡爾和費(fèi)馬分別代表了解析幾何研究的兩個(gè)相反的方面。之后經(jīng)約翰·沃利斯、戈特弗里德·萊布尼茨等人的補(bǔ)充，平面直角坐標(biāo)系理論不斷完善。
平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)造方法有網(wǎng)格法和向量法。建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩個(gè)坐標(biāo)軸將坐標(biāo)平面分成四個(gè)象限，坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。平面直角坐標(biāo)系可向三維推廣成空間直角坐標(biāo)系。平面中還可以建立極坐標(biāo)系、仿射坐標(biāo)系等，不同的坐標(biāo)系上的點(diǎn)可以相互轉(zhuǎn)化。
坐標(biāo)系的建立為數(shù)學(xué)研究帶來(lái)了數(shù)形結(jié)合方法，為微積分的誕生奠定基礎(chǔ)，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的重要工具。應(yīng)用方面，平面直角坐標(biāo)系可以用于確定位置、幾何圖形研究變換及物理學(xué)研究等。
定義
在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。通常兩條數(shù)軸分別置于水平位置與豎直位置，取向右和向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做軸或橫軸，豎直的數(shù)軸叫做軸或縱軸，橫軸和縱軸統(tǒng)稱(chēng)為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。該坐標(biāo)系可記為坐標(biāo)系。
點(diǎn)與坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系
建立平面直角坐標(biāo)系后，平面上任意一點(diǎn)的位置就可以確定。如圖所示，對(duì)于平面上任意一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)分別向軸，軸作垂線，垂足在軸、軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)、分別叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)就叫做點(diǎn)的坐標(biāo)。
反過(guò)來(lái)，如果有一對(duì)有序數(shù)對(duì)，可以在軸上找到坐標(biāo)為的點(diǎn)，在軸上找到坐標(biāo)為的點(diǎn)，然后由和分別向軸和軸作垂線，兩條垂線有唯一的交點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)就是，這說(shuō)明任意一對(duì)有序實(shí)數(shù)可以確定平面上的一個(gè)點(diǎn)。
坐標(biāo)取向
平面上的坐標(biāo)按軸在軸上選取的方向可以分為兩大類(lèi)：把正軸繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)坐標(biāo)角而與正軸重合，如果旋轉(zhuǎn)方向是逆時(shí)針的，就叫做右手系；否則就叫做左手系。一般默認(rèn)坐標(biāo)系為右手系。
也可用手指形態(tài)記憶坐標(biāo)系取向。右手系取向是將一只半握拳的右手掌心放在平面上，大拇指向上指，其它的手指從軸指向軸。左手系取向則是將一只半握拳的左手掌心放在平面上，大拇指向上指，其它的手指從軸指向軸。不論坐標(biāo)軸是何種取向，將整個(gè)坐標(biāo)系做任何角度的旋轉(zhuǎn)，取向仍舊會(huì)保持不變。
相關(guān)歷史
萌芽時(shí)期
在初等數(shù)學(xué)中，幾何與代數(shù)是彼此獨(dú)立的兩個(gè)分支，他們基本上都是研究一些不變的量（常量），不過(guò)前者側(cè)重于空間形式而后者側(cè)重于數(shù)量關(guān)系。在方法上，他們也基本互不相關(guān)，尤其是古希臘的論證幾何中甚至排斥代數(shù)方法的應(yīng)用。
用坐標(biāo)系來(lái)確定點(diǎn)的位置的方法最早可追溯到公元前四世紀(jì)，中國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的的石申利用坐標(biāo)思想記錄了一百多顆恒星的位置，著成世界上最早的星表——《石氏星經(jīng)》。公元前三世紀(jì)末，古希臘的阿波羅尼斯（Apollonius，(P)）也曾用兩條相互垂直的直線作為研究圓錐曲線的基準(zhǔn)，他的《圓錐曲線論》是最早的一部關(guān)于橢圓、拋物線和雙曲線的論著。
14世紀(jì)，奧爾斯姆（Oresme，N.）的著作中已有關(guān)于經(jīng)緯度和函數(shù)圖形表示的萌芽，他用數(shù)組表示點(diǎn)的位置，用圖線表示因變量與自變量的關(guān)系。
逐漸成熟
法國(guó)數(shù)學(xué)家、利奧六世勒內(nèi)·笛卡爾(R.Descartes，1596~1650)受到奧爾斯姆思想的影響，從古代的天文和經(jīng)緯度研究中得到啟發(fā)，于1637年在《幾何》及《折光》中正式發(fā)表了關(guān)于變量思想和平面坐標(biāo)的研究。他引入“坐標(biāo)”的概念，利用坐標(biāo)方法，提出了用方程表示曲線的思想。于是幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，許多難度較大的問(wèn)題的解法得到簡(jiǎn)化。
皮耶·德·費(fèi)瑪(P.deFermat，1601~1665)與笛卡爾處于同一歷史時(shí)期，他也獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了用代數(shù)方程表示曲線的方法，但是其方法直到1679年才正式出版在《平面和立體的軌跡》一書(shū)中，在書(shū)中費(fèi)馬清晰地解釋了解析幾何的基本原理。
皮耶·德·費(fèi)瑪與勒內(nèi)·笛卡爾建立坐標(biāo)系的出發(fā)點(diǎn)不同。勒內(nèi)·笛卡爾從幾何曲線開(kāi)始，以代數(shù)公式（方程）告終；皮耶·德·費(fèi)瑪則從代數(shù)公式開(kāi)始，然后描述它的幾何曲線。這正是解析幾何研究的兩個(gè)相反的方面。
正式誕生
平面直角坐標(biāo)系的建立是不斷完善的過(guò)程。勒內(nèi)·笛卡爾和費(fèi)馬建立坐標(biāo)系時(shí)都只用了橫軸，未使用縱軸，而且所使用的縱坐標(biāo)是斜的，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都局限于正數(shù)范圍。1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯(J.wa1lis，1616～1703)對(duì)坐標(biāo)系作了進(jìn)一步探索，有意識(shí)地引進(jìn)了負(fù)的橫、縱坐標(biāo)。這使得解析幾何所考慮的曲線范圍擴(kuò)展到了整個(gè)平面。1692年，戈特弗里德·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出坐標(biāo)、橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)等術(shù)語(yǔ)使坐標(biāo)系理論更加完善。
坐標(biāo)系的建立為艾薩克·牛頓（Isaac Newton）和萊布尼茨發(fā)明微積分奠定基礎(chǔ)。后人把用二維坐標(biāo)描述平面的方法擴(kuò)展成了向量空間的概念。在平面直角坐標(biāo)系之后，人們又創(chuàng)造了更多的坐標(biāo)系，如平面的極坐標(biāo)系，以及三維空間的球坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系等。
構(gòu)造方法
建立坐標(biāo)系后必須使每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的，不同的坐標(biāo)表示不同的點(diǎn)。因此，能使點(diǎn)與有序數(shù)組（或數(shù)）唯一對(duì)應(yīng)便可構(gòu)成坐標(biāo)系，通常可用網(wǎng)格法與向量法構(gòu)造坐標(biāo)系。網(wǎng)格法多用于幾何空間。向量法多用于將坐標(biāo)系推廣到抽象的維空間。兩種方法均可構(gòu)成平面和空間直角坐標(biāo)系等坐標(biāo)系。
網(wǎng)格法
如在平面直角坐標(biāo)系中與為任意實(shí)數(shù)時(shí)，分別表示相互垂直的兩簇直線構(gòu)成密布整個(gè)平面的網(wǎng)，平面上任意一點(diǎn)均是與為某實(shí)數(shù)所代表的兩條直線的交點(diǎn)，使得二元有序數(shù)組與平面上的點(diǎn)唯一對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為平面上點(diǎn)的坐標(biāo)。該種坐標(biāo)系構(gòu)成方法稱(chēng)為網(wǎng)格法。
向量法
在平面上取一定點(diǎn)（為原點(diǎn)），以點(diǎn)為起點(diǎn)取兩個(gè)不共線的向量和，則平面上任意一個(gè)向量都存在唯一確定的有序數(shù)組，使得。同樣，把平面上任意向量的起點(diǎn)均確定在點(diǎn)，那么可以確定向量終點(diǎn)的位置，所以稱(chēng)為向量的終點(diǎn)坐標(biāo)，也稱(chēng)向量的坐標(biāo)。如果向量，為相互垂直的單位向量，則建立平面上的正交系，也即平面直角坐標(biāo)系。只需把用表示，終點(diǎn)坐標(biāo)便與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)表示一致。該種方法也可以構(gòu)造仿射坐標(biāo)系。
坐標(biāo)性質(zhì)
象限與象限角
建立了坐標(biāo)系的平面叫做坐標(biāo)平面，兩坐標(biāo)軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)部分，每個(gè)部分叫做一個(gè)象限，分別用羅馬數(shù)字按照逆時(shí)針?lè)较?，從象限編到象限編?hào)。它們的順序按其點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)規(guī)定如下：
第象限：
第象限：
第象限：
第象限：
需要注意的是，坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。
兩坐標(biāo)軸的位于各象限的夾角，叫做所在象限的象限角。特別的，兩坐標(biāo)軸正向間的夾角叫做坐標(biāo)角。
坐標(biāo)特征
1、坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序實(shí)數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。
2、一三象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等。
3、二四象限角平分線上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。
4、一點(diǎn)上下平移，橫坐標(biāo)不變，即平行于軸的直線上的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同。同理左右平移時(shí)縱坐標(biāo)不變。
5、軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)都為0。
6、軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)都為0。
7、與軸做軸對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，（橫坐標(biāo)）不變，（縱坐標(biāo)）變?yōu)橄喾磾?shù)。
8、與軸做軸對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，（縱坐標(biāo)）不變，（橫坐標(biāo)）變?yōu)橄喾磾?shù)。
9、與原點(diǎn)做軸對(duì)稱(chēng)變換時(shí)，（縱坐標(biāo)）與（橫坐標(biāo)）都變?yōu)橄喾磾?shù)。
推廣
平面直角坐標(biāo)系是二維空間（平面）中的坐標(biāo)系，根據(jù)定義可知其是由一維空間上的數(shù)軸（直線坐標(biāo)系）推廣而來(lái)的。平面直角坐標(biāo)系也可以推廣至三維空間甚至高維空間 (higher dimension)，得到空間直角坐標(biāo)系。
數(shù)軸（一維直線坐標(biāo)系）
在直線上規(guī)定一個(gè)方向作為正方向，這條直線就成為一個(gè)軸。當(dāng)選定測(cè)量長(zhǎng)度的單位后，軸上的有向線段就可以用數(shù)來(lái)表示。任意取定一點(diǎn)（拉丁文中Oriyo（原點(diǎn)）第一個(gè)字母）作為度量起點(diǎn)的原點(diǎn)，并任意選擇一條線段作為單位長(zhǎng)度。那么直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以由有向線段的數(shù)量來(lái)表示，反之每個(gè)實(shí)數(shù)就可以由軸上數(shù)量為的有向線段的終點(diǎn)來(lái)表示。
這樣一來(lái)，在全體實(shí)數(shù)和直線上全體點(diǎn)之間建立了唯一對(duì)應(yīng)的關(guān)系?？芍獢?shù)軸上每個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù)，這個(gè)實(shí)數(shù)叫做這個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的坐標(biāo)。因此數(shù)軸可以看作直線上的坐標(biāo)系。
空間（三維）直角坐標(biāo)系
定義
在原本的二維直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)上再添加一個(gè)垂直于軸，軸的坐標(biāo)軸，稱(chēng)為軸。軸與軸，軸相互正交于原點(diǎn)，坐標(biāo)系就推廣到三維空間，稱(chēng)為空間（三維）直角坐標(biāo)系。
卦限
空間直角坐標(biāo)系的三個(gè)平面（平面、平面、平面）將三維空間分成了八個(gè)部分，稱(chēng)為卦限 (octant)。通常只有第一卦限有明確的編號(hào)，其余卦限的順序都可能因習(xí)慣而不同。第一卦限中每一個(gè)點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)都是正值。
點(diǎn)的坐標(biāo)
在三維空間中的任何一點(diǎn)，可以用直角坐標(biāo)來(lái)表達(dá)其位置。如在標(biāo)準(zhǔn)三維直角坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)在軸上的投影分別為點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)可表示為。
坐標(biāo)取向
在三維空間里，在設(shè)定完成軸、軸的位置與方向同時(shí)，需要注意軸正方向的選取，于是得到兩種選取結(jié)果的坐標(biāo)系。這兩種不同的坐標(biāo)系，稱(chēng)為右手坐標(biāo)系與左手坐標(biāo)系。
右手坐標(biāo)系的名字由右手定則而來(lái)。先將右手的手掌與手指伸直，然后將中指指向往手掌的掌面半空間，與食指呈直角關(guān)系。再將大拇指往上指去，與中指、食指都呈直角關(guān)系。則大拇指、食指與中指分別表示了右手坐標(biāo)系的軸、軸與軸。同樣地，用左手也可以表示出左手坐標(biāo)系。右手坐標(biāo)系又稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系或正值坐標(biāo)系。
相關(guān)坐標(biāo)系
坐標(biāo)系建立的目的是確定目標(biāo)區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，可以有多種建立方法。常見(jiàn)的坐標(biāo)系還有極坐標(biāo)系、仿射（斜角）坐標(biāo)系等。極坐標(biāo)系與平面直角坐標(biāo)系均為平面上的坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中同一點(diǎn)的坐標(biāo)相互對(duì)應(yīng)且可以相互轉(zhuǎn)化；仿射坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸不相互垂直，當(dāng)坐標(biāo)軸相互垂直時(shí)，仿射坐標(biāo)系就變成了直角坐標(biāo)系。
極坐標(biāo)系
定義
在平面上取一定點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)作一條射線，選定單位長(zhǎng)度，就建立了極坐標(biāo)系。稱(chēng)點(diǎn)為極點(diǎn)，稱(chēng)軸為極軸。在平面上任取一點(diǎn)，點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱(chēng)為極徑，軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到方向的角度稱(chēng)為極角。可以用有序實(shí)數(shù)對(duì)來(lái)定義點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為，這里（或）。表示極點(diǎn)，其極角可以取任意值。
與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化
由極坐標(biāo)系定義可知，平面上除極點(diǎn)外（極點(diǎn)對(duì)應(yīng)原點(diǎn)，但極點(diǎn)坐標(biāo)中的極角有無(wú)數(shù)個(gè)），任一點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)唯一對(duì)應(yīng)，它們的關(guān)系是
極坐標(biāo)常用來(lái)描述圓等曲線，在處理某些問(wèn)題如幾何軌跡問(wèn)題時(shí)較為方便。
仿射（斜角）坐標(biāo)系
在平面上任取一點(diǎn)及兩個(gè)不共線的向量，（不一定是單位向量，且與不一定是垂直的），這樣就建立了平面上的仿射坐標(biāo)系。仿射坐標(biāo)系也叫斜角坐標(biāo)系，當(dāng)向量和垂直時(shí)，即變成直角坐標(biāo)系。
對(duì)于平面上任一點(diǎn)，則向量也可唯一表示
數(shù)組稱(chēng)為點(diǎn)關(guān)于仿射坐標(biāo)系的仿射坐標(biāo)。
相關(guān)方法和思想
坐標(biāo)系法
平面直角坐標(biāo)系使平面上點(diǎn)的集合與有序實(shí)數(shù)對(duì)（坐標(biāo)）的集合之間建立了唯一對(duì)應(yīng)的關(guān)系
這就是平面上坐標(biāo)系法的基本原理。坐標(biāo)系法可以利用代數(shù)方法求解幾何問(wèn)題，如求解平面中兩點(diǎn)間距離和中點(diǎn)坐標(biāo)等。
兩點(diǎn)間距離公式
應(yīng)用勾股定理，得平面直角坐標(biāo)為和的兩個(gè)點(diǎn)之間的歐幾里得距離：
這是畢達(dá)哥拉斯定理的勒內(nèi)·笛卡爾坐標(biāo)版本。如果推廣到三維直角坐標(biāo)空間中，點(diǎn)和之間的距離為：
,
該公式可用畢達(dá)哥拉斯定理的兩次連貫應(yīng)用得到。
中點(diǎn)坐標(biāo)公式
如圖，在平面直角坐標(biāo)中，兩點(diǎn)、連線的中點(diǎn)坐標(biāo)為。
數(shù)形結(jié)合思想
在平面上建立坐標(biāo)系后，根據(jù)點(diǎn)與坐標(biāo)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系可以將平面上關(guān)于點(diǎn)的幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于這些點(diǎn)的坐標(biāo)的代數(shù)問(wèn)題來(lái)研究，并通過(guò)代數(shù)轉(zhuǎn)換來(lái)發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。反過(guò)來(lái)也可以采用幾何的術(shù)語(yǔ)來(lái)描述有關(guān)數(shù)的代數(shù)問(wèn)題。由此產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想。
利用數(shù)形結(jié)合思想可以求解方程組，并可以直觀看出解的數(shù)量及分布。如在下圖平面直角坐標(biāo)系中，若要求解方程組
首先可以把方程組中的兩個(gè)二元一次方程方程都化為函數(shù)的形式，再畫(huà)出函數(shù)圖象，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)。反之 ，求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)可以聯(lián)立他們的方程，再通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解。
微積分思想
坐標(biāo)系和解析幾何方法的出現(xiàn)為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，而微積分又成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基石?，F(xiàn)在解析幾何仍然是重要的數(shù)學(xué)方法之一。
已知一個(gè)函數(shù)時(shí)，若要求其在點(diǎn)的切線的斜率（導(dǎo)數(shù)），只需找到點(diǎn)，讓無(wú)限接近于即可。如下圖平面直角坐標(biāo)系中，連接和的線的斜率是，則趨于極限的情況是，數(shù)值就稱(chēng)為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。
應(yīng)用
確定位置
利用坐標(biāo)思想可以確定空間或平面內(nèi)任意一點(diǎn)的位置。如我國(guó)古代確定天體位置的《石氏星經(jīng)》，用經(jīng)緯度確定地球某點(diǎn)位置等。一般的，地球上的經(jīng)線與緯線構(gòu)成覆蓋整個(gè)球面的網(wǎng)，除南北極點(diǎn)外，球面上的點(diǎn)均是某條經(jīng)線與某條緯線的交點(diǎn)。因此，可用經(jīng)度與緯度確定球面上某點(diǎn)的位置。這種方法為人類(lèi)出行及認(rèn)識(shí)世界提供了便利。
在自然界中，快速移動(dòng)的昆蟲(chóng)不僅可以在運(yùn)動(dòng)中不斷地更新它們對(duì)方向和距離的記憶，同時(shí)能夠?qū)⑦@些記憶保存數(shù)天時(shí)間?？茖W(xué)家通過(guò)冷凍實(shí)驗(yàn)對(duì)昆蟲(chóng)記憶方位的能力進(jìn)行研究，他們從某一位置取走螞蟻并將其冷凍一段時(shí)間以消除神經(jīng)記憶，之后將該螞蟻放回一個(gè)陌生的環(huán)境中。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，螞蟻會(huì)像沒(méi)有被移動(dòng)位置那樣徑直向它們巢穴的所在跑去。也就是說(shuō)，它們會(huì)與往常的路徑平行移動(dòng)，一旦走到了預(yù)期的距離，就會(huì)開(kāi)始尋找巢穴的入口?？茖W(xué)家還發(fā)現(xiàn)被冷凍后的螞蟻會(huì)朝著預(yù)期的方向移動(dòng)，卻不記得應(yīng)該走的距離。也就是說(shuō)，它們會(huì)過(guò)早地開(kāi)始尋找巢穴的入口。于是得出結(jié)論，螞蟻可能利用了坐標(biāo)系的方法來(lái)記憶自身的方位。螞蟻以坐標(biāo)的形式記住了巢穴的位置，當(dāng)螞蟻被人為平移一段距離后，其記憶的“巢穴”隨之平移了相同距離。
幾何應(yīng)用
描述幾何圖形
平面直角坐標(biāo)系的應(yīng)用之一是可以用方程確定平面上的曲線。曲線都可以看成是適合某種條件的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)然它也是點(diǎn)的集合。例如到線段兩端距離相等的點(diǎn)的集合，是這條線段的垂直平分線；到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓等。
在平面直角坐標(biāo)系上，點(diǎn)的位置由它的坐標(biāo)完全確定，點(diǎn)的位置變動(dòng)時(shí)，它的坐標(biāo)也隨之變動(dòng)。當(dāng)點(diǎn)按照某種條件而變動(dòng)位置時(shí)，這種條件反映了軌跡上各點(diǎn)的共同性質(zhì)，具體表現(xiàn)為軌跡上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)和之間的某種關(guān)系，即坐標(biāo)和所滿(mǎn)足的方程?？梢哉f(shuō)，方程是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的代數(shù)表示。這樣，曲線和方程就建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系。
如圖，紅色的圓，半徑是2，圓心位于直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。此圓的方程為。
圖形坐標(biāo)變換
幾何學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系可以應(yīng)用于圖形的坐標(biāo)變換，如表示歐幾里得變換。歐幾里得變換或歐幾里得移動(dòng)是歐幾里得平面的點(diǎn)集到同一平面上點(diǎn)集的（雙射）映射，它保持諸點(diǎn)之間的距離。這種映射（也叫等距映射）有四種類(lèi)型：平移、旋轉(zhuǎn)、反射和滑移反射。
物理研究
在物理學(xué)中，平面直角坐標(biāo)系常用于描述物體的運(yùn)動(dòng)。如在力學(xué)研究中，質(zhì)點(diǎn)受力運(yùn)動(dòng)后會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)軌跡，表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡的方程稱(chēng)為軌跡方程。建立坐標(biāo)系可以用于描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位移、運(yùn)動(dòng)及軌跡方程等，選擇不同的參考系建立坐標(biāo)系會(huì)得到不同的坐標(biāo)和軌跡方程。例如，在太陽(yáng)參考系中，地球的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)橢圓，以太陽(yáng)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，即可求得地球運(yùn)動(dòng)的軌跡方程。
參考資料 >
術(shù)語(yǔ)在線.術(shù)語(yǔ)在線.2023-12-15
幾何之解析幾何.華北水利水電大學(xué).2023-12-01