根的判別式是判斷方程實根個數的公式，在解題時應用十分廣泛，涉及到解系數的取值范圍、判斷方程根的個數及分布情況等。一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式是b2-4ac，用“Δ”表示(讀做“delta”)。
定義
判別式即判定方程實根個數及分布情況的公式。
一元二次方程
任意一個一元二次方程 均可配成，因為a≠0，由平方根的意義可知，的符號可決定一元二次方程根的情況．
叫做一元二次方程 的根的判別式，用“”表示(讀做“delta”)，即 ．
根的情況
在一元二次方程 中
（1）當時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）當時，方程有兩個相等的實數根；
（3）當時，方程沒有實數根，方程有兩個共軛虛根．
（1）和（2）合起來：當時，方程有實數根．
上面結論反過來也成立，可以具體表示為：
在一元二次方程（）中，
①當方程有兩個不相等的實數根時，；
②當方程有兩個相等的實數根時，；
③當方程沒有實數根時，。
（1）和（2）合起來：當方程有實數根時，．
注意 根的判別式是 ，而不是 。
一元二次方程求根公式：
當 ≥0時， ，
當時，;
當 <0時， (i是虛數單位)
在一元二次方程（a、b、c是虛數）中
當時，此方程有兩個相等的復根；
當時，此方程有兩個不等的復根。
應用
（1）解方程，判別一元二次方程根的情況．
它有兩種不同層次的類型：
①系數都為數字；
②系數中含有字母；
③系數中的字母人為地給出了一定的條件．
（2）根據一元二次方程根的情況，確定方程中字母的取值范圍或字母間關系．
（3）應用判別式證明方程根的情況（有實根、無實根、有兩不等實根、有兩相等實根）
應用
① 解一元二次方程，判斷根的情況。
② 根據方程根的情況，確定待定系數的取值范圍。
③ 證明字母系數方程有實數根或無實數根。
④ 應用根的判別式判斷三角形的形狀。
⑤ 判斷當字母的值為何值時，二次三項是完全平方式
⑥ 可以判斷拋物線與直線有無公共點
方程組。
⑦ 可以判斷拋物線與x軸有幾個交點
拋物線 與x軸的交點（1）當時，即有，要求x的值，需解一元二次方程?？梢?，拋物線 與x軸的交點的個數是由對應的一元二次方程 的根的情況確定的，而決定一元二次方程 的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點有如下三種情形：
1）當時，拋物線與x軸有兩個交點，若此時一元二次方程 的兩根為，則拋物線與x軸的兩個交點坐標為。
2）當時，拋物線與x軸有唯一交點，此時的交點就是拋物線的頂點，其坐標是（ ，0）。
3）當 時，拋物線與x軸沒有交點。
⑧ 利用根的判別式解有關拋物線與x軸兩交點間的距離的問題。
⑨當時，拋物線開口向上，當時，拋物線開口向下。
一元三次方程
在特殊形式的一元三次方程中，其判別式為。當 時，有一個實根和兩個復根；時，有三個實根，當 時，有一個三重零根，時，三個實根中有兩個相等；時，有三個不等實根。
在一般形式的一元三次方程中，一般采用盛金判別法，即
令
當時，方程有一個三重實根。
當時，方程有一個實根和一對共軛虛根。
當時，方程有三個實根，其中有一個二重根。
當時，方程有三個不相等的實根。
參考資料 >
判別式的解釋|判別式的意思|漢典“判別式”詞語的解釋.www.zdic.net.2022-05-17