線性系統(tǒng)是一數(shù)學(xué)模型，是指用線性運(yùn)算子組成的系統(tǒng)。相較于非線性系統(tǒng)，線性系統(tǒng)的特性比較簡(jiǎn)單。線性系統(tǒng)需滿足線性的特性，若線性系統(tǒng)還滿足非時(shí)變性（即系統(tǒng)的輸入信號(hào)若延遲τ秒，那么得到的輸出除了這τ秒延時(shí)以外是完全相同的），則稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。
簡(jiǎn)介
狀態(tài)變量(見狀態(tài)空間法)和輸出變量對(duì)于所有可能的輸入變量和初始狀態(tài)都滿足疊加原理的系統(tǒng)。疊加原理是指：如果系統(tǒng)相應(yīng)于任意兩種輸入和初始狀態(tài)(u1,x01)和(u2(t),x02)時(shí)的狀態(tài)和輸出分別為(x1(t),y1(t))和(x2(t),y2(t)),則當(dāng)輸入和初始狀態(tài)為(C1u1(t)＋C2u2(t),C1x01＋C2x02)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出必為(C1x1(t)＋C2x2(t),C1y1(t)＋C2y2(t)),其中x表示狀態(tài)，y表示輸出，u表示輸入。C1和C2為任意實(shí)數(shù)。一個(gè)由線性元部件所組成的系統(tǒng)必是線性系統(tǒng)。但是，相反的命題在某些情況下可能不成立。線性系統(tǒng)的狀態(tài)變量(或輸出變量)與輸入變量間的因果關(guān)系可用一組線性微分方程或差分方程來描述，這種方程稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。作為疊加性質(zhì)的直接結(jié)果，線性系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是系統(tǒng)的響應(yīng)可以分解為兩個(gè)部分：零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)。前者指由非零初始狀態(tài)所引起的響應(yīng)；后者則指由輸入引起的響應(yīng)。兩者可分別計(jì)算。這一性質(zhì)為線性系統(tǒng)的分析和研究帶來很大方便。
嚴(yán)格地說，實(shí)際的物理系統(tǒng)都不可能是線性系統(tǒng)。但是，通過近似處理和合理簡(jiǎn)化，大量的物理系統(tǒng)都可在足夠準(zhǔn)確的意義下和一定的范圍內(nèi)視為線性系統(tǒng)進(jìn)行分析。例如一個(gè)電子放大器，在小信號(hào)下就可以看作是一個(gè)線性放大器，只是在大范圍時(shí)才需要考慮其飽和特性即非線性特性。線性系統(tǒng)的理論比較完整，也便于應(yīng)用，所以有時(shí)對(duì)非線性系統(tǒng)也近似地用線性系統(tǒng)來處理。例如在處理輸出軸上的摩擦力矩時(shí)，常將靜摩擦當(dāng)作與速度成比例的粘性摩擦來處理，以便于得出一些可用來指導(dǎo)設(shè)計(jì)的結(jié)論。從這個(gè)意義上來說，線性系統(tǒng)是一類得到廣泛應(yīng)用的系統(tǒng)。
概述
線性系統(tǒng)是指同時(shí)滿足疊加性與均勻性（又稱為齊次性）的系統(tǒng)。所謂疊加性是指當(dāng)幾個(gè)輸入信號(hào)共同作用于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出等于每個(gè)輸入單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的輸出之和；均勻性是指當(dāng)輸入信號(hào)增大若干倍時(shí)，輸出也相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。對(duì)于線性連續(xù)控制系統(tǒng)，可以用線性的微分方程來表示。不滿足疊加性和均勻性的系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。
由于線性系統(tǒng)較容易處理，許多時(shí)候會(huì)將系統(tǒng)理想化或簡(jiǎn)化為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)常應(yīng)用在自動(dòng)控制理論、信號(hào)處理及電信上。像無線通訊訊號(hào)在介質(zhì)中的傳播就可以用線性系統(tǒng)來模擬。
基礎(chǔ)知識(shí)
線性
線性linear，指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在數(shù)學(xué)上可以理解為一階導(dǎo)數(shù)為常數(shù)的函數(shù)；非線性non-linear則指不按比例、不成直線的關(guān)系，一階導(dǎo)數(shù)不為常數(shù)。
如問：兩個(gè)眼睛的視敏度是一個(gè)眼睛的幾倍？很容易想到的是兩倍，可實(shí)際是 6－10倍！這就是非線性。激光也是非線性的！天體運(yùn)動(dòng)存在混沌；電、光與聲波的振蕩，會(huì)突陷混沌；地磁場(chǎng)在400萬年間，方向突變16次，也是由于混沌。甚至人類自己，原來都是非線性的：與傳統(tǒng)的想法相反，健康人的腦電圖和心臟跳動(dòng)并不是規(guī)則的，而是混沌的，混沌正是生命力的表現(xiàn)，混沌系統(tǒng)對(duì)外界的刺激反應(yīng)，比非混沌系統(tǒng)快。
雙線性
式中分別是狀態(tài)向量和控制向量，上標(biāo)T表示轉(zhuǎn)置；A，Pi和B均為常系數(shù)矩陣;dx/dt表示x對(duì)時(shí)間t的微商。這類狀態(tài)方程的特點(diǎn)是，它相對(duì)于狀態(tài)或控制在形式上分別是線性的，雙線性的名稱即源于此。但同時(shí)相對(duì)于狀態(tài)和控制來說，系統(tǒng)則不是線性的。它實(shí)際上是一類具有比較簡(jiǎn)單形式的特殊非線性系統(tǒng)。雙線性系統(tǒng)模型是對(duì)線性系統(tǒng)模型的推廣，它能更準(zhǔn)確地描述一類實(shí)際過程。生物繁殖過程就是一個(gè)典型的例子，用狀態(tài)變量x表示種群中生物體的數(shù)量，控制變量u表示可人為控制的凈增殖率,則控制種群中生物體數(shù)量的繁殖過程可用形式為dx/dt=ux的一個(gè)雙線性系統(tǒng)來描述。雙線性系統(tǒng)模型已被廣泛用于工程、生物、人體、經(jīng)濟(jì)和社會(huì)問題的研究。例如，化學(xué)反應(yīng)中的催化作用問題；人體內(nèi)的水平衡過程、體溫調(diào)節(jié)過程、呼吸中氧和二氧化碳交換過程、心血管調(diào)節(jié)過程等問題；細(xì)胞內(nèi)的某些生物化學(xué)反應(yīng)問題；社會(huì)和經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的人口問題，動(dòng)力資源問題，鋼鐵、煤炭、石油產(chǎn)品生產(chǎn)問題等。
雙線性系統(tǒng)的研究始于60年代，70年代以來得到了廣泛的重視和迅速的發(fā)展，成為非線性系統(tǒng)研究中比較成熟的分支之一。雙線性系統(tǒng)理論中已有的主要結(jié)果為：
① 雙線性系統(tǒng)具有變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的一些特征，因而有一定的自適應(yīng)性（見適應(yīng)控制系統(tǒng)）。
② 對(duì)于控制變量受限制（即控制變量的大小必須在一定的界限內(nèi)）的情況，已經(jīng)找到用頻率域語(yǔ)言表達(dá)的穩(wěn)定性條件。
③ 雙線性系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更好的能控性。即使控制變量受限制，系統(tǒng)仍可能是完全能控的。已經(jīng)獲得系統(tǒng)完全能控的一些充分條件。
④ 用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論能夠求得雙線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定控制解,即可找到一個(gè)反饋控制律u=u(x)使系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)全局穩(wěn)定。這種控制函數(shù)是開關(guān)型或飽和型的，開關(guān)曲面（或曲線）對(duì)狀態(tài)變
而言是二次曲面（或曲線）。
⑤ 采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃或極大值原理已能解決雙線性系統(tǒng)的一些最優(yōu)控制問題,如最速控制，最省燃料控制,以及離散雙線性系統(tǒng)和隨機(jī)雙線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制等。
雙線性系統(tǒng)理論已有不少實(shí)際應(yīng)用的例子。例如核電站、核動(dòng)力裝置中核集團(tuán)裂變和熱交換過程的最優(yōu)控制，人口預(yù)測(cè)和控制等。
分類
對(duì)于線性系統(tǒng)，通常還可進(jìn)一步分為線性時(shí)不變系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)。
線性時(shí)不變系統(tǒng)
線性時(shí)不變系統(tǒng)也稱為線性定常系統(tǒng)或線性常系數(shù)系數(shù)，其特點(diǎn)是，描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的線性微分方程或差分方程中，每個(gè)系數(shù)都不隨時(shí)間變化的常數(shù)。從實(shí)際的觀點(diǎn)而言，線性時(shí)不變系統(tǒng)也是實(shí)際系統(tǒng)的一種理想化模型，實(shí)質(zhì)上是對(duì)實(shí)際系統(tǒng)經(jīng)過近似化和工程化處理后所導(dǎo)出的一類理想化系統(tǒng)。但是，由于線性時(shí)不變系統(tǒng)在研究上的簡(jiǎn)便性和基礎(chǔ)性，并且為數(shù)很多的實(shí)際系統(tǒng)都可以在一定范圍內(nèi)足夠精確地用線性時(shí)不變系統(tǒng)來代表，因此自然地成為線性系統(tǒng)理論中的主要研究對(duì)象。
線性時(shí)變系統(tǒng)
線性時(shí)變系統(tǒng)也稱為線性變系數(shù)系統(tǒng)。其特點(diǎn)是，表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程的線性微分方程或差分方程中，至少包含一個(gè)參數(shù)為隨時(shí)間變化的函數(shù)。在現(xiàn)實(shí)世界中，由于系統(tǒng)外部和內(nèi)部的原因，參數(shù)的變化是不可避免的，因此嚴(yán)格地說幾乎所有系統(tǒng)都屬于時(shí)變系統(tǒng)的范疇。但是，從研究的角度，只要參數(shù)隨時(shí)間的變化遠(yuǎn)慢于系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間的變化，那么就可將系統(tǒng)按時(shí)不變系統(tǒng)來研究，由此而導(dǎo)致的誤差完全可達(dá)到忽略不計(jì)的程度。
線性時(shí)不變系統(tǒng)和線性時(shí)變系統(tǒng)在系統(tǒng)描述上的這種區(qū)別，既決定了兩者在運(yùn)動(dòng)狀態(tài)特性上的實(shí)質(zhì)性差別，也決定了兩者在分析和綜合方法的復(fù)雜程度上的重要差別。事實(shí)上，比之線性時(shí)不變系統(tǒng)，對(duì)線性時(shí)變系統(tǒng)的研究要遠(yuǎn)為復(fù)雜得多，也遠(yuǎn)為不成熟得多。
特性
對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)
1.設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述，引入坐標(biāo)變換，則變換后系統(tǒng)的狀態(tài)空間可描述。
2.線性時(shí)不變系統(tǒng)引入坐標(biāo)變換，其傳遞函數(shù)矩陣在線性非奇異變換下保持不變。對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，考察連續(xù)時(shí)間線性時(shí)變系統(tǒng)，狀態(tài)空間描述。
此時(shí)，系統(tǒng)在坐標(biāo)變換即線性非奇異變換下的特性不同于時(shí)不變系統(tǒng)，時(shí)變系統(tǒng)的坐標(biāo)變換中，變換矩陣一般取為時(shí)變矩陣并滿足可微性要求。
若引入坐標(biāo)變換即非奇異變換x=P(t)，P(t)為可逆且連續(xù)可微，則變換后的狀態(tài)空間描述。
其中，變換前和變換后的狀態(tài)空間中的系數(shù)矩陣。
地位
線性系統(tǒng)理論是現(xiàn)代控制理論中最基本、最重要也最成熟的一個(gè)分支，是生產(chǎn)過程控制、信息處理、通信系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)等多方面的基礎(chǔ)理論。其大量的概念、方法、原理和結(jié)論對(duì)于系統(tǒng)和控制理論的許多學(xué)科分支，如最優(yōu)控制、非線性控制、隨機(jī)控制、系統(tǒng)辨識(shí)、信號(hào)檢測(cè)與估計(jì)等都具有十分重要的作用。線性系統(tǒng)理論在1960年前后開始了從古典階段到現(xiàn)代階段的過渡，其重要標(biāo)志之一是卡爾曼(R.E.Kalman)系統(tǒng)的把狀態(tài)空間法引入到系統(tǒng)與控制理論中來。狀態(tài)空間法的基本特點(diǎn)是采用狀態(tài)空間這種內(nèi)部描述取代傳遞函數(shù)那種外部輸入輸出描述，并對(duì)系統(tǒng)的分析和綜合直接在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行。狀態(tài)空間法可以同時(shí)適用于單輸入單輸出系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)，線性定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)。在此種方法中，用以表征系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性的數(shù)學(xué)模型是反映輸入變量，狀態(tài)變量和輸出變量間關(guān)系的一對(duì)向量方程，稱為狀態(tài)方程和輸出方程。線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間理論自提出以來，已經(jīng)得到了非常廣泛的研究，而在狀態(tài)空間描述的基礎(chǔ)上進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)是狀態(tài)空間理論的一個(gè)重要組成部分。控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)一般可分為兩類，一類是非優(yōu)化型設(shè)計(jì)，其目的是針對(duì)某定常控制系統(tǒng)，設(shè)計(jì)某種形式的線性定常反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有指定的期望的一組極點(diǎn)，這種設(shè)計(jì)以狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置為代表。另一類設(shè)計(jì)是所謂的優(yōu)化設(shè)計(jì)，即設(shè)計(jì)某種反饋控制律（線性或非線性），使得閉環(huán)系統(tǒng)的某種性能指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)，這種設(shè)計(jì)方法以二次最優(yōu)控制為代表。
參考資料 >