狀態(tài)方程是指刻畫系統(tǒng)輸入和狀態(tài)關(guān)系的表達(dá)式。狀態(tài)向量所滿足的向量常微分方程稱為控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程是控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要組成部分。以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)模型適應(yīng)當(dāng)時(shí)手工計(jì)算的局限，著眼于系統(tǒng)的外部聯(lián)系，重點(diǎn)為單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)。伴隨計(jì)算機(jī)的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)模型采用狀態(tài)空間方程，以時(shí)域分析為主，著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)及其內(nèi)部聯(lián)系，研究的機(jī)電控制系統(tǒng)擴(kuò)展為多輸入-多輸出的時(shí)變系統(tǒng)。所謂狀態(tài)變量是足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的一組變量，而狀態(tài)方程則是由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階導(dǎo)數(shù)方程組。
釋義
連續(xù)線性時(shí)變控制系統(tǒng)：式中的(a)式稱為狀態(tài)方程。如果狀態(tài)向量的初始條件x(t)=x和t≥t時(shí)的輸入都已知，則可從(a)式完全決定t≥t時(shí)刻的所有狀態(tài)x(t)，因而控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)行為就完全確定了?？坍嬁刂葡到y(tǒng)的輸出與狀態(tài)之聯(lián)系的代數(shù)關(guān)系稱為輸出(或量測(cè))方程。(b)式便是輸出方程。輸出方程提供了人們通過量測(cè)數(shù)據(jù)了解系統(tǒng)狀態(tài)變化的信息。狀態(tài)方程和輸出方程是控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的重要組成部分。
一般形式
連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)方程組。設(shè)n階系統(tǒng)的狀態(tài)變量為x(t)、x(t)、…、x(t)，激勵(lì)為e(t)，則狀態(tài)方程的一般形式如下：
(2.1)
式中各系數(shù)均由系統(tǒng)的元件參數(shù)確定，對(duì)于線性非時(shí)變系統(tǒng)，它們都是常數(shù)；對(duì)于線性時(shí)變系統(tǒng)，它們中有的可以是時(shí)間函數(shù)。式（2.1）是單輸入的情況，如果有m個(gè)輸入e(t)、e(t)、…、e(t)，則可得狀態(tài)方程的一般形式為
可以寫成如下矩陣形式：
（2.2）
定義狀態(tài)矢量x(t)和狀態(tài)矢量的一階導(dǎo)數(shù)x'(t)分別為
(2.3)
再定義輸入矢量e(t)為
另外，把由系數(shù)a組成的n行n列的矩陣記為A，把由系數(shù)b 組成的n行m列的矩陣記為B，則
把式（2.3）、式（2.4）和式（2.5）代入式（2.2），可將狀態(tài)方程簡(jiǎn)寫為
如果系統(tǒng)有q個(gè)輸出y(t)，y(t)，…，y(t)，則輸出方程的矩陣形式為
仿照前面，定義輸出矢量y(t)為
并把由系數(shù)c組成的q行n列矩陣記為C，把由系數(shù)d組成的q行m列矩陣記為D，即
于是，輸出方程簡(jiǎn)寫成
對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，上面所有系數(shù)矩陣為常數(shù)矩陣。式（2.6）、式（2.10）分別是狀態(tài)方程和輸出方程的矩陣形式。應(yīng)用狀態(tài)方程和輸出方程的概念，可以研究許多復(fù)雜的工程問題。
離散時(shí)間形式
離散時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程為：
輸出方程為：
如果系統(tǒng)是線性時(shí)不變系統(tǒng)，則狀態(tài)方程和輸出方程是狀態(tài)變量和輸入信號(hào)的線形組合。
狀態(tài)方程為：
輸出方程為：
狀態(tài)方程和輸出方程可以看出，這是由輸入量、輸出量。狀態(tài)變量以及聯(lián)系它們之間關(guān)系的A、B、C、D矩陣組成，即狀態(tài)方程和輸出方程可以簡(jiǎn)寫為：
方程求解
（1）齊次狀態(tài)方程的解：
考慮n階線性定常齊次方程 的解。
首先分析標(biāo)量微分方程的解。設(shè)標(biāo)量微分方程為
對(duì)式（2）取拉氏變換得；
取拉氏反變換，得。
標(biāo)量微分方程可以認(rèn)為是矩陣微分方程當(dāng)n=1時(shí)的特征，因此矩陣微分方程的解與標(biāo)量微分方程應(yīng)具有形式的不變性，由此得如下定理：
【定理1】 n階線性定常齊次狀態(tài)方程（1）的解為：
式中： 。
【推論1】 n階線性定常齊次狀態(tài)方程 的解為。
齊次狀態(tài)方程解的物理意義是e將系統(tǒng)從初始時(shí)刻t的初始狀態(tài)x轉(zhuǎn)移到時(shí)刻t的狀態(tài)x(t)。故e 又稱為定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。
(狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣有四種求法：即定義（矩陣指數(shù)定義）法、拉氏反變換法、特征向量法和凱來-哈密頓（Cayly-Hamilton）法)
從上面得到兩個(gè)等式
其中，第一式為矩陣指數(shù)定義式，第二式可為e 的頻域求法或拉氏反變換法.
（2）非齊次狀態(tài)方程的解：
設(shè)n階非齊次方程
將狀態(tài)方程左乘e ，有
移項(xiàng) 積分，再移項(xiàng)左乘e ，得
【定理2】 n階線性定常非齊次方程（5）的解為
從非齊次狀態(tài)方程解的表達(dá)式可以看出其解是由齊次方程的解與控制u（t）的作用兩部分結(jié)合而成。
（3）的計(jì)算方法
（3.1）定義法：
（3.2）拉氏變換法：
（3.3）特征值法：
這種方法分兩種情況計(jì)算。
首先，考慮A的特征值不重時(shí)（互異），設(shè)A的特征值為λ(i = 1,2,...n)，則可經(jīng)過非奇異變換把A化成對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形，即：
根據(jù)e 的性質(zhì)7寫出
根據(jù)定義，得
從而可得：
（9）式即為A的特征值不重時(shí)，計(jì)算e 的公式。其中P陣為把A化為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形的交換陣。P陣的特征向量的求法：
若矩陣A的具有重根時(shí)，用上述的方法也可以推導(dǎo)出：重根所對(duì)應(yīng)的約當(dāng)塊Aj的矩陣指數(shù)e 的分式為
求矩陣指數(shù)e 的分式為：
式中P是把A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的變換陣。當(dāng)A既有j重根又有互異的根時(shí)：
P陣的特征向量的求法：
注：在（13）式中將重根對(duì)應(yīng)的特征向量p,p,...p可放在P陣的前部，也可以放后，無嚴(yán)格規(guī)定。
(3.4）萊-哈密爾頓（Cayley-Hamilton）方法:
考慮A的特征多項(xiàng)式
顯然對(duì)A的n個(gè)特征值，有。
根據(jù)Cayley-Hamilton定理有
這里可以看出矩陣A與λ具有同等地位。
移項(xiàng)
上式表明，是 的線性組合。
因此，可設(shè)
式中，是待定系數(shù)， 。
下面分兩種情況確定待定系數(shù)：
（1）A有n個(gè)不同特征值，A的特征值 與A具有同等地位，則有
這里共有n個(gè)方程，可以唯一確定n個(gè)待定系數(shù)。
（2）當(dāng)A的特征值有重時(shí)，設(shè)A有p個(gè)互異特征值，r個(gè)不同的重特征值，且各重?cái)?shù)為， 。若 是 重特征值，則將 滿足的方程 對(duì) 求 次導(dǎo)，這樣共有 個(gè)獨(dú)立方程。一般地，設(shè)A的特征值為 為單特征值。其中，是 重特征值，為 重特征值。
有，則 由下面n個(gè)獨(dú)立方程確定：
定常離散方程
對(duì)n階線性定常離散系統(tǒng)
其求解方法有兩種：
（1）遞推法：
（2）Z變換法：
Z是頻域解法。對(duì)式（17）作Z變換，有
移項(xiàng)，得
左乘，得
取，得
【定理3】n階線性定常離散系統(tǒng)式（17）的解為
參考資料 >