格林函數(shù)（Green's 函數(shù)）又稱為源函數(shù)或影響函數(shù)，是指數(shù)學物理方程中一種用來解非齊次微分方程的函數(shù)，它表示一種特定的“場”和產(chǎn)生這種場的“源”之間的關(guān)系。
格林函數(shù)最初是由英國數(shù)學家George Green于1828年在自己印刷的論文《An Essay on Application of Mathematical Analysis to the Therories of Electricity and Magnetism》中提出的。
從物理意義上，一個數(shù)理方程可以表示一種特定的場和產(chǎn)生這種場的場源之間的關(guān)系，如熱傳導方程表示的溫度場和熱源的關(guān)系，而格林函數(shù)則代表一個點源所產(chǎn)生的場，通過疊加的方法可以得到任意源產(chǎn)生的場。
簡介
格林函數(shù)法是數(shù)學物理方程中一種常用的方法。
格林函數(shù)是物理學中的一個重要函數(shù)。在數(shù)學物理方法中，格林函數(shù)又稱為源函數(shù)或影響函數(shù)，是英國人G.格林于1828年引入的。
物理學中單體量子理論所使用的格林函數(shù)，其定義稍有擴充。它滿足方程:，其中H是單粒子哈密頓量，可以包括外場及雜質(zhì)勢等。單格林函數(shù)在無序體系研究中有重要應用，例如用平均T矩陣近似、相干勢近似求態(tài)密度。
多體量子理論的格林函數(shù)自20世紀60年代以來已成為凝聚態(tài)理論研究的有力工具。物理當中格林函數(shù)常指用于研究大量相互作用粒子組成的體系的多體格林函數(shù)。多體格林函數(shù)代表某時某地向體系外加一個粒子，又于它時它地出現(xiàn)的幾率振幅。格林函數(shù)描寫粒子的傳播行為，又稱為傳播子。
為了研究多粒子體系在大于絕對零度時的平衡態(tài)行為，引入了溫度格林函數(shù)。由于溫度的倒數(shù)和虛時間有形式上的對應，溫度格林函數(shù)也稱為虛時間格林函數(shù)。為了研究的非平衡態(tài)行為，引入了的時間格林函數(shù)及閉路格林函數(shù)。
在量子場論中計算具體物理過程的矩陣元時，也常出現(xiàn)格林函數(shù)，其物理意義也是代表粒子傳播的幾率振幅。由于多體格林函數(shù)時對應于它，所以量子場論中的理查德·費曼圖解法（見費因曼圖）也可用于多體格林函數(shù)。重正化群方法來也用于凝聚態(tài)研究中，例如近藤效應、一維導體。
定義及用法
給定流形M上的微分算子L，其格林函數(shù)，為以下方程的解
其中為狄拉克δ函數(shù)。此技巧可用來解下列形式的微分方程：
若L的零空間非平凡，則格林函數(shù)不唯一。不過，實際上因著對稱性、邊界條件或其他的因素，可以找到唯一的格林函數(shù)。一般來說，格林函數(shù)只是一個廣義函數(shù)。
格林函數(shù)在凝聚態(tài)物理學中常被使用，因為格林函數(shù)允許擴散方程式有較高的精度。在量子力學中，哈密頓算子的格林函數(shù)和狀態(tài)密度有重要的關(guān)系。由于擴散方程式和薛定諤方程有類似的數(shù)學結(jié)構(gòu)，因此兩者對應的格林函數(shù)也相當接近。
在生物醫(yī)學光子學中的應用
在時域測量中，由于無限短的脈沖激勵源可視為組織體邊界下自由傳輸深度ls處的彌向的無限短脈沖點源（光子在時刻同時入射），該沖擊響應也因此被稱為格林函數(shù)。格林函數(shù)對于解線性系統(tǒng)在實際光源激勵下的響應問題具有很重要的意義。如果實際的光源為具有一定強度空間分布、時間分布、角度分布的光源，則此光源下的系統(tǒng)響應可表示為格林函數(shù)與光源分布函數(shù)的乘積在全空間、角度和時間域的積分。
例如，假設投射到組織體表面的光源的光子密度分布為，系統(tǒng)的格林函數(shù)為，則下系統(tǒng)的響應為為區(qū)別起見在后續(xù)將格林函數(shù)統(tǒng)一用G(r,t)表示，由于關(guān)于的格林函數(shù)表示為
，于是時變擴散方程有
(3.56)
對于均勻媒質(zhì)，上述方程的頻域形式可表示為(3.57)
在式(3.56)中令或在式(3.57)中令，即得穩(wěn)態(tài)（或直流）擴散方程。對于均勻媒質(zhì)，穩(wěn)態(tài)（或直流）擴散方程表示為
無限媒質(zhì)格林函數(shù)的解析求解
作為其余各解析求解的基礎(chǔ)，下面將首先建立無限媒質(zhì)中的光學響應。為此，對式（3.57）兩邊取三維空間傅立葉變換(3.58)
式中，s為頻域空間矢量。對式(3.58)求空間的傅里葉逆變換，得
(3.59)
根據(jù)，并令r的方向與s之方向一致，有
(3.60)
式中，，考慮到，所以。進一步得
(3.61)
式中被積函數(shù)為偶函數(shù)，且在復平面有兩個一階極點：，分別位于上下半平面，其中第一項時趨于零，因此圍道積分應在下半平面進行；反之式(3.61)第二項圍道積分應在上半平面進行，于是根據(jù)留數(shù)定理(3.62)
對上式求傅里葉反變換，得時域無限均勻媒質(zhì)下的格林函數(shù)
(3.63)
于是由式(3.63)和式(3.54)可得
(3.64)
式中，為r方向單位矢量。當連續(xù)以一定的速率注入光子，即穩(wěn)態(tài)時，無線均勻媒質(zhì)下的格林函數(shù)為
(3.65)
式中稱為有效衰減系數(shù)。稱為穿透深度。
平面半無限空間格林函數(shù)
對于如圖3.8所示的半無限空間，格林函數(shù)可利用上述全空間解和鏡像原理求得。我們?nèi)匀患俣ǜ飨蛲渣c光源位于組織體表面下處。下面介紹鏡像源的添加原理。
（1）珠海零邊界集成電路有限公司條件情況下
如圖3.8(a)，在物理邊界上采用Dirichlet邊界條件，可在半空間填充媒質(zhì)并在處加入負鏡像點源。則根據(jù)唯一性原理，此時區(qū)域的解與原問題解相同，則可實現(xiàn)半無窮空間的零邊界條件，這樣實際的物理邊界就可以移去，從而可根據(jù)全空間的解式(3.63)可得半無窮空間任意一點A處()的解
(3.66)
式中，和為和向的單位矢量，根據(jù)Fick原理，在邊界上()距源的距離為的點測得到的漫反射光流量為
(3.67)
當時，從式(3.67)可以得到
(3.68)
(3.69)
式(3.69)說明，吸收系數(shù)可以通過對對t的曲線在t為無窮大時的斜率得到。另外擴散系數(shù)也可以通過的最大點計算得到。由于在與t的關(guān)系曲線上，頂點處斜率為零，如果設此時對應的時間為并考慮到，則根據(jù)式(3.68)可得(3.70)
由上面的幾個公式可以看出，媒質(zhì)的光學參數(shù)可以通過測量一定距離下擴散光隨時間的變化曲線得到，這也是漫射光譜技術(shù)用于測量光學參數(shù)的理論基礎(chǔ)。
（2）外推邊界情況下
在外推邊界條件下，物理邊界可以通過在外推邊界上部的
處放置鏡像源而移去，見圖3.8(b)。參考零邊界條件的推導結(jié)果，相應地，對于外推邊界條件
(3.71)
根據(jù)Fick定律，組織體表面的檢測光流量為
(3.72)
式中對于穩(wěn)態(tài)輸入情形，在表面上()距離源為的點測得的反射光強為
(3.73)
平行平板格林函數(shù)
厚度為d的無限組織層格林函數(shù)同樣可利用全空間解和鏡像原理求得。設激勵點光源位于組織體表面下處，為了使光子密度在處滿足Dirichlet邊界條件（不考慮外延邊界）應在1'處加鏡像元。為了在處滿足Dirichlet邊界條件，應在2和2'處加鏡像源用來分別抵消1和1'在處的影響。而應在2和2'處加鏡像源后又會造成邊界不滿足邊界條件，所以應在
放置無窮個鏡像點源偶極子，如圖3.9所示。于是很容易寫出：
①處的反射通量密度(3.74)
式中
②處的反射通量密度(3.75)
式中。
求解方法
·穩(wěn)定問題的格林函數(shù)也可以利用靜電場 類比法得到。
·點源問題可以看成接地的導體邊界內(nèi)在 r’ 處有一個 電量為 - ε0 的 點電荷。
·邊界內(nèi)部的電場由 點電荷與導體中的感應電荷共同產(chǎn)生。
·在一些情況下，導體中所有感應 電荷的作用可以用一個設想的等效電荷來代替，該等效電荷稱為 點電荷的電像。
·這種方法稱為電像法
在地震工程學中的應用
格林函數(shù)在地震工程學中是計算震源機制的函數(shù)。根據(jù)其發(fā)展和應用可以分為以下幾類
。
隨機法
隨機法是將地震動模擬成有限帶寬白噪聲的一個時間序列，用震源譜代震級、用表示地震波傳播效應因子修正譜的形狀。對于大地震，震源表達為在一個延伸的斷裂面上的剪切位錯，斷裂面上的滑動空間和時間變化用離散的方法表示。其優(yōu)點是對于高頻段（>1Hz）可以得到滿足工程要求的近場地震動估計；缺點是對于低頻段（<1Hz）往往估計過高
。
經(jīng)驗法
經(jīng)驗格林函數(shù)法是運用包含斷層上一個點源動力學破裂的復雜效應、震源主場地速度結(jié)構(gòu)的不均勻性影響的小震記錄來疊加合成較大地震的地震動時程。其優(yōu)點是信度較高、較為可靠；可是其缺點同樣突出，即對小震記錄的要求相當苛刻，必須具有與大震相同的震源機制，小震記錄的信噪比要高等等。如果在震源區(qū)找不到良好的小震記錄，就不能用經(jīng)驗格林函數(shù)法。
理論法
理論格林函數(shù)的計算是一個相當復雜的過程，理論只有對水平成層介質(zhì)推導的解析公式。計算要借助計算機實現(xiàn)，且介質(zhì)層數(shù)受到很大的限制，很少有多于兩復蓋層的結(jié)果發(fā)表。
數(shù)值法
與實際地震動觀測記錄的比較表明，這種在時域合成的地震動模擬，對持時、峰值加速度、短周期（1秒以下）反應譜幅值的預測精度都可以在大約-50%范圍內(nèi)，與經(jīng)驗模型的精度大體相當；對峰值速度和周期大于1秒的反應譜幅值，預測的誤差要比經(jīng)驗模型的小。
解析法
除了以上介紹的幾種格林函數(shù)的數(shù)值方法，還有解析法
。解析法只能用來計算橫向成層介質(zhì)的格林函數(shù)，再考慮計算時間及計算方法的穩(wěn)定性方面計算的層數(shù)是優(yōu)先的，對較復雜的局部場地條件則無能為力。張冬麗在對格林函數(shù)的解析法和數(shù)值法對比研究后得出以下結(jié)論：
（1）無論是單一點源或是有限斷層模型，利用解析法和有限差分法所得出的結(jié)果是一致的，二者均可以反映出震源、波的傳播途徑和場地特性（斷裂和上復蓋層速度結(jié)構(gòu)）。
（2）解析法用于橫向成層介質(zhì)的格林函數(shù)較為簡便，對于地形及速度結(jié)構(gòu)較為復雜的局部場地條件的格林函數(shù)，用數(shù)值模擬的方法更為合適，故兩種計算方法的結(jié)合可為計算較深震源及較大的計算區(qū)域打下基礎(chǔ)。
（3）基于射線理論和波動有限元數(shù)值模擬，采用雙力偶點源模型計算斷層在斷層頂面引起的地震影響場（解析法），并將其作為斷層上復蓋層的波動有限元數(shù)值模擬的入射場，計算（數(shù)值法）得到的格林函數(shù)是合理的。它可以兼顧波的傳播途徑與場地波速層與地形的復雜性，同時大大減小了計算量，提高了計算速度，也可保證模擬的穩(wěn)定性和精度，為進一步計算斷層運動在局部場地引起的土層地震反應提供了必不可少的條件。
發(fā)展趨勢
強震觀測數(shù)據(jù)分析表明，在高頻和低頻兩個不同頻段內(nèi)，地震動特征顯著不同。高頻段充分表現(xiàn)地震動的隨機性，低頻段主要受傳播途徑和局部場地條件的影響。根據(jù)上述幾種格林函數(shù)方法的優(yōu)缺點，選擇用隨機法估計得高頻地震動和用理論或數(shù)值格林函數(shù)方法模擬的低頻的地震動在時域疊加，是現(xiàn)今對于格林函數(shù)方法模擬和預測地震動的發(fā)展趨勢。
參考資料 >