一般地，把隨某個參數（一般是時間）的改變而隨機變化的過程稱為隨機過程（英文：Stochastic Process）。在數學上研究隨機過程的方法多種多樣，主要可分為兩大類：一類是概率方法，另一類是分析方法。另外，組合方法、代數方法在某些特殊隨機過程的研究中有一定的作用。
20世紀初，受到概率論發展的影響以及對研究實際問題的需要，靜止的概率論已經不能滿足要求。隨機過程的早期研究是在布朗運動的基礎上進行的，1923年數學家諾伯特·維納（Wiener）用三角級數首次給出了布朗運動的嚴格數學定義，并證明了布朗運動軌道的連續性。1931年，俄羅斯數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫（俄語：Андре?й Никола?евич Колмого?ров）發表的《概率論的解析方法》和1934年數學家亞歷山大·辛欽（Aleksandr Yakovlevich Khinchin）發表的《平穩過程的相關理論》是研究隨機過程一般理論的重要著作，奠定了馬爾可夫過程和平穩過程的理論基礎。1953年，美國數學家杜布（英文：Doob）出版了著作《隨機過程論》，系統地介紹了隨機過程的基本理論，并提出了鞅論的概念。杜布使隨機過程的研究進一步抽象，豐富了概率論的內容，為傅里葉分析、復變函數和位勢理論等其他數學分支提供了有力工具。
隨機過程通常使用有限維分布族來表示，它的特征性質是隨機過程理論的重要定理。隨機過程的種類很多，由過程的時間參數和狀態參數的不同可得到不同的分類方法，如離散時間離散狀態隨機過程和連續時間連續狀態隨機過程等。對一維實過程進行推廣，隨機過程可推廣至多維隨機過程以及復隨機過程。常見的隨機過程包括獨立增量過程、正交增量過程、平穩過程、馬爾可夫過程、高斯過程、泊松過程、維納過程等。
隨機過程在金融學、聲學、生物學等其他領域有著廣泛的應用，如把聲波在混合物介質中的傳播過程抽象為粒子在三維馬爾科夫鏈中以音速進行“隨機游走”，再構建隨機過程理論模型，可以較好地解釋聲波在混合物介質中傳播時“峰波延后”及“尾波”等現象。
歷史
早期研究
在20世紀初，受到概率論發展的影響和實際問題的研究所需，靜止的概率論已經無法滿足要求，人們開始研究隨機過程。隨機過程最早源自于物理學的研究，如約西亞·吉布斯、路德維希·玻爾茲曼和亨利·龐加萊等物理學家對統計力學的研究，以及后來的物理學家阿爾伯特·愛因斯坦（Einstein）、數學家諾伯特·維納和萊維等對布朗運動的開創性工作。
1900年，巴施里耶第一次將布朗運動應用于金融領域，對股票價格的進行描述。后來，物理學家愛因斯坦用不同的概率模型求得了布朗運動質點的轉移密度。1907年前后，數學家安德雷·安德耶維齊·馬爾可夫（俄文：Андрей Андреевич Марков）著手分析一列有特定相依性的隨機變量，即離散馬爾可夫過程。直到1923年，數學家維納用三角級數首次給出了布朗運動的嚴格數學定義，并證明了布朗運動軌道的連續性，進而到1931年俄羅斯數學家安德雷·柯爾莫哥洛夫發表的《概率論的解析方法》和1934年數學家亞歷山大·辛欽發表的《平穩過程的相關理論》有關于隨機是研究隨機過程一般理論的重要著作，奠定了馬爾可夫過程和平穩過程的理論基礎。
后續發展
進入20世紀，隨機過程進一步發展，體現在對馬爾可夫過程、鞅論、平穩過程、點過程等常見過程的研究上。
馬爾可夫過程
20世紀50年代以前，研究馬爾可夫過程的主要數學工具是微分方程和半群理論（即分析方法）。1936年前后開始探討馬爾可夫過程的軌道性質，直到把微分方程和半群理論的分析方法和分析軌道性質的概率方法結合運用，才使得研究工作進一步發展，并形成了對軌道分析必不可少的強馬爾可夫性概念。
鞅和隨機微分方程
1942年，日本數學家伊藤清用泊松過程來研究一類特殊的馬爾可夫過程一擴散過程，開辟了研究馬爾可夫過程的又一重要途徑，并于1951年建立了關于布朗運動的隨機微積分方程的理論。隨機積分與隨機微分方程的建立為隨機過程研究拓展了新的途徑。1953年，美國數學家杜布出版了著作《隨機過程論》，系統地介紹了隨機過程的基本理論，并提出了鞅論的概念。杜布使隨機過程的研究進一步抽象，豐富了概率論的內容，為傅里葉分析、復變函數和位勢理論等其他數學分支提供了有力工具。1962年，邁耶（Meyer）解決了杜布提出的連續時間的鞅分解為鞅及增過程之差的問題，使鞅和隨機過程一般理論的內容更加豐富。
平穩過程
關于寬平穩過程的研究，在20世紀40年代亞歷山大·辛欽、安德雷·柯爾莫哥洛夫和維納等人運用傅里葉分析和泛函分析的工具，找出了過程的相關函數及過程本身的譜分解式，并且較完滿地解決了有應用意義的預測問題。
點過程
點過程是從所謂計數過程中發展出來的，它們可用落在不相重疊的集合上的隨機點數目的聯合概率分布來刻畫整個過程的概率規律。最基本的計數過程是泊松過程，1943年，帕爾姆將它作為最簡單的輸入流應用于研究電話業務問題；1955年，辛欽又以嚴密的數學觀點對泊松過程加以整理和發展。在60年代以前，點過程的研究主要限于泊松過程及其推廣的過程。
定義
在概率論中研究的對象是隨機變量，其特點是：在每次試驗的結果中，以一定的概率取某些事先未知，但為確定的“數值”。在實際問題中，試驗過程的隨機變量也可能隨其他某個參數變化，這時就要研究隨某個參數的改變而隨機變化的過程。一般地，把隨某個參數（一般是時間）的改變而隨機變化的過程稱為隨機過程。
隨機變量族的隨機過程
設是一隨機試驗，樣本空間為參數集如果對于任意的有一定義在上的隨機變量與之對應，則稱隨機變量族是參數集為的隨機過程，簡記為或
函數族的隨機過程
設是一隨機試驗，樣本空間為參數集如果對于每個總有一個普通的時間函數與之對應，那么對于所有的可得到一族時間的函數，則稱函數族是參數集為的隨機過程，族中的每一個函數稱為該隨機過程的樣本函數。
若把看成二元函數，則有以下兩個含義：
若取定，則是一確定數值，把所有可能取值的全體稱為隨機過程的狀態空間或相空間，當若則稱隨機過程在時刻處于狀態
有限維分布族
定義
對于任意的有稱為隨機過程的維分布函數。
隨機過程的一維分布函數，二維分布函數, ,維分布函數等的全體稱為隨機過程的有限維分布族或有窮維分布族。
性質
1.對的任一排列及任意實數
有
2.相容性：若則
這兩個性質通常稱為相容性條件或一致性條件。
安德雷·柯爾莫哥洛夫相容性定理：定義在概率空間上的隨機過程的有限維分布族必然滿足相容性條件。反之，如果一分布函數族滿足相容性條件，則必存在一概率空間及其上的隨機過程使得它的有限維分布族正是
性質
隨機過程理論具有如下的一些基本概念及性質：
等價
設和是定義在概率空間上的兩個隨機過程，若對任意均有則稱這兩個過程隨機等價或簡稱等價。
無區別
設和是定義在概率空間上的兩個隨機過程，如果存在一零概率集使得有對所有成立，則稱這兩個隨機過程隨機無區別，簡稱無區別。無區別的兩個隨機過程一定等價，但等價的兩個隨機過程不一定是無區別的兩個過程。
可分性
設是定義在概率空間上的隨機過程，當是非可數集時，對任一閉集集合未必是可測集。如果存在的可數稠子集使得對任意開區間
恒有及
則稱隨機過程為可分的。
可測性
設是定義在概率空間上的隨機過程，參數集是的波萊爾集。以表示中全體波萊爾子集所構成的域，把視為上的函數，如果它是可測空間上的可測函數，就稱隨機過程為波萊爾可測。
連續性
如果當時,依概率收斂于則稱隨機過程在處是隨機連續的。如果隨機過程在每個處，都是隨機連續的，則稱該過程是隨機連續的。
分類
隨機過程的種類很多，由不同的標準便可得到不同的分類方法。按照隨機過程的時間參數集和狀態集是連續還是離散，隨機過程可分成以下四類。
離散時間離散狀態隨機過程
隨機過程的時間和狀態都是離散的。
示例：考慮拋擲一顆子的實驗，設是第次拋擲的點數，對于不同的是不同的隨機變量，因而構成一隨機過程，它的狀態空間是
連續時間離散狀態隨機過程
是連續集，且對于任意的是離散型隨機變量。
示例：設表示內到達某商店的顧客數，則是一連續時間離散狀態隨機過程。
離散時間連續狀態隨機過程
是離散集，且對于任意的是連續型隨機變量。它對應于時間離散，狀態連續的情況，它可以通過對連續型隨機過程進行順序等時間間隔采樣得到。
示例：考慮從林場的一批長為的圓木中任取一根，用表示從左端算起它在處的截面積，那么是一離散時間連續狀態隨機過程，狀態參數集為
連續時間連續狀態隨機過程
是連續集，且對于任意的是連續型隨機變量，時間和狀態都是連續的。
示例：在測量運動目標的距離時存在隨機誤差，若以表示在時刻的測量誤差，則它是一個隨機變量。當目標隨時間按一定規律運動時，測量誤差隨時間而變化，則是依賴于時間的一族隨機變量，即是一連續時間連續狀態隨機過程。
相關推廣
復隨機過程
一般地，把隨機過程都表示為時間的實值函數，稱為實隨機過程。在某些情況下，把過程表示為復數形式，就有了復隨機過程的概念。
定義：設和為二實隨機過程，稱為復隨機過程，如果對任意的有，則稱為復二階矩過程，其中為復數的模。
二維隨機過程
定義：設是定義在同一樣本空間上且有同一參數集的隨機過程，對于任意的是一個二維隨機變量，稱為上的二維隨機過程。
常見隨機過程
獨立增量過程
定義：設為隨機過程，如果對任意的正整數，任意的，它的個增量相互獨立，則稱為獨立增量過程。
若對任意的，增量的分布只與時間差有關，而與起點時刻無關，則稱為平穩獨立增量過程。
定理：設是獨立增量過程，且，則
正交增量過程
定義：設為實的或復的二階矩過程，如果對任意的有，則稱為正交增量過程。
定理：設為正交增量過程，則存在單調不減的實函數，
使得，且在相差一個常數的意義下是唯一的。
平穩過程
嚴平穩過程的定義：設是一隨機過程，若對任意的正整數，任意的和任意的，當時，維隨機變量和有相同的分布函數，即
則稱是嚴平穩過程。
嚴平穩過程是指它的有限維分布不隨時間的推移而改變。在實際問題中，即便所研究的過程是嚴平穩過程，但難以從理論上加以嚴格證明。因此在應用中，放寬嚴平穩的條件去研究一類更廣泛的平穩過程是可行的選擇，即所謂的寬平穩過程。
寬平穩過程的定義：如果二階矩過程滿足以下關系，
(1)為常數
(2)對任意的，與無關而只與有關。（表示“定義為”）
則稱為寬平穩過程。
馬爾可夫過程
定義：設的狀態空間為，如果對任意，任意的個數值，在條件下的條件分布函數恰等于在條件下的條件分布函數，即
則稱為馬爾可夫過程。
馬爾可夫過程的特性：當過程在時刻所處的狀態已知時，過程在時刻的狀態只與過程在時刻的狀態有關，而與過程在時刻之前所處的狀態無關。這種特性稱為無后效性或馬爾可夫性。
高斯過程
高斯過程的定義：設隨機過程對任意的正整數及，隨機變量的聯合分布函數為維正態分布，即有如下的密度函數：
，則稱為高斯過程，亦稱正態隨機過程。
其中，
為對稱正定矩陣,表的逆矩陣,表的行列式,表向量或矩陣的轉置。
高斯過程的一些定理：
泊松過程
泊松過程是工程技術中較多見的馬爾可夫過程，常有5種等價定義，下面介紹兩種常見定義。
泊松過程的第一個定義：設隨機過程的無限狀態空間是若滿足條件：
其中，則稱是具有參數的泊松過程。
作為給出泊松過程的第二個定義的準備，先定義無窮小的概念：若，則稱函數是無窮小，記為
泊松過程的第二個定義：設隨機過程的無限狀態空間是，若滿足條件：
其中則稱是具有參數的泊松過程。
維納過程
定義：設隨機過程的狀態空間是若滿足：
則稱它為維納過程。
維納過程最早是在研究布朗運動時發現的，亦稱布朗運動。
維納過程有如下一些性質：
相關應用
金融學
現代金融衍生證券誕生于70年代，隨著金融衍生證券市場的蓬勃發展，衍生證券給現代金融學提出更為復雜的數學問題。金融證券市場運行的內在復雜性，使得金融衍生證券定價問題成為經濟系統建模中具有挑戰性的課題之一。
基于維納過程（布朗運動）條件下的一般的金融衍生證券的定價理論已經發展得較為成熟，但是當把研究重點放在到具有隨機波動性、差異利率、具有交易費用等條件下的衍生證券的定價問題上時，該理論模型仍會存在一定的不適性，這時應該使用波動率的隨機過程來建立衍生證券的定價模型，可以更科學地為衍生證券定價。
聲學
聲波在諸如混凝土等混合物介質中傳播時，即使單射波為瞬時脈沖波，接收波也會呈現出持續時間相對較長的連續波。把聲波抽象為一種粒子，基于概率論隨機過程原理及聲波在混合物介質中傳播時散射的隨機特性，將混合物介質抽象為三維各向同性馬爾科夫鏈，把聲波在混合物介質中的傳播過程抽象為粒子在三維馬爾科夫鏈中以音速進行“隨機游走”，構建隨機過程理論模型，可以較好地解釋聲波在混合物介質中傳播時“峰波延后”及“尾波”等現象。
生物學
林木的生長不可避免地受到許多隨機因素的環境影響，在整個生長過程中，不同因素對它的影響不同，很難全部精確地測定出來，并且各個因素之間的關系也是隨機變化的。因此在描述樹木生長過程時，把林木在某一特定時間的累計生長量當作隨機變量，把林木生長過程視為一個隨機過程來進行描述，以斯洛波達（Sloboda）生長模型為基礎，來研究林木生長過程，構建林木的生長模型，揭示林木的生長規律。隨機過程理論方法的應用為林木生長過程的研究提供新的理論基礎，構建孟宗竹筍期生長的隨機過程模型，對解釋毛竹超強固碳功能，編制毛竹生長過程表，指導毛竹生產實踐及預估毛竹林的生長提供理論依據。
參考資料 >