矩陣，是一種數(shù)學(xué)術(shù)語，也是高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，常見于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在數(shù)學(xué)中，矩陣（Matrix）是一個(gè)按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。這一概念由19世紀(jì)英國數(shù)學(xué)家凱利首先提出。
矩陣通常用大寫字母表示，如。矩陣中的元素用小寫字母表示，如，其中，分別表示元素所在的行和列。矩陣數(shù)學(xué)形式如下
常見的矩陣有行向量、列向量、零矩陣、方陣、單位陣等。矩陣的基本運(yùn)算有線性運(yùn)算（矩陣加減和數(shù)乘）、矩陣乘法、轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置、方陣的冪運(yùn)算、行列式運(yùn)算、伴隨運(yùn)算，逆運(yùn)算等。與矩陣相關(guān)的概念有秩，特征值、奇異值、跡、范數(shù)等。
單位矩陣經(jīng)過一次初等變換后變成初等矩陣。通過初等變換還可以求方陣逆矩陣，求解線性方程組等。矩陣間的關(guān)系有等價(jià)、合同、相似及正交相似。矩陣也可按一定方式分解為幾個(gè)矩陣相乘的形式，例如LU分解是將矩陣分解為下三角矩陣與上三角矩陣的乘積；奇異值分解是將矩陣分解為酉矩陣、對(duì)角矩陣和酉矩陣的乘積；還有QR分解、譜分解、滿秩分解等。對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。
矩陣在工程技術(shù)領(lǐng)域可用于多智能體研究、機(jī)器人學(xué)等；在物理學(xué)中用于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)、量子物理及解決物理模型的線性方程組問題；在計(jì)算機(jī)科學(xué)中用于三維動(dòng)畫制作和圖形處理；矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。在數(shù)學(xué)中可以解決數(shù)學(xué)建模相關(guān)問題；在經(jīng)濟(jì)管理中可以用于動(dòng)態(tài)規(guī)劃和數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)。
發(fā)展史
古代起源
矩陣的研究歷史悠久，拉丁方陣和幻方在史前年代已有人研究。矩陣最早來自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。
成書最早可追溯至東漢前期的《九章算術(shù)》用分離系數(shù)法表示線性方程組，得到其增廣矩陣。在消元過程中，使用的把某行乘以某一非零實(shí)數(shù)、從某行中減去另一行等運(yùn)算技巧，相當(dāng)于矩陣的初等變換。雖然它與現(xiàn)有的矩陣形式上相同，但在當(dāng)時(shí)該方法僅作為線性方程組的標(biāo)準(zhǔn)表示與處理方式。
近代概念
1801年德國約翰·卡爾·弗里德里希·高斯（F.Gauss，1777~1855）把一個(gè)線性變換的全部系數(shù)作為一個(gè)整體。1844年，德國數(shù)學(xué)家愛森斯坦（F.Eisenstein，1823~1852）討論了“變換”（矩陣）及其乘積。1850年，英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特（James Joseph Sylvester，18414-1897）首先使用矩陣一詞。
邏輯上，矩陣的概念先于行列式，但在實(shí)際的歷史中恰好相反。日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和（1683年）與微積分的發(fā)現(xiàn)者之一戈特弗里德·萊布尼茨（1693年）近乎同時(shí)地獨(dú)立建立了行列式理論。其后行列式作為解線性方程組的工具逐步發(fā)展。1750年，加百列·克萊姆發(fā)現(xiàn)了克萊姆法則。
1854年，法國數(shù)學(xué)家埃米爾特（C.Hermite，1822~1901）使用了“正交矩陣”這一術(shù)語，但它的正式定義直到1878年才由德國數(shù)學(xué)家費(fèi)羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius，1849~1917）發(fā)表。
1858年，英國數(shù)學(xué)家凱萊（A.Gayley，1821~1895）發(fā)表《關(guān)于矩陣?yán)碚摰难芯繄?bào)告》。他首先將矩陣作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)對(duì)象加以研究，因而被認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，同時(shí)給出了現(xiàn)在通用的一系列定義，如兩矩陣相等、零矩陣、單位矩陣、兩矩陣的和、一個(gè)數(shù)與一個(gè)矩陣的數(shù)量積、兩個(gè)矩陣的積、矩陣的逆、轉(zhuǎn)置矩陣等。并且凱萊還注意到矩陣的乘法是可結(jié)合的，但一般不可交換，且矩陣只能用矩陣去右乘。凱萊還提出了凱萊-哈密爾頓定理，并驗(yàn)證了3×3矩陣的情況，又說進(jìn)一步的證明是不必要的。哈密爾頓證明了4×4矩陣的情況，而一般情況下的證明是德國數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯（F.G.Frohenius）于1898年給出的。
1879年，費(fèi)羅貝尼烏斯引入矩陣秩的概念。至此，矩陣的體系基本建立。無限維矩陣的研究始于1884年。龐加萊在兩篇不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厥褂昧藷o限維矩陣和行列式理論的文章后開始了對(duì)這一方面的專門研究。1906年，希爾伯特引入無限二次型（相當(dāng)于無限維矩陣）對(duì)積分方程進(jìn)行研究，極大地促進(jìn)了無限維矩陣的研究。
中文命名
矩陣的概念最早于1922年見于中文。1922年，程廷熙在一篇介紹文章中將矩陣譯為“縱橫陣”。1925年，科學(xué)名詞審查會(huì)算學(xué)名詞審查組在《科學(xué)》第十卷第四期刊登的審定名詞表中，矩陣被翻譯為“矩陣式”，方塊矩陣翻譯為“方陣式”，而各類矩陣如“正交矩陣”、“伴隨矩陣”中的“矩陣”則被翻譯為“方陣”。
1935年，中國數(shù)學(xué)會(huì)審查后，中華民國教育部審定的《數(shù)學(xué)名詞》中，“矩陣”作為譯名首次出現(xiàn)。1938年，曹惠群在接受科學(xué)名詞審查會(huì)委托就數(shù)學(xué)名詞加以校訂的《算學(xué)名詞匯編》中，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)?shù)淖g名是“長方陣”。
中華人民共和國成立后編訂的《數(shù)學(xué)名詞》中，則將譯名定為“（矩）陣”。1993年，中國自然科學(xué)名詞審定委員會(huì)公布的《數(shù)學(xué)名詞》中，“矩陣”被定為正式譯名，并沿用至今。
基本概念
定義
矩陣是一組數(shù)字（或符號(hào)）按行和列排列形成的一個(gè)陣列。一般使用大寫字母（、、等）來表示。如果某個(gè)矩陣有行和列，那么這個(gè)矩陣被稱為 ""矩陣，可以有以下幾種表達(dá)方式：
式中，被稱為矩陣的元素，位于矩陣的第行第列。
矩陣還可表示為或。這里的稱為矩陣的型。若兩個(gè)矩陣有相同的行數(shù)和列數(shù)，則稱他們?yōu)?a href="/hebeideji/7839389771252662455.html">同型矩陣。若矩陣，同型且相同位置上的元素也都相同，則稱它們相等，記為。
設(shè)為一個(gè)矩陣，任取中的行（）和列（），將位于這些行列交叉處的數(shù)字按照原來的位置關(guān)系排成一個(gè)矩陣，這個(gè)矩陣稱為的型子矩陣。
根據(jù)矩陣中元素的屬性，把元素都是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，同樣可定義復(fù)矩陣、有理矩陣、數(shù)域上矩陣等，數(shù)域上全體矩陣記為。
常見矩陣
下面介紹一些常見的矩陣。
（1）行向量（矩陣）：只有1行和列的矩陣。
（2）列向量（矩陣）：只有1列和行的矩陣.
（3）零矩陣：元素都是零的矩陣，符號(hào)表示零矩陣，簡(jiǎn)記為。
（4）負(fù)矩陣：設(shè)，稱矩陣為的負(fù)矩陣，記作，即
（4）方陣：行數(shù)與列數(shù)相同的矩陣。矩陣稱為級(jí)（階）方陣。一個(gè)普通的數(shù)字可以被視為1階方陣。例如，3可以被認(rèn)為是方陣。階方陣可表示為：
式中，中元素稱為主對(duì)角線元，它們所在的直線稱為主對(duì)角線或?qū)蔷€；元素與的連線稱為副對(duì)角線。
（5）對(duì)角矩陣：主對(duì)角線外的元素都是0的方陣，簡(jiǎn)記為。
（6）單位矩陣：主對(duì)角線元素全是1，其他元素全為0的方陣，記為或。
（7）上三角矩陣：主對(duì)角線下方元素全為0的方陣。
（8）下三角矩陣：主對(duì)角線上方元素全為0的方陣。
分塊矩陣
對(duì)于較大型的矩陣，我們常用若干條橫線與豎線將它劃分為若干子矩陣，以這些子矩陣為元素（稱為塊元素）的形式矩陣稱為分塊矩陣。
矩陣的分塊是人為的，目的是便于運(yùn)算和討論。下面介紹常用的幾種矩陣分塊。
（1）設(shè)A是矩陣，按列、行分塊，分別可以表示為：
(2)設(shè)是級(jí)方陣，則可以表示為如下兩種分塊矩陣：
其中和分別為的右下方和左上方的級(jí)子矩陣。
矩陣的秩及相關(guān)矩陣
若矩陣的某一個(gè)階子式不等于零，而的所有階子式全為零，那么稱為的最高階非零子式，數(shù)稱為矩陣的秩，記作或。規(guī)定零矩陣的秩等于0。
與秩相關(guān)的矩陣如下：
（1）行滿秩矩陣：矩陣的秩等于其行數(shù)的矩陣。
（2）列滿秩矩陣：矩陣的秩等于其列數(shù)的矩陣。
（3）滿秩矩陣：若階矩陣的行列式，則的秩等于，稱其為滿秩矩陣。顯然滿秩矩陣就是可逆矩陣，也稱非奇異矩陣。
（4）降秩矩陣：若階矩陣的行列式，則的秩小于，稱其為降秩矩陣。顯然降秩矩陣就是不可逆矩陣，也稱奇異矩陣。
（5）行階梯矩陣：每一個(gè)非零行的非零首元都處于上一行非零首元右邊的矩陣。任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過若干次初等行變換化為行階梯矩陣。
（6）行最簡(jiǎn)矩陣：每一行的第一個(gè)非零元素為1且這個(gè)元素所在列的其他元素都是0的行階梯矩陣。任意一個(gè)矩陣總可以經(jīng)過若干次初等行變換化為行最簡(jiǎn)矩陣。
（7）標(biāo)準(zhǔn)型矩陣：把分塊矩陣的形式稱為標(biāo)準(zhǔn)型矩陣，任意秩為的矩陣總能夠經(jīng)過若干次初等變換（行變換和列變換）化為標(biāo)準(zhǔn)型。
特征值和特征向量
設(shè)是階方陣，若數(shù)和維非零列向量，使得成立，則稱是方陣的一個(gè)特征值，為方陣對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量；方陣的所有特征值的全體叫做的譜，特征值與特征向量能夠展現(xiàn)線性變換的深層特性。
設(shè)，為實(shí)數(shù)，則行列式
是關(guān)于的次多項(xiàng)式，稱為方陣的特征多項(xiàng)式，方陣稱為方陣的特征方程。矩陣的特征方程在復(fù)數(shù)域內(nèi)的個(gè)根就是的所有特征值。
矩陣全體特征值的和等于矩陣的跡，記作。
矩陣全體特征值的積等于矩陣的行列式，即。
奇異值
設(shè)矩陣，則矩陣是半正定的，因而特征值均為非負(fù)實(shí)數(shù)，可表示為
則稱為矩陣的奇異值。
范數(shù)
范數(shù)是具有“長度”概念的函數(shù)。在泛函分析中，常被用來度量向量空間或矩陣中每個(gè)向量的大小或長度。矩陣的范數(shù)主要包括誘導(dǎo)范數(shù)、元素形式范數(shù)和Schatten范數(shù)。矩陣可以看作一個(gè)拉長的向量，如矩陣，將后面的每行依次接到前一行的結(jié)尾，就構(gòu)成一個(gè)拉長的維向量。
設(shè)為的矩陣，則其范數(shù)記作，它是矩陣的實(shí)值函數(shù)。下面介紹幾種典型的矩陣范數(shù)。
（1）行和范數(shù)。
（2）列和范數(shù)。
（3）1-范數(shù)。
（4）（）范數(shù)，該范數(shù)也稱為2-范數(shù)。
（5）-范數(shù)
基本運(yùn)算
矩陣的基本運(yùn)算包括矩陣的線性運(yùn)算（加法和數(shù)乘）、乘法、轉(zhuǎn)置及共軛轉(zhuǎn)置、冪運(yùn)算、行列式運(yùn)算、伴隨運(yùn)算和逆運(yùn)算等。
線性運(yùn)算
矩陣的加減法與矩陣的數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算。
（1）矩陣的加法：設(shè)有兩個(gè)矩陣、，那么矩陣與的和記作，也可以記作，規(guī)定
根據(jù)負(fù)矩陣的概念，定義兩個(gè)矩陣與的差。需要注意，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，這兩個(gè)矩陣才能求和或差。矩陣的加法滿足下列運(yùn)算律（A，B，C都是同型矩陣）：
設(shè)為同型矩陣，則加法運(yùn)算公式為
，
（2）矩陣的數(shù)乘：設(shè)矩陣，規(guī)定數(shù)與的乘積為矩陣，記作或，即
設(shè)為同型矩陣，為數(shù)，則數(shù)乘運(yùn)算公式為
，，
矩陣乘法
設(shè)矩陣表示為矩陣與的乘積，則記作。一般的，當(dāng)左邊矩陣的列數(shù)與右邊矩陣的行數(shù)相同時(shí)，兩矩陣才能相乘，乘積的行數(shù)等于矩陣的行數(shù)，其列數(shù)等于矩陣的列數(shù)。所以記號(hào)常讀作左乘或者右乘。具體乘法法則如下。
（1）矩陣與矩陣的乘積：設(shè)矩陣，，則矩陣與的乘積的元素為矩陣的第行與矩陣的第列的乘積，即
（2）行矩陣與列矩陣的乘積：該乘積是矩陣與矩陣乘積的特例，結(jié)果是一個(gè)1階方陣，只有一個(gè)元素，此時(shí)習(xí)慣省略括弧。設(shè)行矩陣，列矩陣，按照矩陣與矩陣的乘積規(guī)則得
行列向量乘積示例如下：
設(shè)為矩陣，k為數(shù)，則乘法運(yùn)算公式為
，，，
矩陣轉(zhuǎn)置
把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到一個(gè)新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作（或）。即若
則
根據(jù)轉(zhuǎn)置定義可知，列向量可以由行向量表示，即
設(shè)為矩陣，為數(shù)，則轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律為
，，，，
共軛轉(zhuǎn)置
當(dāng)為復(fù)矩陣時(shí)，用表示的共軛復(fù)數(shù)，記。稱為的共軛矩陣。
把一個(gè)復(fù)數(shù)矩陣的各元素改為其共軛復(fù)數(shù)并作轉(zhuǎn)置，所得矩陣稱為A的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，記作，即
式中的上劃線表示取共軛。復(fù)數(shù)矩陣的共軛轉(zhuǎn)置可視為實(shí)數(shù)矩陣轉(zhuǎn)置的推廣。
方陣求冪
設(shè)是階方陣，根據(jù)矩陣乘法法則有
其中為正整數(shù)，即等于個(gè)連乘。顯然，只有方陣的冪才有意義。
設(shè)為階方陣，為階單位矩陣，為實(shí)數(shù)，則有
（矩陣的“二項(xiàng)式”定理）
除此之外，方陣求冪還有以下公式
，，
設(shè)為矩陣，為矩陣，則有
方陣行列式
由階方陣的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣的行列式，記作或。行列式的計(jì)算結(jié)果為一個(gè)數(shù)字或符號(hào)，可采用降階法或性質(zhì)變換法求得。這里重點(diǎn)講述降階法。
降階法運(yùn)用了代數(shù)余子式的知識(shí)。行列式（表達(dá)式詳見”代數(shù)余子式”小節(jié)）等于它的任一行各元素分別與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和。即對(duì)于一個(gè)階行列式
劃去元素所在的第行與第列，剩下個(gè)元素按原來的排法構(gòu)成一個(gè)階行列式：
稱為元素在中的余子式，記為。
令，稱為元素的代數(shù)余子式。則
行列式也可以按列降階，即
使用這個(gè)法則可以將高階行列式運(yùn)算化為低階行列式運(yùn)算，最終取得運(yùn)算結(jié)果。
例如三階行列式可通過降階法由二階行列式表示為
方陣伴隨矩陣
階方陣的伴隨矩陣為
其中，是行列式中元素的代數(shù)余子式。需要注意，行列式第行第列元素的代數(shù)余子式放在伴隨矩陣的第行第列上。
方陣求逆
設(shè)A為階方陣，如果存在階方陣，使得，則稱是可逆矩陣，且為的逆矩陣，記作，即。求逆矩陣的方法有初等變換法和伴隨矩陣法等。這里主要介紹伴隨矩陣法。
方陣可逆的充要條件是，由此可求得
設(shè)為可逆矩陣，則可逆矩陣運(yùn)算公式為
，，
特殊矩陣
酉矩陣
復(fù)數(shù)域上的方陣滿足，則稱是酉矩陣，其中表示以的元素的共軛復(fù)數(shù)作元素的矩陣，而實(shí)際為的共軛轉(zhuǎn)置矩陣，所以酉矩陣可看作復(fù)數(shù)域內(nèi)推廣的可逆矩陣。
對(duì)稱矩陣
若階矩陣中的元素滿足條件，即，則稱為階對(duì)稱矩陣。
若矩陣滿足那么稱為反對(duì)稱矩陣或斜對(duì)稱矩陣。
正交矩陣
對(duì)于所有元素都是實(shí)數(shù)的方陣，如果滿足等于單位矩陣，那么被稱作正交矩陣。實(shí)數(shù)是復(fù)數(shù)的子集，所以所有正交矩陣都是酉矩陣。
正定矩陣
設(shè)是階對(duì)稱矩陣，若對(duì)任意維非零向量，有，則稱為正定矩陣，記為。
若對(duì)任意維向量，有，則稱為非負(fù)定矩陣（半正定矩陣），記為。
設(shè)是階對(duì)稱矩陣，則是正定（非負(fù)定）矩陣的充要條件是的所有特征值為正（非負(fù)）。
正規(guī)矩陣
設(shè)矩陣滿足，則稱其為正規(guī)矩陣。
容易驗(yàn)證，對(duì)角矩陣、酉矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣及正交矩陣等都是正規(guī)矩陣。
稀疏矩陣
稀疏矩陣沒有嚴(yán)格定義，一般認(rèn)為矩陣中0元素的個(gè)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量即可將其定義為稀疏矩陣。
稀疏矩陣廣泛應(yīng)用于各類科學(xué)計(jì)算和工程應(yīng)用的問題建模與數(shù)值求解。
雅可比矩陣
雅可比矩陣常用于機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)，也可應(yīng)用于群體生物學(xué)。對(duì)非線性微分方程系統(tǒng)的每個(gè)微分方程的因變量求偏導(dǎo)數(shù)，然后把因變量的均衡值代入這些表達(dá)式，即可得到雅可比矩陣。例如，兩個(gè)因變量的兩個(gè)微分方程組成的系統(tǒng)的雅可比矩陣為
初等變換
定義
初等變換包括初等行變換和初等列變換，二者本質(zhì)原理相同。初等行（列）變換的三種具體變換如下：
（1）交換第、兩行（列）的位置，記作。
（2）以非零數(shù)乘第行（列），記作。
（3）把第行（列）的倍加到第行（列）上，記作。
與三種變換相關(guān)的名詞如下：
行等價(jià)：若，則稱與行等價(jià)。
列等價(jià)：若，則稱與列等價(jià)。
等價(jià)：若，則稱與等價(jià)。
等價(jià)具有傳遞性，若與等價(jià)，且與等價(jià)，則與等價(jià)。
初等矩陣
由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣（初等方陣）。初等矩陣的逆矩陣依然是初等矩陣，初等矩陣的次方依然是初等矩陣：
（行交換）
（行倍乘）
（行倍加）
對(duì)施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。對(duì)施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的初等矩陣。
初等變換求秩
初等變換不改變矩陣的秩，所以可以通過初等變換將一般的矩陣變換成行（列）階梯矩陣，所得非零行行數(shù)即為原矩陣的秩。
如矩陣：
經(jīng)初等行變換后的行階梯矩陣：
矩陣非零行行數(shù)為2，所以的秩為2，即。
初等變換求逆
可以用初等行變換求矩陣的逆矩陣。具體方法是：把階矩陣和階單位矩陣放在同一個(gè)矩陣中，即增廣矩陣，然后對(duì)其進(jìn)行初等行變換：
當(dāng)把矩陣變成單位矩陣時(shí)，矩陣就是。
線性方程組的解
因?yàn)?a href="/hebeideji/7213300850549702716.html">一次函數(shù)為線性函數(shù)，所以稱元一次方程組為元線性方程組，簡(jiǎn)稱線性方程組，可寫作，即
其中稱為系數(shù)矩陣，稱為未知量矩陣，稱為常數(shù)項(xiàng)矩陣，矩陣稱為方程組的增廣矩陣。
當(dāng)常數(shù)項(xiàng)矩陣全為零（）時(shí)，該方程組稱為齊次線性方程組；不全為零時(shí)稱為非齊次線性方程組或一般線性方程組。
通過初等變換可以求解線性方程組，線性方程組解的判定定理如下。
（1）無解的充要條件是。
（2）有唯一解的充要條件是。
（3）有無窮多解的充要條件是。
線性方程組的通解包括基礎(chǔ)解系和通解。
矩陣關(guān)系
等價(jià)
若矩陣經(jīng)過一系列初等變換化成矩陣，與必是同型的，稱矩陣與等價(jià)。
對(duì)任何一個(gè)矩陣，均可以經(jīng)過一系列初等行變換化成行階梯矩陣，或再經(jīng)過一系列初等行變換化成行最簡(jiǎn)矩陣，即任何一個(gè)矩陣都行等價(jià)于一個(gè)行最簡(jiǎn)矩陣，而且后者是唯一的。
合同
設(shè)為階矩陣，如果存在可逆矩陣，使，則稱與是合同的，記為。
矩陣合同也是一種等價(jià)關(guān)系，具有以下性質(zhì)：
（1）自反性。對(duì)任意階矩陣，有。
（2）對(duì)稱性。若，則。
（3）傳遞性。若，，則。
相似
設(shè)都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱是的相似矩陣，或說矩陣與相似，對(duì)進(jìn)行運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣。
矩陣相似也是一種等價(jià)關(guān)系，相似與合同無必然聯(lián)系。
相似矩陣具有相同的特征值。
正交相似
設(shè)，若存在正交方陣，使得，則稱與正交相似。
顯然，正交相似的矩陣必然等價(jià)、合同且相似。
矩陣分解
將矩陣分解為比較簡(jiǎn)單的或具有某種特性的若干矩陣的和或乘積，即為矩陣的分解。下面介紹幾種常見的分解類型。
LU分解
設(shè),若可以表示成一個(gè)下三角矩陣與一個(gè)上三角矩陣的乘積，則稱為矩陣的分解（三角分解）。
QR分解
設(shè)且,則必存在非奇異上三角矩陣及矩陣，使得。
秩分解
設(shè)是復(fù)矩陣，，則必存在秩為的兩個(gè)矩陣，，使得。
奇異值分解
矩陣的奇異值分解公式為M=UΣV，其中U是m×m階酉矩陣；Σ是m×n階實(shí)數(shù)對(duì)角矩陣；V是n×n階酉矩陣。設(shè)是的非零奇異值，則存在階酉矩陣及階酉矩陣，矩陣，使得，稱為矩陣的奇異值分解。
譜分解
譜分解是將矩陣分解為由其特征值和特征向量表示的矩陣之積的方法。需要注意只有對(duì)可對(duì)角化矩陣才可以施以特征分解。設(shè)矩陣是階正規(guī)矩陣，則存在酉矩陣，使得，將矩陣進(jìn)行列分塊，即，則
令，則為矩陣的譜分解。
應(yīng)用舉例
矩陣是將重要信息數(shù)據(jù)摘錄下來的一個(gè)數(shù)表,可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行各種變換,得到一個(gè)新的矩陣,從而通過代數(shù)的方法進(jìn)行研究,對(duì)復(fù)雜和抽象化的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化,看清問題的本質(zhì),得出一些需要的結(jié)論,因此在很多實(shí)際應(yīng)用中都滲透了矩陣?yán)碚摗?/p>
工程技術(shù)
矩陣?yán)碚摻?jīng)過兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，已廣泛應(yīng)用于控制理論與控制工程、計(jì)算機(jī)軟件與理論、電力系統(tǒng)及其自動(dòng)化、電路與系統(tǒng)、信號(hào)與信息處理等工程技術(shù)領(lǐng)域。
在機(jī)器學(xué)習(xí)領(lǐng)域，拉普拉斯矩陣可應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)社區(qū)檢測(cè)，矩陣SVD分解也可應(yīng)用于圖像壓縮。
在油氣勘測(cè)、天氣預(yù)報(bào)、飛行器設(shè)計(jì)、電路分析、圖像分析、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域，稀疏矩陣可作為問題建模與數(shù)值求解的重要工具。
在多智能體的研究中，鄰接矩陣可表示智能體間的連接關(guān)系。
在控制理論中，線性系統(tǒng)的描述和解需要借助矩陣進(jìn)行表示。
在機(jī)器人學(xué)中，雅可比矩陣可用于描述關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)速度。
在機(jī)器視覺領(lǐng)域，灰度-梯度共生矩陣可用于提取圖像信息。
自然科學(xué)
利用矩陣的初等變換原理可以求解由實(shí)際問題產(chǎn)生的線性方程組，如密碼的破譯問題、交通流問題、化學(xué)方程式的配平、電路問題、網(wǎng)絡(luò)流問題等。
矩陣具有一定的幾何意義，如縮放矩陣和旋轉(zhuǎn)矩陣可以使圖形變換；應(yīng)用矩陣行列式的幾何意義可以簡(jiǎn)化空間圖形的解析過程等。
在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無窮維的矩陣（是矩陣的一種推廣），無限維矩陣可作為研究函數(shù)空間算子的有力工具。無限矩陣發(fā)生在行星理論和原子理論中。無限矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是代表一個(gè)函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)的導(dǎo)數(shù)算子的矩陣。
矩陣在數(shù)學(xué)建模分析中同樣起著重要作用。
經(jīng)濟(jì)管理
稀疏矩陣可以作為線性規(guī)劃問題的約束條件，應(yīng)用于軍事作戰(zhàn)，經(jīng)濟(jì)分析等。
企業(yè)運(yùn)用矩陣工具可以建立實(shí)際高效的理論模型，可以進(jìn)行動(dòng)態(tài)規(guī)劃及數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)計(jì)算等，為企業(yè)的決策作數(shù)據(jù)理論支撐。
參考資料 >
矩陣.術(shù)語在線.2023-08-05
矩陣與數(shù)值分析.超新網(wǎng).2023-08-05