在向量分析中，雅可比矩陣（也稱作Jacobi矩陣，英語：Jacobian matrix）是函數的一階偏導數以一定方式排列成的矩陣。當其為方形矩陣時，其行列式稱為卡爾·雅可比行列式（Jacobi determinant）。雅可比矩陣的重要性在于，如果函數 f : ?n → ?m 在點 x 可微的話，在點 x 的雅可比矩陣即為該函數在該點的最佳線性逼近，也代表雅可比矩陣是單變數實數函數的導數在向量值多變數函數的推廣。在代數幾何中，代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個代數群，曲線可以嵌入其中。它們全部都以普魯士數學家卡爾·雅可比命名。
基本定義
假設某函數從 f : ?n → ?m，從 x ∈ ?n 映射到向量 f(x) ∈ ?m，其雅可比矩陣是一 m×n 的矩陣，也就是從 ?n 到 ?m 的線性映射，表現了一個多變數向量函數的最佳線性逼近。雅可比矩陣的第 i 行是由函數 f_i 的梯度函數所表示的，1 ≤ i ≤ m。如果 p 是 ?n 中的一點，f 在 p 點可導數，根據數學分析，J_f(p) 是在這點的導數。在此情況下，J_f(p) 這個線性映射即 f 在點 p 附近的最優線性逼近，也就是說當 x 足夠靠近點 p 時，我們有 f(x) ≈ f(p) + J_f(p) ? (x - p)。
在向量微積分中，卡爾·雅可比矩陣是一階偏導數以一定方式排列成的矩陣，其行列式稱為雅可比行列式。
還有，在代數幾何中，代數曲線的雅可比量表示雅可比簇：伴隨該曲線的一個群簇，曲線可以嵌入其中。
它們全部都以數學家雅可比命名；英文雅可比量"Jacobian"可以發音為[ja ?ko bi ?n]或者[?? ?ko bi ?n]。
雅可比矩陣的重要性在于它體現了一個可微方程與給出點的最優線性逼近。因此，雅可比矩陣類似于多元函數的導數。
下：
MATLAB
MATLAB中jacobian是用來計算Jacobi矩陣的函數。
matlab
SYMS r l f
x=r*cos(l)*cos(f);
y=r*cos(l)*sin(f);
z=r*sin(l);
J=jacobian([x;y;z],[r l f])
結果：
J =
[ cos(l)*cos(f), -r*sin(l)*cos(f), -r*cos(l)*sin(f)]
[ cos(l)*sin(f), -r*sin(l)*sin(f), r*cos(l)*cos(f)]
[ sin(l), r*cos(l), 0 ]
面積元
關于這個的一般性證明稍微復雜點，現在就給你證明為什么二維的成立
,那么這個曲邊四邊形ABCD可以近似看成是微小向量和張成的。利用中值定理可知：
這里的M，N是偏導數的形式，不好打出，你可以自己算出來，很簡單的。
當變化量很小時，我們把近似看成，看成，所以，
而其中的M*N剛好就是二維Jacobi行列式的展開形式。
由此問題得證。
動力系統
考慮形為 x' = F(x) 的動力系統，F: ?^n → ?^n。如果 F(x_0) = 0，那么 x_0 是一個臨界點。系統接近臨界點時的行為跟 J_F(x_0) 的特征值相關。
雅可比行列式
如果 m = n，那么 F 是從 ?n 映射到 ?n 的函數，且它的雅可比矩陣是一個方陣。于是我們可以取它的行列式，稱為雅可比行列式。在某個給定點的雅可比行列式提供了 F 在接近該點時的表現的重要信息。例如，如果連續可微函數 F 在 p 點的雅可比行列式不等于零，那么它在該點附近有 F 的反函數。這稱為反函數定理。更進一步，如果 p 點的雅可比行列式是正數，則 F 在 p 點保持定向；如果是負數，則 F 逆轉定向。而從卡爾·雅可比行列式的絕對值，就可以知道函數 F 在 p 點附近是放大或縮小體積；這就是它出現在換元積分法中的原因。
逆矩陣
根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 F: ?^n → ?^n 在點 p ∈ ?^n 的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 F 在點 p 的某一鄰域內也是可逆的，且有 J_F^(-1) ° f = J_F^(-1) 成立。相反，倘若卡爾·雅可比行列式在某一個點不為零，那么該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。一個多項式函數的可逆性與未經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當于其不存在復零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。
參考資料 >