三角矩陣是方形矩陣的一種，因其非零系數的排列呈三角形狀而得名。三角矩陣分上三角矩陣和下三角矩陣兩種。上三角矩陣的對角線左下方的系數全部為零，下三角矩陣的對角線右上方的系數全部為零。三角矩陣可以看做是一般方陣的一種簡化情形。比如，由于帶三角矩陣的矩陣方程容易求解，在解多元線性方程組時，總是將其系數矩陣通過初等變換化為三角矩陣來求解；又如三角矩陣的行列式就是其對角線上元素的乘積，很容易計算。有鑒于此，在數值分析等分支中三角矩陣十分重要。一個所有順序主子式不為零的可逆矩陣A可以通過LU分解變成一個單位下三角矩陣L與一個上三角矩陣U的乘積。
性質
三角矩陣的性質包括：
- 一個同時是上三角矩陣和下三角矩陣的矩陣必然是對角矩陣。
- 單位矩陣是唯一同時為單位上三角矩陣和單位下三角矩陣的矩陣。
- 上三角矩陣的轉置矩陣是下三角矩陣，反之亦然。
- 三角矩陣的行列式等于其對角線上所有元素之乘積。
- 對于三角矩陣A，其特征多項式{\displaystyle xI-A}也是三角矩陣。
- 三角矩陣的對角線元素的集合實際上是它的特征值的集合（其重數為在特征多項式中的重數）。
分類
以主對角線劃分，三角矩陣有上三角矩陣和下三角矩陣兩種。
①上三角矩陣
它的主對角線以下(不包括主對角線)的元素均為常數0。
②下三角矩陣
與上三角矩陣相反，它的主對角線上方均為常數0。
特殊的三角矩陣
嚴格三角矩陣
一個上（下）三角矩陣是嚴格上（下）三角矩陣當且僅當其主對角線上的系數都為零。所有的嚴格上（下）三角矩陣也形成一個子代數。所有的嚴格三角矩陣都是冪零矩陣。
單位三角矩陣
一個上（下）三角矩陣是單位上（下）三角矩陣當且僅當其主對角線上的系數都為1。單位三角矩陣都是幺冪矩陣。
高斯矩陣
高斯矩陣是單位三角矩陣中的一種，除了一列的系數以外，其他系數都是零。這類矩陣是高斯消去法中基本操作的矩陣體現，因此也叫做基元矩陣或高斯變換矩陣。高斯矩陣的逆仍然是高斯矩陣，即是說一個高斯矩陣的逆是將其非對角線上元素加上負號后得到的矩陣。
參考資料 >