乘法（multiplication），是一種數學術語。它是指一個數或量，增加了多少倍。其中，相同的加數叫做被乘數，加數的個數叫做乘數，乘的結果叫做積。被乘數和乘數又稱積的因數。中國古代把被乘數稱“實數”，把乘數稱“法數”。乘法公式中，“×”就是乘號。兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。乘法的定律有交換律、結合律和分配律。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導致的質變結果。
任何乘法運算理論體系都基于“小九九”運算口訣。“九九乘法口訣”是中國人在春秋戰國時期發明的，距今有近2300年的歷史。628年，印度數學家、天文學家婆羅摩笈多發明了乘法豎式運算方法理論體系，為后人乘法運算做出了巨大貢獻，他的豎式乘法運算體系至今仍得到應用。1150年，印度數學家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書中發明了格子乘法運算理論，12世紀以后廣泛流傳于阿拉伯地區，后來通過阿拉伯人傳入歐洲，并很快在歐洲流行。這種方法后來傳入中國，中國明朝數學家程大位在《算法統宗》一書中把它稱為“鋪地錦”。
概念
乘法是算術中最簡單的運算之一，是指一個數或量，增加了多少倍。
來源
乘法來自于整數的乘法運算。任何乘法運算理論體系都基于“小九九”運算口訣。“九九乘法口訣”是中國人在春秋戰國時期發明的。628年，印度數學家、天文學家婆羅摩笈多發明了乘法豎式運算方法理論體系，為后人乘法運算做出了巨大貢獻，他的豎式乘法運算體系至今仍得到應用。1150年，印度數學家婆什迦羅的《麗羅娃提》一書中發明了格子乘法運算理論，12世紀以后廣泛流傳于阿拉伯地區，后來通過阿拉伯人傳入歐洲，并很快在歐洲流行。這種方法后來傳入中國，中國明朝數學家程大位在《算法統宗》一書中把它稱為“鋪地錦”。
乘法口訣是中國古代籌算中進行乘法、除法、開方等運算的基本計算規則。古時的乘法口訣，是自上而下，從“九九八十一”開始，至“一一如一”止，與現在使用的順序相反，因此古人用乘法口訣開始的兩個字“九九”作為此口訣的名稱，又稱九九表、九九歌、九因歌、九九乘法表。
中國使用“九九口訣”的時間較早。在《荀子》《管子》《淮南子》《戰國策》等書中就能找到“三九二十七”“六八四十八”“四八三十二”“六六三十六”等句子。由此可見，早在“春秋”“戰國”的時候，《九九乘法歌訣》就已經開始流行了。西方文明古國希臘和巴比倫，也發明了乘法表，不過比起九九表復雜些。巴比倫發明的希臘乘法表有一千七百多項，而且不夠完全。由于在13世紀之前他們計算乘法、除法十分辛苦，所以能夠除一個大數的人，會被人們視為數學專家。
13世紀之初，東方的計算方法通過阿拉伯人傳入歐洲，歐洲人發現了它的方便之處，所以學習這個新方法。這是當時大學的教材。
乘法算式中各數的名稱
相同的加數叫做被乘數，加數的個數叫做乘數，乘的結果叫做積。被乘數和乘數又稱積的因數。中國古代把被乘數稱“實數”，把乘數稱“法數”。乘法公式中，“×”就是乘號，乘號前面和后面的數叫做因數，“=”是等于號，等于號后面的數叫做積。10（因數）×（乘號）200（因數）=（等于號）2000（積）。乘法在讀的時候只說“乘”不說“乘以”。
實數乘法法則
兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。
運算定律
整數的乘法運算滿足：交換律，結合律，分配律，消去律。隨著數學的發展，運算的對象從整數發展為更一般群。群中的乘法運算不再要求滿足交換律。最有名的非交換例子，就是哈密頓發現的四元數群。但是結合律仍然滿足。
乘法算法
中國
在中國古代的時候利用算籌來進行乘法計算。算籌乘法分為三層：上位是被乘數，中位是積，下位是乘數。先由乘數的最大一位去乘被乘數，乘完后去掉這位的算籌，再用第二位數去乘，兩次之積對應位上的數相加，直到乘完為止。計算的層次其實就是把多位數變為用單位數去乘多位數，乘一位加一位，基本原理與現在通用的筆算乘法是完全一樣的，只是使用乘數的次序與現在的作法卻是相反的。
古埃及
古埃及人知道如何進行較大數字之間的乘法運算。他們使用了一種被稱為“逐次翻倍”的方法。書吏會在石板的第一列依次寫出2的冪（1，2，4，8，16，…）。在第二列，則逐次將另一個乘數翻倍。21×16*是這樣計算的：書吏會從第一列中挑出一些數，這些數的總和正好是21，然后再將這些數后面對應的第二列中的數加在一起，得到最終的結果。16+64+256的總和是336，這就是最終答案。
古巴比倫
六十進制的使用為古巴比倫數學的乘法運算發展帶來了很大的障礙，因為如果要背乘法口訣表的話，至少也得背一千多項。所以古巴比倫人利用表格代替乘法口訣表。這些計算有關的表格可能用于學習時的背誦，也可能用于實際的換算或計算，是古巴比倫人計算的重要輔助工具。
60的2分之一等于30；其3分之一等于20；其4分之一等于15；其5分之一等于12；其6分之一等于10；其7又1/2分之一等于8；其8分之一等于7又30；其10減1分之一等于6又40；其12分之一等于5……由于巴比倫采用六十進制，這樣的一個列表相當于倒數表。實際應用這些表格進行計算時是帶計量單位的，這些六十進制數字本身沒有絕對位值，也就是說乘積等于60的任何冪次的兩個數就互為倒數。如第一行“60的2分之一等于30”，則2與30互為倒數，因2×30=60。古巴比倫的倒數表里所有的數都是精確的小數，在六十進制中都是有限小數。需要計算乘法時，古巴比倫人就去查詢表格從而得到結果，通過大量背誦和記錄來避免乘法計算是古巴比倫的方法。
其他
到中世紀的時候，印度流行幾種實用而且有趣的乘法。十字相乘法是其中一種，印度人稱之為閃電似的乘法。1494年，意大利數學家巴切利介紹了八種乘法。第一種乘法與現在通用的筆算乘法完全一致，而第六種就是方格乘法。此方法大約在15世紀的時候傳入到中國，因為其圖形有如織錦，所以就稱它為鋪地錦。
乘法還有巧算，比如：12×15=12×10+5×10+2×5。
乘法表
九九表一般只用一到九這九個數字，包含乘法的可交換性，因此只需要八九七十二，不需要“九八七十二”。《九九乘法表》從春秋戰國時期就用在籌算中運算，到明代則改良并用在算盤上。九九表也是小學算術的基本功。
發展
在各種文明的算術發展過程中，乘法運算的產生是很重要的一步。一個文明可以比較順利地發展出計數方法和加減法運算，但要想創造一套簡單可行的乘法運算方法卻不那么容易。我們目前使用的乘法豎式計算看似簡便，實際上這需要我們事先掌握九九乘法口訣表；考慮到這一點，這種豎式計算并不是完美的。其實，在數學的發展過程中，不同的文明創造出了不同的乘法運算方法，其中有的運算法甚至可以完全拋棄乘法表。
古埃及數學使用了完全不同的乘法運算法。他們的乘法運算不需要借助任何輔助用表。因此，你需要做的僅僅是不斷將1和乘數進行翻倍。古埃及人計算46乘8的方法見下圖。
上面的演算中，左列是1不斷翻倍的結果，右邊是8不斷翻倍的結果。選出左列的2、4、8、32，它們的和正好就是被乘數46；那么把右列對應的數加起來就是乘法運算的最終結果。至于如何選出2、4、8、32這四個數，一個簡單的方法就是，不斷選出左列里小于被乘數的數中最大的一個，然后用當前被乘數減去它。比如，32是最大的數，用46-32后剩14；8是小于14的最大數，14-8后剩6；然后最大的小于6的數是4，6減去4后剩2，這樣下來2+4+8+32正好就是被乘數46了。
按照這樣的方法，即使你還不知道如何計算兩位數乘兩位數，也可以算出它們的結果。以38×17為例：
同樣地，我們只需要選取左邊的2、4、32三個數字，它們的和就是38，我們把這三個數字對應的右列數字加起來，就得到了結果646。你可以拿計算器驗證一下，這個結果是完全正確的。
據說俄羅斯農村曾產生過這樣一種乘法算術法：將被乘數逐次減半（結果向下取整），同時乘數依次加倍，那么找出所有左邊的數是奇數的行，其右列的數的和就是答案。例如，下面的例子中，23、11、5和1都是奇數，于是右邊對應的14、28、56和224的和就是乘法運算的結果。這個做法與古埃及的算術法完全一樣，但看起來似乎更神奇一些。
意義
比如說4乘5，也就是4增加了5倍率，也可以說成5個4連加。它是指求幾個相同的數連加的簡便算法，用連加的次數來乘被加數，是除法的逆運算（如6連加5次，就用5來乘6）。從哲學角度解析，乘法是加法的量變導致的質變結果。
乘法原理：如果因變量（f）與自變量（x1，x2，x3，?,xn?）之間存在直接正比關系并且每個自變量存在質的不同，缺少任何一個自變量均導致因變量（f）失去其意義。加法原理：加法原理：如果因變量（f）與自變量（z1，z2，z3，?,zn?）之間存在直接正比關系并且每個自變量存在相同的質，缺少任何一個自變量均不能導致因變量（f）失去其意義。以上所說的質是按照自變量的作用來劃分的。此原理是邏輯乘法和邏輯加法的定量表述。
相關知識
乘法的其他說法
如果在群上再裝備另一種乘法，那么就發展成為“環”，兩種乘法中的一種可以視為傳統意義上的加法，所以要求要滿足分配律和交換律；可是另外一種“乘法”卻不要求交換律。在環里面，我們不再要求消去律成立。如果這個環有消去律的話，就稱其為整環。但是對于環來說，不一定有“除法”的概念。如果環有除法的話，就叫做“域”。域是最接近我們平時所說的有理數集合的東西。可是它包含了更多的信息。
不滿足結合律的乘法
開始時乘法中的這些代數對象的乘法都滿足結合律。可事實上，數學發展到后來，產生了一些不滿足于結合律的乘法。最經典的就是所謂的李（Lie）括號。
參考資料 >