幾何平均數(shù)是一種均值，用于指示一組數(shù)字的集中趨勢或典型值。它是通過取n個(gè)變量值的連乘積的n次方根來計(jì)算的。幾何平均數(shù)適用于正數(shù)，尤其適合于具有指數(shù)性質(zhì)的數(shù)據(jù)，如人口增長或金融投資的利率。它也是三個(gè)最經(jīng)典的畢達(dá)哥拉斯平均數(shù)之一，與算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)一起構(gòu)成。
定義
幾何平均數(shù)是n個(gè)變量值連乘積的n次方根。
分為簡單幾何平均數(shù)與加權(quán)幾何平均數(shù)。
1、簡單幾何平均數(shù)：
2、加權(quán)幾何平均數(shù)：
特點(diǎn)
1. 幾何平均數(shù)受極端值的影響較算術(shù)平均數(shù)小。
2. 如果變量值有負(fù)值，計(jì)算出的幾何平均數(shù)就會(huì)成為負(fù)數(shù)或虛數(shù)。
3. 它僅適用于具有等比或近似等比關(guān)系的數(shù)據(jù)。
4. 幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)是各變量值對(duì)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。
應(yīng)用
例：假定某地儲(chǔ)蓄年利率（按復(fù)利計(jì)算）：5%持續(xù)1.5年，3%持續(xù)2.5年，2.2%持續(xù)1年。求此5年內(nèi)該地平均儲(chǔ)蓄年利率。
解：由
得到該地平均儲(chǔ)蓄年利率：
幾何意義
我們知道算術(shù)平均數(shù)，不僅體現(xiàn)數(shù)字上的關(guān)系，而且體現(xiàn)將兩個(gè)線段的和作為一個(gè)線段，再將其平均分為相等的兩段；而稱為幾何平均數(shù)，這個(gè)也體現(xiàn)了一個(gè)幾何關(guān)系。
作一正方形，使其面積等于以a,b為長寬的矩形，則該正方形的邊長即為a、b的幾何平均數(shù)。
中國古代數(shù)學(xué)書中提到的矩形面積時(shí)往往用長寬的幾何平均數(shù)來表示。
主要用途
幾何平均數(shù)主要用于：
1. 對(duì)比率、指數(shù)等進(jìn)行平均。
2. 計(jì)算平均發(fā)展速度。
4. 連續(xù)作業(yè)的車間求產(chǎn)品的平均合格率。
知識(shí)擴(kuò)展
幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)之間存在一定的大小關(guān)系：調(diào)和平均數(shù)≤幾何平均數(shù)≤算術(shù)平均數(shù)≤平方平均數(shù)。這一關(guān)系體現(xiàn)了不同平均數(shù)的特性和適用場景。
計(jì)算
幾何平均數(shù)的計(jì)算公式為：
{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{n}a_{i}\right)^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}.}
在實(shí)際應(yīng)用中，為了避免算術(shù)溢出或下溢，幾何平均數(shù)的對(duì)數(shù)形式通常是優(yōu)選的計(jì)算方法。這種方法通過計(jì)算所有數(shù)的對(duì)數(shù)之和，然后取指數(shù)，從而得到幾何平均數(shù)。
與對(duì)數(shù)的關(guān)系
幾何平均數(shù)可以表示為對(duì)數(shù)算術(shù)平均數(shù)的指數(shù)。這種表示方法在計(jì)算機(jī)語言中實(shí)現(xiàn)時(shí)更為方便，因?yàn)樗鼫p少了算術(shù)溢出或下溢的風(fēng)險(xiǎn)。
屬性
幾何平均數(shù)具有一些獨(dú)特的屬性，例如，它是唯一能夠正確反映歸一化比率的平均數(shù)。在比較電腦性能時(shí)，幾何平均數(shù)能夠提供一致的排名結(jié)果，而不會(huì)因?yàn)椴煌臋?quán)重分配而改變結(jié)果的排序。
應(yīng)用
幾何平均數(shù)在多個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，包括社會(huì)科學(xué)、金融、圖像處理、光學(xué)涂層、光譜平坦度、幾何學(xué)等。在社會(huì)科學(xué)中，聯(lián)合國人類發(fā)展指數(shù)就采用了幾何平均數(shù)來更好地反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的不可替代性。在金融領(lǐng)域，幾何平均數(shù)被用來計(jì)算財(cái)務(wù)指標(biāo)，如復(fù)合年均增長率(CAGR)。在圖像處理中，幾何均值濾波器被用作噪聲濾波器。
長寬比
幾何平均數(shù)在確定電影和視頻的折衷長寬比時(shí)也有應(yīng)用。例如，16:9的寬高比就是通過計(jì)算2.35:1和4:3的幾何平均數(shù)得到的，這種方法在某種意義上提供了一個(gè)平衡，使得兩種不同長寬比的圖像都能在一定程度上保持其原有的比例。
光學(xué)涂層
在光學(xué)涂層中，幾何平均數(shù)用于確定最佳的折射率，以最小化兩個(gè)介質(zhì)之間的反射。
光譜平坦度
在信號(hào)處理中，光譜平坦度是通過比較功率譜的幾何平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的比值來測量的。
在幾何學(xué)中，幾何平均數(shù)可以用來描述直角三角形的高度，以及橢圓的半短軸和半長軸。此外，它還可以用來計(jì)算到地平線的距離。
金融
在金融領(lǐng)域，幾何平均數(shù)用于計(jì)算財(cái)務(wù)指標(biāo)，如過去的FTOI指數(shù)和英國的RPIJ通貨膨脹率。
在圖像處理中，幾何均值濾波器作為噪聲濾波器，有助于改善圖像質(zhì)量。
參考資料 >