定積分是積分的一種，是函數f(x)在區間[a,b]上的積分和的極限。這里應注意定積分與不定積分之間的關系：若定積分存在，則它是一個具體的數值，而不定積分是一個函數表達式，它們僅僅在數學上有一個計算關系（牛頓-萊布尼茨公式）。一個函數，可以存在不定積分，而不存在定積分，也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函數，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函數一定不存在，即不定積分一定不存在。
積分分類
即已知導數求原函數。若，那么.(，C為常數).也就是說，把f(x)積分，不一定能得到F(x)，因為的偏導數也是f(x)（C是任意常數）。所以f(x)積分的結果有無數個，是不確定的。所以一律用代替，這就稱為不定積分。即如果一個導數有原函數，那么它就有無限多個原函數。
定積分（definite integral）
定積分就是求函數f(X)在區間[a,b]中的圖像包圍的面積。即由 所圍成圖形的面積。這個圖形稱為曲邊梯形，特例是曲邊三角形。
定義
設函數f(x)在區間[a,b]上連續，將區間[a,b]分成n個子區間，其中?？芍鲄^間的長度依次是：，在每個子區間(xi-1,xi]中任取一點，作和式。該和式叫做積分和，設（即λ是最大的區間長度），如果當時，積分和的極限存在，則這個極限叫做函數f(x) 在區間[a,b]的定積分，記為，并稱函數f(x)在區間[a,b]上可積。
其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區間[a, b]叫做積分區間，函數f(x)叫做被積函數，x叫做積分變量，叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。
之所以稱其為定積分，是因為它積分后得出的值是確定的，是一個常數，而不是一個函數。
根據上述定義，若函數f(x)在區間[a,b]上可積分，則有n等分的特殊分法：
特別注意，根據上述表達式有，當[a,b]區間恰好為[0,1]區間時，則[0,1]區間積分表達式為：
性質
1、當時，
2、當時，
3、常數可以提到積分號前。
4、代數和的積分等于積分的代數和。
5、定積分的可加性：如果積分區間[a,b]被c分為兩個子區間[a,c]與[c,b]則有
又由于性質2，若f(x)在區間D上可積，區間D中任意c（可以不在區間[a,b]上）滿足條件。
6、如果在區間[a,b]上，,則
7、積分中值定理：設f(x)在[a,b]上連續，則至少存在一點ε在（a，b)內使
常用積分法
換元積分法
如果
（1） ;
（2）上單值、可導;
（3）當時，,且,則
分部積分法
設u=u(x),v=v（x)均在區間[a,b]上可導，且u′，v′∈R（[a,b]),則有分部積分公式：
其他方法
可以引入含參變量積分、復積分、重積分等方法，用于計算定積分。除了上述方法以外，實際應用中可能會引入計算機直接對黎曼和進行計算，得到一個近似值。
分點問題
定積分是把函數在某個區間上的圖象[a,b]分成n份，用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，再求當時所有這些矩形面積的和。習慣上，人們用等差級數分點，即相鄰兩端點的間距Δx是相等的。但是必須指出，即使Δx不相等，積分值仍然相同。假設這些“矩形面積和”
那么當時，Δx的最大值趨于0，所以所有的Δx趨于0，所以S仍然趨于積分值.
利用這個規律，在了解牛頓-萊布尼茲公式之前，便可以對某些函數進行積分。
例如：證明對于函數 有
且
“矩形面積和”為
提取，則有
利用等比級數公式，得到
其中 設 令，則
令n增加，則s,q都趨于1，因而N的極限為。
黎曼積分
定積分的正式名稱是黎曼積分。用伯恩哈德·黎曼自己的話來說，就是把直角坐標系上的函數的圖象用平行于y軸的直線把其分割成無數個矩形，然后把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函數的圖象在區間[a,b]的面積。實際上，定積分的上下限就是區間的兩個端點a,b.
可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個導函數的原函數。它們看起來沒有任何的聯系，那么為什么定積分要寫成積分的形式呢？
定理
一般定理
定理1：設f(x)在區間[a,b]上連續，則f(x)在[a,b]上可積。
定理2：設f(x)區間[a,b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在[a,b]上可積。
定理3：設f(x)在區間[a,b]上單調，則f(x)在[a,b]上可積。
牛頓-萊布尼茨公式
定積分與不定積分看起來風馬牛不相及，但是由于一個數學上重要的理論的支撐，使得它們有了本質的密切關系。把一個圖形無限細分再累加，這似乎是不可能的事情，但是由于這個理論，可以轉化為計算積分。這個重要理論就是大名鼎鼎的牛頓-萊布尼茲公式，它的內容是：
如果f(x)是[a,b]上的連續函數，并且有，那么
用文字表述為：一個定積分式的值，就是原函數在上限的值與原函數在下限的值的差。
正因為這個理論，揭示了積分與伯恩哈德·黎曼積分本質的聯系，可見其在微積分學以至更高等的數學上的重要地位，因此，牛頓-萊布尼茲公式也被稱作微積分基本定理。
應用
解決求曲邊圖形的面積問題
例：求由拋物線 與直線 圍成的平面圖形D的面積S.
求變速直線運動的路程
做變速直線運動的物體經過的路程s，等于其速度函數在時間區間[a,b]上的定積分。
變力做功
某物體在變力的作用下，在位移區間[a,b]上做的功等于在[a,b]上的定積分。（見圖冊“應用”）
數列求和的極限
若函數在[a,b]上連續，則有：
若函數在[a,b]上連續，則有：
若函數在[0,1]上連續，則有：
以上三個結論。
參考資料 >