謝爾賓斯基三角形（Sierpinski triangle）是一種分形，由波蘭數(shù)學(xué)家瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基在1915年提出。它是自相似集的例子。它的豪斯多夫維是log(3)/log(2) ≈ 1.585。
簡(jiǎn)介
先作一個(gè)等邊三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用黑色三角形代表挖去的面積，那么白三角形為剩下的面積（我們稱(chēng)白三角形為謝爾賓斯基三角形）。如果用上面的方法無(wú)限連續(xù)地作下去，則謝爾賓斯基三角形的面積越趨近于零，而它的周長(zhǎng)越趨近于無(wú)限大。
構(gòu)作方法
去掉中心
1.取一個(gè)實(shí)心的三角形。（多數(shù)使用等邊三角形）
2.沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形。
3.去掉中間的那一個(gè)小三角形。
4.對(duì)其余三個(gè)小三角形重復(fù)1。
取一個(gè)正方形或其他形狀開(kāi)始，用類(lèi)似的方法構(gòu)作，形狀也會(huì)和謝爾賓斯基三角形相近。
Chaos Game
謝爾賓斯基三角形也可以通過(guò)隨機(jī)的方法，即Chaos Game來(lái)構(gòu)造：
1. 任意取平面上三點(diǎn)A, B, C，組成一個(gè)三角形。
2. 任意取三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)作為起始點(diǎn)P。
3. 隨機(jī)選擇三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，畫(huà)出P和該頂點(diǎn)的中點(diǎn)，并將P移動(dòng)到這個(gè)中點(diǎn)。
4. 重復(fù)步驟3。
L系統(tǒng)
謝爾賓斯基三角形還可以通過(guò)L系統(tǒng)來(lái)生成。L系統(tǒng)是一種用于模擬植物生長(zhǎng)和分形結(jié)構(gòu)的形式語(yǔ)言。謝爾賓斯基三角形的L系統(tǒng)可以描述為：
- 變數(shù): A, B
- 常數(shù): +, -
- 公理: A
- 規(guī)則:
- A → B-A-B
- B → A+B+A
- A, B：向前
- -：左轉(zhuǎn)60°
- +：右轉(zhuǎn)60°
通過(guò)這種方式，可以逐步逼近謝爾賓斯基三角形的形狀。
其他
先作一個(gè)等邊三角形，挖去一個(gè)“中心三角形”（即以原三角形各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一個(gè)“中心三角形”，我們用黑色三角形代表挖去的面積，那么白三角形為剩下的面積（我們稱(chēng)白三角形為謝爾賓斯基三角形）。如果用上面的方法無(wú)限連續(xù)地作下去，則謝爾賓斯基三角形的面積越趨近于零，而它的周長(zhǎng)越趨近于無(wú)限大。
若設(shè)操作次數(shù)為n（每挖去一次中心三角形算一次操作），則剩余三角形面積公式為：4的n次方分之3的n次方。
將邊長(zhǎng)為1的等邊三角形區(qū)域，均分成四個(gè)小等邊三角形，去掉中間一個(gè)，然后再對(duì)每個(gè)小等邊三角形進(jìn)行相同的操作得，這樣的操作不斷繼續(xù)下去直到無(wú)窮，最終所得的極限圖形稱(chēng)為謝爾賓斯基墊片。謝爾賓斯基墊片的極限圖形的面積趨于零，而小圖形的數(shù)目趨于無(wú)窮，作為小圖形的邊的線段數(shù)目趨于無(wú)窮，實(shí)際上是一個(gè)線集。操作n次后邊長(zhǎng)r=(1/2)n，三角形個(gè)數(shù)N(r)=3 n，根據(jù)公式N(r)=1/rD，3n=2Dr，D=ln3/ln2=1.585。所以謝爾賓斯基墊片是1.585。它比普通的一維直線占據(jù)了更多空間，但還是沒(méi)有二維正方形占據(jù)的那么多，可以用等比數(shù)列的知識(shí)求出他的面積是0。
參考資料 >