調(diào)和級(jí)數(shù)（英語(yǔ)：Harmonic series）是一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)。
調(diào)和級(jí)數(shù)是由調(diào)和數(shù)列各元素相加所得的和。中世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家Oresme證明了所有調(diào)和級(jí)數(shù)都是發(fā)散于無(wú)窮的。但是調(diào)和級(jí)數(shù)的斯里尼瓦瑟·拉馬努金和存在，且為歐拉常數(shù)。
歷史
早在14世紀(jì)，尼克爾·奧里斯姆已經(jīng)證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，但知道的人不多。17世紀(jì)時(shí)，皮耶特羅·曼戈里、約翰·白努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。
調(diào)和序列歷來(lái)很受建筑師重視；這一點(diǎn)在巴洛克時(shí)期尤其明顯。當(dāng)時(shí)建筑師在建造教堂和宮殿時(shí)，運(yùn)用調(diào)和序列為樓面布置和建筑物高度建立比例，并使室內(nèi)外的建筑細(xì)節(jié)間呈現(xiàn)和諧的聯(lián)系。
發(fā)散性
比較審斂法
因此該級(jí)數(shù)發(fā)散。
積分判別法
通過(guò)將調(diào)和級(jí)數(shù)的和與一個(gè)瑕積分作比較可證此級(jí)數(shù)發(fā)散。考慮右圖中長(zhǎng)方形的排列。每個(gè)長(zhǎng)方形寬1個(gè)單位、高個(gè)單位（換句話(huà)說(shuō)，每個(gè)長(zhǎng)方形的面積都是），所以所有長(zhǎng)方形的總面積就是調(diào)和級(jí)數(shù)的和：矩形面積和：而曲線(xiàn)以下、從1到正無(wú)窮部分的面積由以下瑕積分給出：曲線(xiàn)下面積：由于這一部分面積真包含于（換言之，小于）長(zhǎng)方形總面積，長(zhǎng)方形的總面積也必定趨于無(wú)窮。更準(zhǔn)確地說(shuō)，這證明了：
這個(gè)方法的拓展即積分判別法。
反證法
假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂 , 則：
但與矛盾，故假設(shè)不真，即調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。
發(fā)散率
調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散的速度非常緩慢。舉例來(lái)說(shuō)，調(diào)和序列前10項(xiàng)的和還不足100。這是因?yàn)檎{(diào)和數(shù)列的部分和呈對(duì)數(shù)增長(zhǎng)。特別地，其中是長(zhǎng)城歐拉馬歇羅尼常數(shù)，而約等于，并且隨著 k趨于正無(wú)窮而趨于 0。這個(gè)結(jié)果由長(zhǎng)城歐拉給出。
部分和
調(diào)和級(jí)數(shù)的第n個(gè)部分和為：也叫作第n個(gè)調(diào)和數(shù)。
第n個(gè)調(diào)和數(shù)與n的自然對(duì)數(shù)的差值（即）收斂于歐拉-馬歇羅尼常數(shù)。
兩個(gè)不同的調(diào)和數(shù)之間的差值永遠(yuǎn)不是整數(shù)。
除了時(shí)以外，沒(méi)有任何一個(gè)調(diào)和數(shù)是整數(shù)。
定義
很早就有數(shù)學(xué)家研究，比如中世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家Oresme在1360年就證明了這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的。他的方法很簡(jiǎn)單：
注意后一個(gè)級(jí)數(shù)每一項(xiàng)對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)都小于調(diào)和級(jí)數(shù)中每一項(xiàng)，而且后面級(jí)數(shù)的括號(hào)中的數(shù)值和都為，這樣的有無(wú)窮多個(gè)，所以后一個(gè)級(jí)數(shù)是趨向無(wú)窮大的，進(jìn)而調(diào)和級(jí)數(shù)也是發(fā)散的。
從更廣泛的意義上講，如果是全部不為0的等差數(shù)列，則 就稱(chēng)為調(diào)和數(shù)列，求和所得即為調(diào)和級(jí)數(shù)，易得，所有調(diào)和級(jí)數(shù)都是發(fā)散于無(wú)窮的。
推導(dǎo)
隨后很長(zhǎng)一段時(shí)間，人們無(wú)法使用公式去逼近調(diào)和級(jí)數(shù)，直到級(jí)數(shù)理論逐步成熟。1665年牛頓在他的著名著作《流數(shù)法》中推導(dǎo)出第一個(gè)冪級(jí)數(shù)：
Euler(萊昂哈德·歐拉)在1734年，利用艾薩克·牛頓的成果，首先獲得了調(diào)和級(jí)數(shù)有限多項(xiàng)和的值。結(jié)果是：
(r為常量)
他的證明是這樣的：
根據(jù)Newton的冪級(jí)數(shù)有：
于是：
代入，就給出：
......
相加，就得到：
后面那一串和都是收斂的，我們可以定義
Euler近似地計(jì)算了r的值，約為0.5772156649。這個(gè)數(shù)字就是后來(lái)稱(chēng)作的歐拉常數(shù)。其表達(dá)式為：
或者
c為歐拉常數(shù)
解碼函數(shù)比原函數(shù)偏小，函數(shù)在時(shí)誤差為-0.0382064988721671，n（2,7）時(shí)誤差為0.0257360642441862~0.0106247817461118，時(shí)誤差為0.00942087240133116左右，時(shí)0.000998481033276377左右n特別大時(shí)逐漸時(shí)趨于0。誤差就是余函數(shù)ε（n）的取值。解碼逼近函數(shù)比原函數(shù)稍偏小，誤差最大區(qū)間是1~7之間。
以下是余函數(shù)ε（n）的圖像。
拓延
調(diào)和級(jí)數(shù)有以下性質(zhì)：
我們可以尋找一個(gè)函數(shù)G(x)，他在定義域內(nèi)此性質(zhì)恒成立，且其經(jīng)過(guò)所有的調(diào)和級(jí)數(shù)。
我們暫定其定義域?yàn)?/p>
則
恒成立
G(x)為連續(xù)的凸函數(shù)（重要）
則有無(wú)數(shù)曲線(xiàn)即有無(wú)數(shù)函數(shù)滿(mǎn)足以上要求。我們將其中為凸函數(shù)的一個(gè)求出，作為調(diào)和級(jí)數(shù)在實(shí)數(shù)上的合理拓延。
以下求解過(guò)程在定義域內(nèi)完成，不作贅述。
①
②
②-①在除以m得
m趨于無(wú)窮小時(shí)，g(x)表示G(x)的導(dǎo)數(shù) 得
③
因?yàn)镚(x)為凸函數(shù)，所以有以下性質(zhì)
④
由③④可以推出 為正整數(shù)⑤
n趨于正無(wú)窮時(shí)有
趨于0
所以⑥
由微積分知道 ⑦
此式在自然數(shù)上都成立即調(diào)和級(jí)數(shù)的實(shí)數(shù)拓延為
注：此式在x趨于無(wú)窮時(shí)失效，因?yàn)槟菚r(shí)精度不夠，因?yàn)槟菚r(shí)被省略的項(xiàng) 所累積的值會(huì)逐漸增大， x 趨于正無(wú)窮時(shí)，該值趨于 ln2。計(jì)算方法為將省略項(xiàng)用積分算出。但由于總有省略項(xiàng)的存在，只能得到某種精度的結(jié)果。如上式在x 為非無(wú)窮時(shí)完全成立。
非省略的式子為
此式在用積乘求階乘中十分重要。
悖論
中國(guó)古代哲學(xué)家稱(chēng)悖論“飾人之心，易人之意，能勝人之口，不能服人之心”。
科學(xué)家們通過(guò)悖論來(lái)提出問(wèn)題。悖論是科學(xué)中基礎(chǔ)理論缺陷的產(chǎn)物，是對(duì)科學(xué)理論體系的挑戰(zhàn)，是對(duì)人類(lèi)智力的挑戰(zhàn)。研究悖論能使我們了解學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷，而解決悖論的最大意義是能幫我們解決學(xué)科基礎(chǔ)理論的缺陷——修改或重建某些基礎(chǔ)理論，從而使科學(xué)研究朝著健康的方向發(fā)展。這是一種客觀的需要。
約公元前465年，埃利亞的芝諾著述了幾個(gè)與無(wú)窮概念相關(guān)的悖論，導(dǎo)致了科學(xué)界的理論危機(jī)。2500多年來(lái)，許許多多哲學(xué)家與數(shù)學(xué)家努力奮斗，力圖解決芝諾那些與無(wú)窮概念相關(guān)的問(wèn)題，但由于傳統(tǒng)的有窮——無(wú)窮理論體系幾千年來(lái)沒(méi)有什么實(shí)質(zhì)性的完善，使芝諾悖論不僅不可能得到解決，反而還不時(shí)以不同的翻版出現(xiàn)在數(shù)學(xué)中，固執(zhí)地向與無(wú)窮概念相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容發(fā)出一次次挑戰(zhàn)，并且目標(biāo)非常清楚——直搗整座數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)。人們到目前為止的所有努力都只能以失敗告終——時(shí)間在芝諾悖論面前凝固了！貝特蘭﹒羅素清楚的看到了這一點(diǎn)，他在談及埃利亞的芝諾悖論時(shí)寫(xiě)道：“經(jīng)過(guò)謹(jǐn)慎的解釋?zhuān)朴锌赡茉佻F(xiàn)芝諾的所謂‘悖論’，它們從提出之日起直到現(xiàn)在一直被人們所‘駁斥’。”
芝諾悖論不斷以新的形式出現(xiàn)在科學(xué)中，形成一個(gè)龐大的“芝諾悖論家族”：第二次數(shù)學(xué)危機(jī)是芝諾悖論在300多年前的一種翻版所引起的[3~5]，而我們今天發(fā)現(xiàn)的調(diào)和級(jí)數(shù)悖論則是芝諾悖論的又一個(gè)很巧妙的翻版。
1． 芝諾所著述的與無(wú)窮概念相關(guān)的悖論
芝諾這些悖論的原作沒(méi)有流傳下來(lái)，但亞里士多德在其著作中對(duì)此作了記錄。我們將與調(diào)和級(jí)數(shù)悖論相關(guān)的兩個(gè)悖論摘引如下：
a. 運(yùn)動(dòng)是不存在的。在跑完某一段距離的全程之前，競(jìng)賽者首先必須跑完這段距離的一半；在跑完全程的一半之前，又必須跑完一半的半，即全程的四分之一；在跑完全程的四分之一之前，又得跑完全程的八分之一；…… 如此遞推，以至無(wú)窮，故運(yùn)動(dòng)不可能。
b.阿喀琉斯追不上烏龜。阿喀琉斯是古希臘神話(huà)中善跑的英雄。在他和烏龜?shù)母?jìng)賽中，烏龜在前面跑，他在后面追，但他不可能追上烏龜。因?yàn)樵诟?jìng)賽中，追者首先必須到達(dá)被追者的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)阿基里斯到達(dá)烏龜在某時(shí)所處的位置時(shí)，烏龜已向前移動(dòng)一些；阿基里斯再到達(dá)烏龜?shù)哪莻€(gè)位置時(shí)，烏龜又往前跑了一段；…… 因此，無(wú)論阿基里斯到達(dá)烏龜曾處的哪個(gè)位置，烏龜都會(huì)在他前面。所以，無(wú)論阿基里斯跑得多快，他永遠(yuǎn)追不上烏龜。
埃利亞的芝諾的這些悖論顯然都與人們的生活經(jīng)驗(yàn)、共識(shí)相悖。但問(wèn)題是2400多年來(lái)人們一直無(wú)法真正認(rèn)識(shí)
無(wú)窮概念的本質(zhì)，無(wú)法真正認(rèn)識(shí)與之相關(guān)的數(shù)量形式，必然無(wú)法回答芝諾通過(guò)悖論要人們所回答的問(wèn)題。
據(jù)說(shuō)，芝諾的一個(gè)學(xué)生曾抓來(lái)一只烏龜，讓它在踞自己10步以外向前爬行，然后從后面追上烏龜，演示給芝諾看，想以此來(lái)證明阿基里斯完全可以追上烏龜。另一個(gè)叫爻布納。希莫尼的學(xué)者編了一個(gè)既生動(dòng)有趣、又中肯貼切的對(duì)話(huà)來(lái)評(píng)述芝諾悖論的荒謬：當(dāng)一只饑餓兇猛的獅子從籠子里被放出來(lái)去追趕芝諾時(shí)，芝諾不慌不忙地一邊慢跑一邊告訴人家，這只獅子永遠(yuǎn)不可能跑到他身邊。因?yàn)楠{子首先必須到達(dá)他的出發(fā)點(diǎn)，當(dāng)獅子到達(dá)他在某時(shí)所處的位置時(shí)，他已向前移動(dòng)一些；獅子再到達(dá)他的那個(gè)位置時(shí)，他又往前跑了一段；…… 因此，無(wú)論獅子到達(dá)他曾處的哪個(gè)位置，他都會(huì)在獅子前面。所以，無(wú)論獅子跑得多快，它永遠(yuǎn)追不上他。從另一個(gè)角度說(shuō)，這獅子在接近他時(shí)必須跑完全程的一半，在跑完全程的一半前又必須跑完全程的四分之一，在跑完全程的四分之一前又必須跑完程的八分之一，如此類(lèi)推，以至無(wú)窮，獅子連一步都跨不出。但在他剛說(shuō)完獅子無(wú)論如何永遠(yuǎn)沒(méi)辦法追上他的話(huà)音落下后不久，季蒂昂的芝諾被這飛跑而至的獅子吞吃掉了。有的人認(rèn)為象這樣對(duì)芝諾悖論的解答是最生動(dòng)、準(zhǔn)確不過(guò)了。其實(shí)在數(shù)學(xué)上僅用現(xiàn)在初中生都懂的加和數(shù)列就可以輕而易舉地告訴人們阿基里斯何時(shí)可追上烏龜。史料也表明芝諾當(dāng)時(shí)未必不懂得這些簡(jiǎn)單的常識(shí)。但這類(lèi)解答僅描述了事件的現(xiàn)象和結(jié)果，而埃利亞的芝諾要人們解答的是事件的可能性問(wèn)題，要人們?cè)诶碚撋险J(rèn)識(shí)，解釋與無(wú)窮概念相關(guān)的整個(gè)事件的過(guò)程。
2500多年前的芝諾以悖論的形式向人們發(fā)問(wèn)：數(shù)學(xué)中與無(wú)窮概念相關(guān)的最小的數(shù)量形式是什么、有多大、該如何處理它們？由于這類(lèi)問(wèn)題一直無(wú)法得到解決，終于又爆發(fā)了另一次理論危機(jī)，以“微積分中的微增量dx是什么、有多大、該如何處理它們？”來(lái)重復(fù)2500多年前芝諾悖論所提出的問(wèn)題，這就是眾所周知的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分的歷史告訴我們，人們?cè)谇?a href="/hebeideji/385229163457989516.html">導(dǎo)數(shù)計(jì)算中可以不管dx有多大，想怎樣去稱(chēng)呼那個(gè)dx，打算怎樣去解析與dx相關(guān)的那一切數(shù)學(xué)行為都無(wú)所謂，反正按照那些公式如此這般去操作，保證能得出正確的結(jié)果。正如埃利亞的芝諾的學(xué)生滿(mǎn)足于自己確實(shí)能從后面追上烏龜這樣一件事實(shí)。但情況并不是這么簡(jiǎn)單！人們公認(rèn)，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)所關(guān)心的并不是求導(dǎo)數(shù)計(jì)算的結(jié)果如何，而是象芝諾悖論那樣，關(guān)心的是人們?cè)撊绾螐睦碚撋蟻?lái)認(rèn)識(shí)與“無(wú)窮”相關(guān)的過(guò)程、與“無(wú)窮”相關(guān)的數(shù)量形式及其處理方式。由于現(xiàn)代科學(xué)中的無(wú)窮觀在本質(zhì)上仍然停留在芝諾時(shí)代的那種狀態(tài)[2~10]，必然使現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“與無(wú)窮概念有關(guān)的數(shù)量形式及其相關(guān)處理方式”的所有理論，不管用什么語(yǔ)言來(lái)表述，在芝諾悖論面前全部原形畢露！無(wú)論是在標(biāo)準(zhǔn)分析或非標(biāo)準(zhǔn)分析中，阿基里斯仍然追不上烏龜！所以，公元前465年時(shí)的芝諾悖論到如今仍然是芝諾悖論，且由于依然如故的合適的生存條件，使它在2500年中繁殖了許多后代。
2． 調(diào)和級(jí)數(shù)悖論
Oresme于1360年左右在《歐幾里德幾何問(wèn)題》小冊(cè)子中給出了一個(gè)關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散性的證明。我們可以在現(xiàn)有的，由任何語(yǔ)言所寫(xiě)的許多數(shù)學(xué)分析書(shū)中看到這個(gè)被公認(rèn)的、很簡(jiǎn)單但卻有著不尋常意義的證明（以下簡(jiǎn)稱(chēng)“原證”）。當(dāng)然是現(xiàn)有的傳統(tǒng)有窮--無(wú)窮理論體系及相關(guān)的極限論決定了這個(gè)證明的產(chǎn)生，使這個(gè)證明的整個(gè)思路、過(guò)程、結(jié)果在現(xiàn)有的理論體系框架中被當(dāng)作共識(shí)所普遍接受。但我們的研究恰恰說(shuō)明這個(gè)證明是2500年前芝諾悖論的又一個(gè)翻版。
調(diào)和級(jí)數(shù)是個(gè)無(wú)窮常減級(jí)數(shù)，Un 0 。級(jí)數(shù)中出現(xiàn)了人們常說(shuō)的那種“無(wú)窮小”數(shù)量形式。在這證明中所暴露的問(wèn)題仍然是埃利亞的芝諾在2500年前所問(wèn)的完全相同的問(wèn)題：無(wú)窮小究竟有多大？如何處理它們？
我們將Oresme的證明摘引如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
對(duì)這個(gè)證明有兩種解析：
A. 對(duì)級(jí)數(shù)（1）加上無(wú)窮多個(gè)括號(hào)而得到一個(gè)新的，含有無(wú)窮多個(gè)大于的數(shù)的正數(shù)項(xiàng)無(wú)窮常增級(jí)數(shù)（2）；然后，通過(guò)sn 的新級(jí)數(shù)（3）的發(fā)散性證得級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。
B. 對(duì)級(jí)數(shù)（1）加上許多個(gè)括號(hào)而得sn ，在此，k大于任給正數(shù)，然后取極限，當(dāng)n 時(shí)，k ，因此sn 而證得級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。
原證中的思路與做法是現(xiàn)有數(shù)學(xué)中傳統(tǒng)的有窮——無(wú)窮概念體系和與之相關(guān)的極限論很徹底的表現(xiàn)。
對(duì)于第一種解釋?zhuān)姓J(rèn)調(diào)和級(jí)數(shù)中的un 這一事實(shí)，原證中那種使用多項(xiàng)式加括號(hào)法則去處理調(diào)和級(jí)數(shù)中的無(wú)窮多個(gè)un 的數(shù)量形式而制造出無(wú)窮多個(gè)大于的量的思路與做法不妥。這里我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題：如想對(duì)級(jí)數(shù)（1）加上無(wú)窮多個(gè)括號(hào)而制造出無(wú)窮多個(gè)大于的量，就要求級(jí)數(shù)提供無(wú)窮多個(gè)被加的量，即需要n 。但是當(dāng)n 時(shí)，按定義，級(jí)數(shù)中必然出現(xiàn)無(wú)數(shù)以, ,．．．，．．．的形式所表現(xiàn)的那類(lèi)數(shù)量形式。按照三代數(shù)學(xué)分析理論中處理X 0的數(shù)學(xué)內(nèi)容的作法，我們應(yīng)該將這些無(wú)限趨于0的數(shù)量形式從多項(xiàng)式運(yùn)算式中趕走，導(dǎo)致如此多項(xiàng)式運(yùn)算的加括號(hào)法則失效，再也沒(méi)辦法制造出任何大于1/2的量了。所以，如此加括號(hào)法則僅能處理調(diào)和級(jí)數(shù)中的一部分?jǐn)?shù)項(xiàng)而制造出許多個(gè)大于的量，但卻沒(méi)有能力處理調(diào)和級(jí)數(shù)中的無(wú)窮數(shù)項(xiàng)而得到無(wú)窮多個(gè)大于的量。
退一步說(shuō)，如果有人想出一些理論，硬說(shuō)原證中那種對(duì)實(shí)際情況不做任何分析而無(wú)限使用加括號(hào)法對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)進(jìn)行處理的隨心所欲的做法是允許的，我們只要改變?cè)C中的加括號(hào)法則，依法炮制（如使式（2）中的每一項(xiàng)大于1或大于10或大于100……），就可以將調(diào)和級(jí)數(shù)變成任意的正數(shù)項(xiàng)無(wú)窮常增級(jí)數(shù)。這樣，一個(gè)un 的無(wú)窮常減級(jí)數(shù)就可以用加括號(hào)法象變戲法一樣將其改造成任意的un 的無(wú)窮常增級(jí)數(shù)，反之亦然！難道這樣兩種性質(zhì)上有很大區(qū)別的無(wú)窮級(jí)數(shù)果然真的可以互相轉(zhuǎn)化？這只能給原來(lái)的“無(wú)窮”、“無(wú)窮小”、“無(wú)窮大”概念再添上一層神秘的色彩。
對(duì)于第二種解釋?zhuān)覀兂姓J(rèn)可對(duì)級(jí)數(shù)（1）的有窮數(shù)項(xiàng)加上有窮多個(gè)括號(hào)而得sn ，但如果接下去說(shuō)“要取極限”，而斷言當(dāng)n 時(shí)，k ，因此sn ，就錯(cuò)了。與第一種解析中同樣的道理，因?yàn)楫?dāng)我們說(shuō)n 時(shí)，實(shí)際上就同時(shí)承認(rèn)了這類(lèi)事實(shí)的存在；與求導(dǎo)數(shù)過(guò)程中的微增量一樣，它們本應(yīng)該從多項(xiàng)式運(yùn)算式中消失，而再也沒(méi)有“原料”讓那樣的一種多項(xiàng)式加括號(hào)法去制造出任何大于的數(shù)了。這決定k根本就不具備趨于 的條件，sn 的推論是完全沒(méi)有根據(jù)的，是錯(cuò)誤的！
我們目睹了一個(gè)活生生的現(xiàn)代芝諾悖論的翻版：阿基里斯就是這個(gè)證明中的多項(xiàng)式加括號(hào)法，而烏龜就是調(diào)和級(jí)數(shù)。盡管善跑的阿基里斯步伐又大又快，但是在理論上烏龜將永遠(yuǎn)在他的前面----盡管多項(xiàng)式加括號(hào)法可以很快處理掉調(diào)和級(jí)數(shù)中的許許多多數(shù)項(xiàng)，但理論上卻永遠(yuǎn)有無(wú)數(shù)可用多項(xiàng)式加括號(hào)法則去處理的數(shù)項(xiàng)。所以那里的阿基里斯永遠(yuǎn)追不上烏龜，而這里的多項(xiàng)式運(yùn)算可以得到無(wú)窮多個(gè)大于的量。
在此，我們清楚地看到，在原證的整個(gè)證明中竟然可以完全不必分析級(jí)數(shù)中的un 是什么意思，該如何處理它們，為什么可以那樣處理？比如說(shuō)，能否象在求導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中那樣，對(duì)這些無(wú)窮小數(shù)項(xiàng)（或叫無(wú)限趨于0的量）過(guò)一道“ —δ”語(yǔ)言手續(xù)，或過(guò)一道“取標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的手續(xù)”，而讓它們都從多項(xiàng)式加法運(yùn)算式中消失，使證明中的加括號(hào)多項(xiàng)式運(yùn)算沒(méi)有條件無(wú)窮地進(jìn)行下去。是數(shù)學(xué)家把這些問(wèn)題給忘了嗎？不！問(wèn)題的關(guān)鍵是：在傳統(tǒng)的有窮--無(wú)窮理論體系中該在什么時(shí)候、對(duì)什么樣的數(shù)學(xué)內(nèi)容取極限，是毫無(wú)理論根據(jù)的。而更重要的是：從埃利亞的芝諾時(shí)代起一直到現(xiàn)在，“無(wú)窮”就是個(gè)很籠統(tǒng)的數(shù)學(xué)內(nèi)容，人們根本無(wú)法明確地表現(xiàn)與無(wú)窮概念相關(guān)的各種數(shù)量形式，這必然使人們無(wú)法認(rèn)識(shí)調(diào)和級(jí)數(shù)中的un 所表示的數(shù)學(xué)意義；該如何認(rèn)識(shí)與處理這類(lèi)與un 有關(guān)的無(wú)數(shù)數(shù)項(xiàng)，人們心里是無(wú)數(shù)的[6~7]。換句話(huà)說(shuō)，以現(xiàn)有數(shù)學(xué)中傳統(tǒng)的有窮、無(wú)窮理論體系和與之相關(guān)的極限論，誰(shuí)也無(wú)法自圓其說(shuō)：為什么在數(shù)學(xué)分析理論的求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中，可以通過(guò)對(duì)dx取極限或取標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的做法讓無(wú)限趨于零的dx從多項(xiàng)式運(yùn)算式中消失，而在調(diào)和級(jí)數(shù)中的卻不該從多項(xiàng)式運(yùn)算式中消失？誰(shuí)也無(wú)法自圓其說(shuō)：用那樣一種加括號(hào)法則去處理調(diào)和級(jí)數(shù)，究竟能制造出多少個(gè)大于1/2的量——有窮多個(gè)或無(wú)窮多個(gè)？當(dāng)然，在現(xiàn)有的理論體系中，不管是哪種結(jié)論都會(huì)產(chǎn)生悖論。
結(jié)論
2500多年前，埃利亞的芝諾以悖論的形式向人們發(fā)問(wèn)：無(wú)窮過(guò)程所產(chǎn)生的無(wú)窮小究竟是多大、該如何處理它們？而到了三百多年前的微積分時(shí)代，貝克萊又以“dx悖論”的形式再版芝諾悖論，重新向人們發(fā)問(wèn)：與無(wú)窮概念相關(guān)的無(wú)限趨于0的量究竟是多大、該如何處理它們？今天，調(diào)和級(jí)數(shù)悖論所提出的問(wèn)題還是：無(wú)窮調(diào)和級(jí)數(shù)中的un 數(shù)項(xiàng)究竟是多大、該如何處理它們？2500多年來(lái)，這個(gè)問(wèn)題反復(fù)出現(xiàn)，不知要耗費(fèi)人類(lèi)多少心血。
2500多年的科學(xué)史告訴我們，人們?cè)诮鉀Q芝諾悖論上的工作思路是錯(cuò)誤的：沒(méi)有深入研究造成悖論的傳統(tǒng)無(wú)窮觀及相關(guān)數(shù)量體系的缺陷，沒(méi)有從構(gòu)造新的無(wú)窮觀及相對(duì)應(yīng)的數(shù)量體系下手。所以，不管如何努力，只能是徒勞。
掙脫現(xiàn)有的傳統(tǒng)有窮--無(wú)窮理論體系缺陷的束縛，構(gòu)造科學(xué)的、新的有窮--無(wú)窮理論體系及與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)量體系，才是徹底解決芝諾悖論、徹底解決所有芝諾悖論翻版，徹底解決第二、第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的唯一途徑[6~10]。
相關(guān)思考
當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，調(diào)和級(jí)數(shù)的項(xiàng)變得越來(lái)越小，然而，慢慢地——非常慢慢地——它的和將增大并超過(guò)任何一個(gè)有限值。調(diào)和級(jí)數(shù)的這種特性使一代又一代的數(shù)學(xué)家困惑并為之著迷。下面的數(shù)字將有助于我們更好地理解這個(gè)級(jí)數(shù)。這個(gè)級(jí)數(shù)的前1000項(xiàng)相加約為7.485；前100萬(wàn)項(xiàng)相加約為14.357；前10億項(xiàng)相加約為21；前一萬(wàn)億項(xiàng)相加約為28，等等。更有學(xué)者估計(jì)過(guò)，為了使調(diào)和級(jí)數(shù)的和等于100，必須把10的43次方項(xiàng)加起來(lái)。
調(diào)和級(jí)數(shù)是發(fā)散的，這是一個(gè)令人困惑的事情，事實(shí)上調(diào)和級(jí)數(shù)令人不耐煩地慢慢向無(wú)窮大靠近，我們可以很容易的看到這個(gè)事實(shí)，因?yàn)?而調(diào)和級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)是1，也就是說(shuō)調(diào)和級(jí)數(shù)的和要想達(dá)到51那么它需要有2的100次方那個(gè)多項(xiàng)才可以。而2的100次方這個(gè)項(xiàng)是一個(gè)大到我們能夠處理范圍以外的數(shù)字，在計(jì)算機(jī)元科學(xué)領(lǐng)域，這屬于一個(gè)不可解的數(shù)。
p-級(jí)數(shù)在的時(shí)候是收斂的，也就是說(shuō)對(duì)于任意,n的次方的倒數(shù)這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，在我們直觀上看來(lái)，好像調(diào)和級(jí)數(shù)下面的n只要大了一小點(diǎn)，或者說(shuō)調(diào)和級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)只要小一小點(diǎn)點(diǎn)，那么這個(gè)級(jí)數(shù)就是收斂的了，但是事實(shí)上并不是這樣這個(gè)級(jí)數(shù)的發(fā)散的，但是在的時(shí)候,是一個(gè)人盡皆知的事實(shí)，但是它卻并不收斂，這個(gè)令人困惑的問(wèn)題恰恰說(shuō)明了一個(gè)問(wèn)題，數(shù)軸上數(shù)的稠密性。
在分母換成素?cái)?shù)的時(shí)候又會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)令人困惑不解的事實(shí)：
設(shè)所有的素?cái)?shù)的倒數(shù)和為：
在我們直觀的看來(lái)，素?cái)?shù)比自然數(shù)要少的多，但是很不幸這個(gè)級(jí)數(shù)是發(fā)散的.
但是在同時(shí)所有孿生素?cái)?shù)猜想的倒數(shù)和:
這個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的，現(xiàn)在這個(gè)常數(shù)就被稱(chēng)為布隆常數(shù):
另外一個(gè)我們?nèi)≌{(diào)和級(jí)數(shù)的一個(gè)子數(shù)列，例如取,級(jí)數(shù)仍然是發(fā)散的，但是這樣卻產(chǎn)生了另一個(gè)困惑，我們?nèi)绻為所有不含有數(shù)字8的自然數(shù)，所得的級(jí)數(shù)是收斂的，這個(gè)事實(shí)可以這樣解釋?zhuān)跓o(wú)限的范圍以?xún)?nèi)，每個(gè)自然數(shù)幾乎含有所有的10個(gè)數(shù)字.
相關(guān)值
:
......
計(jì)算機(jī)程序（C）：
注意：本程序由于浮點(diǎn)誤差，當(dāng)時(shí)不保證結(jié)果準(zhǔn)確；但算法是正確的，僅供參考。
#include
int main()
{
int k,i=0;
double TOT=0;
scanf("%d",&k);
while(tot<=k)
{ i++;
tot+=1.0/i;
}
printf("%d\n",i);
system("pause");
}
或者
#include
int main(void)
{
int i,n;
double sum=0;
printf("please intput n：\n");
scanf("%d",&n);
for(i=1;i<=n;i++)
{
sum+=1.0/i;
printf("%-20.16lf",sum);
}
return 0;
}
參考資料 >
合集 | 被畢達(dá)哥拉斯從音樂(lè)中所發(fā)現(xiàn)的調(diào)和級(jí)數(shù)及幾個(gè)有趣應(yīng)用.騰訊.2021-07-30