超越函數(shù)(Transcendental Functions)，指的是變量之間的關(guān)系不能用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運(yùn)算表示的函數(shù)，主要包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正余弦函數(shù)及其反函數(shù)、雙曲正余弦函數(shù)及其反函數(shù)等。
17世紀(jì)歐洲，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念或變量間的關(guān)系。1667年J·格雷哥利更明確了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)的區(qū)別。1784年萊昂哈德·歐拉把約翰·貝努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進(jìn)一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運(yùn)算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及變量的無(wú)理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)）。
量綱分析里，超越函數(shù)是非常有用的，因?yàn)樗鼈冎辉谄鋮?shù)無(wú)量綱時(shí)才有意義。因此，超越函數(shù)可以是量綱錯(cuò)誤的顯著來(lái)源。
基本解釋
如對(duì)數(shù)函數(shù)，反三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，等就屬于超越函數(shù)，如，。它們屬于初等函數(shù)中的初等超越函數(shù)。
超越函數(shù)是指那些不滿足任何以多項(xiàng)式作系數(shù)的多項(xiàng)式方程的函數(shù)。說(shuō)的更技術(shù)一些，單變量函數(shù)若為代數(shù)獨(dú)立于其變量的話，即稱此函數(shù)為超越函數(shù)。
對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)即為超越函數(shù)的例子。超越函數(shù)這個(gè)名詞通常被拿來(lái)描述三角函數(shù)。
非超越函數(shù)則稱為代數(shù)函數(shù)。代數(shù)函數(shù)的例子包括多項(xiàng)式和平方根函數(shù)。
一函數(shù)的不定積分運(yùn)算是超越函數(shù)的豐富來(lái)源，如對(duì)數(shù)函數(shù)便來(lái)自倒數(shù)函數(shù)的不定積分。在微分代數(shù)里，人們研究不定積分如何產(chǎn)生與某類“標(biāo)準(zhǔn)”函數(shù)代數(shù)獨(dú)立的函數(shù)，例如將三角函數(shù)與多項(xiàng)式的合成取不定積分。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，超越函數(shù)與代數(shù)函數(shù)相反，是指那些不滿足任何以多項(xiàng)式方程的函數(shù)，即函數(shù)不滿足以變量自身的多項(xiàng)式為系數(shù)的多項(xiàng)式方程。換句話說(shuō)，超越函數(shù)就是"超出"代數(shù)函數(shù)范圍的函數(shù)，也就是說(shuō)函數(shù)不能表示為有限次的加、減、乘、除和開方的運(yùn)算。
嚴(yán)格的說(shuō)，關(guān)于變量 的解析函數(shù) f() 是超越函數(shù)，如果該函數(shù)是關(guān)于變量是代數(shù)獨(dú)立的。
對(duì)數(shù)和指數(shù)函數(shù)即為超越函數(shù)的例子. 超越函數(shù)這個(gè)名詞通常被拿來(lái)描述三角函數(shù)，例如正弦，余弦，正割，余割，正切，余切，正矢，半正矢等.
非超越函數(shù)則稱為代數(shù)函數(shù) 代數(shù)函數(shù)的例子有多項(xiàng)式和平方根函數(shù).
對(duì)代數(shù)函數(shù)進(jìn)行不定積分運(yùn)算能夠產(chǎn)生超越函數(shù). 如對(duì)數(shù)函數(shù)便是在對(duì)雙曲角圍成的面積研究中，對(duì)倒數(shù)函數(shù) = ?x不定積分得到的. 以此方式得到的雙曲函數(shù)sinh， cosh， tanh 都是超越函數(shù)。
微分代數(shù)的某些研究人員研究不定積分如何產(chǎn)生與某類“標(biāo)準(zhǔn)”函數(shù)代數(shù)獨(dú)立的函數(shù)，例如將三角函數(shù)與多項(xiàng)式的合成取不定積分。
量綱分析
在量綱分析里，超越函數(shù)是非常有用的，因?yàn)樗鼈冎辉谄鋮?shù)無(wú)量綱時(shí)才有意義。因此，超越函數(shù)可以是量綱錯(cuò)誤的顯著來(lái)源。例如，log(10 m)是個(gè)毫無(wú)意義的表示式， log(10 m)不同于 log() 和 log(3) m，后兩者是有實(shí)際意義的。利用對(duì)數(shù)恒等式，將 log(10m)展開為能夠更清晰的說(shuō)明該問(wèn)題：一個(gè)有量綱的非代數(shù)運(yùn)算會(huì)產(chǎn)生毫無(wú)意義的結(jié)果。
參考資料 >