切空間（Tangent space）是數學術語，指的是在流形上某一點所有的切向量組成的向量空間。設M是可微的流形，p是M上一點，p處所有切向量全體張成的線性空間稱為M在p處的切空間，記為T_p(M)。如果p是光滑點，則T_p(M)的維數就是流形M的維數。直觀地講，如果流形是一個三維空間中的曲面，則在每一點的切向量就是和該曲面相切的向量，切空間就是和該曲面相切的平面。
正式定義
切空間的定義不依賴于流形的嵌入，可以通過曲線的等價類或對光滑函數在該點的求導來定義切向量。這些定義雖然不同，但都是等價的。曲線速度定義認為，點x處的切向量是通過點x的曲線的“速度”，即通過x的曲線的等價類，而在x處彼此相切。導數定義則是將切空間視為線性映射D : C∞(M) → R，根據微積分的乘法規則建模的實際向量空間。余切空間則是由所有函數f組成的C∞(M)中的理想I，使得f(x) = 0的商空間I / I^2的對偶空間。
非正式描述
一個n維的流形可以理解為由多個同為n維的曲面（超曲面）組成。一般情況下，所有流形可以嵌入歐幾里得空間，流形上的光滑函數就是歐幾里得空間中的光滑函數。通過微分流形（differential manifold）的代數關系，可以將三維空間中的微積分搬上光滑流形。切空間也可以理解為在該點和流形相切的歐幾里得空間的仿射子空間（affine space）。所有切線空間可以“膠合在一起”，形成基于原流形兩倍維度的可微分流形，稱之為流形的切叢（tangent bundle）。
屬性
如果M是R^n的開子集，則M是C∞流形的自然形式，并且切線空間都自然以R^n加以識別。切向量可以作為方向性導數來考慮，定義了在點x處的平滑映射f : R^n → R的方向導數。每個平滑（或可微）流形的映射φ : M → N在相應的切線空間之間引導自然線性映射，被稱為映射的導數、總導數、微分或前推（pushforward）。在局部坐標中，φ的偏導數可由雅可比矩陣給出。
圖例
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