方向?qū)?shù)是數(shù)學(xué)分析特別是多元微積分中的概念，用于描述一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)沿著某個(gè)向量方向上的瞬時(shí)變化率。它是偏導(dǎo)數(shù)的推廣和加托導(dǎo)數(shù)的特例，用于衡量函數(shù)在非坐標(biāo)軸方向上的變化率。
簡(jiǎn)介
概述
方向?qū)?shù)（directional 導(dǎo)數(shù)）的通俗解釋是：我們不僅要知道函數(shù)在坐標(biāo)軸方向上的變化率
（即偏導(dǎo)數(shù)），而且還要設(shè)法求得函數(shù)在其他特定方向上的變化率。而方向?qū)?shù)就是函數(shù)在其他特定方向上的變化率
定義
方向?qū)?shù)的精確定義（以三元函數(shù)為例）：設(shè)三元函數(shù)f在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，l為從點(diǎn)P0出發(fā)的射線為l上且含于鄰域內(nèi)的任一點(diǎn)，以ρ（rou）表示P和P兩點(diǎn)間的距離。若極限
存在，則稱此極限為函數(shù)f在點(diǎn)P沿方向l的方向?qū)?shù)。
方向?qū)?shù)的計(jì)算
若函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)處沿任一方向l的方向?qū)?shù)都存在，且
其中cosα，cosβ，cosγ是方向l的方向余弦
性質(zhì)
方向?qū)?shù)具有多種導(dǎo)數(shù)的常見(jiàn)性質(zhì)，如加法定則、常數(shù)因子法則、乘法定則（或戈特弗里德·萊布尼茨法則）以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。這些性質(zhì)使得方向?qū)?shù)在計(jì)算和應(yīng)用中更為靈活。
最大方向?qū)?shù)
如果一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)在某點(diǎn)沿任意方向的方向?qū)?shù)都存在，則其中必有最大的一個(gè)。方向?qū)?shù)的最大值等于其梯度的范數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)沿著其梯度的方向時(shí)取到。這表明標(biāo)量場(chǎng)某點(diǎn)梯度的方向是函數(shù)瞬時(shí)變化率最大的方向。
在微分幾何中
在微分幾何中，方向?qū)?shù)可以用來(lái)描述在可微流形上的函數(shù)沿著切向量的變化率。設(shè)M是一個(gè)可微流形，x是M上的一個(gè)點(diǎn)，f是在x的鄰域內(nèi)有定義且在點(diǎn)x可微的函數(shù)。如果v是M在點(diǎn)x的一個(gè)切向量，則f沿著v方向的方向?qū)?shù)定義為：
{\displaystyle \nabla _{v}f(x)=\left.{\frac t7wk7rr{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}
其中γ是一個(gè)可微曲線，γ(0) = x，且γ′(0) = v。
參考資料 >