數(shù)學(xué)上，加托導(dǎo)數(shù)(英文: Gateaux 導(dǎo)數(shù))是微分學(xué)中的方向?qū)?shù)的概念的推廣。
介紹
它以勒內(nèi)·加托命名，他是一位法國數(shù)學(xué)家，年青時(shí)便死于第一次世界大戰(zhàn)。它定義于局部凸的拓?fù)湎蛄靠臻g上，可以和巴拿赫空間上的弗雷歇導(dǎo)數(shù)作對(duì)比。二者都經(jīng)常用于形式化泛函導(dǎo)數(shù)的概念，常見于變分法和物理學(xué)，特別是量子場論。和其他形式的導(dǎo)數(shù)不同，加托導(dǎo)數(shù)是非線性的。
定義
假設(shè)X和Y是局部凸拓?fù)湎蛄靠臻g，（例如巴拿赫空間），是開集合(open set)，且。F在點(diǎn)沿著方向的加托偏微分(Gateaux differential) 定義為
如果極限存在。固定u若對(duì)于所有都存在，則稱F在是加托可微(Gateaux differentiable )。若F在u是加托可微，稱為在u的加托導(dǎo)數(shù)。
稱F是在U中連續(xù)可微的，若是連續(xù)的。
屬性
若加托導(dǎo)數(shù)存在，則其為唯一。
對(duì)于每個(gè)，加托導(dǎo)數(shù)是一個(gè)算子。該算子是齊次的，使得，但是它通常不是可加的，并且，因此而不總是線性的，不像Fréchet導(dǎo)數(shù)。
例子
令X為一個(gè)在歐幾里得空間亨利·勒貝格可測集上的平方可積函數(shù)的希爾伯特空間，也就是說是勒貝格可測集。泛函由給出，其中F是一個(gè)定義在實(shí)數(shù)上的可微實(shí)值函數(shù)且而u為定義在的實(shí)數(shù)值函數(shù)，則加托微分為內(nèi)積形式，其積分形式為。
更詳細(xì)的說：
令(并假設(shè)所有積分有定義)，得到內(nèi)積：:
上式表達(dá)式稱為泛函E在處關(guān)于增量的加托導(dǎo)數(shù)，其中為泛函E在處的加托導(dǎo)數(shù)。
參看
??導(dǎo)數(shù) (推廣)
參考資料 >