在集合論中對無窮有不同的定義。德國數(shù)學(xué)家格奧爾格·康托爾提出，對應(yīng)于不同無窮集合的元素的個(gè)數(shù)（基數(shù)），有不同的“無窮”。兩個(gè)無窮大量之和不一定是無窮大，有界量與無窮大量的乘積不一定是無窮大（如常數(shù)0就算是有界函數(shù)），有限個(gè)無窮大量之積一定是無窮大。
簡介
這里比較不同的無窮的“大小”的時(shí)候唯一的辦法就是通過是否可以建立“一一對應(yīng)關(guān)系”來判斷，而拋棄了歐幾里得“整體大于部分”的看法。例如整數(shù)集和自然數(shù)集由于可以建立一一對應(yīng)的關(guān)系，它們就具有相同的無窮基數(shù)。
自然數(shù)集是具有最小基數(shù)的無窮集，它的基數(shù)用希伯來字母阿列夫右下角標(biāo)來表示。
可以證明，任何一個(gè)集合的冪集（所有子集所形成的集合）的比原集合大，如果原來的基數(shù)是a，則冪集的基數(shù)記為（2的a次方）。這稱為康托爾定理。
對于兩個(gè)無窮集合，可以以能否建立它們之間的雙射，作為比較其大小的標(biāo)準(zhǔn)。
確切地講，我們用基數(shù)的概念來描述集合，對于有限集合而言，可以認(rèn)為它的基數(shù)就是元素的個(gè)數(shù)，但對無窮集而言，基數(shù)只能以下面的方式理解（當(dāng)然也可以據(jù)此把無窮集合的基數(shù)說成是它元素的個(gè)數(shù)，但這個(gè)個(gè)數(shù)已經(jīng)不是日常用語中的意思）。
如果集合A與集合B之間存在雙射（一一對應(yīng)），就認(rèn)為它們的基數(shù)一樣大；如果A與B的某個(gè)子集有雙射，就認(rèn)為A的基數(shù)不比B更大，也就是A到B有單射，B到A有滿射；當(dāng)A的基數(shù)不比B更大，且A、B基數(shù)不一樣大時(shí)，就認(rèn)為A比B基數(shù)小。
在ZFC集合論的框架下，任何集合都是良序的，從而兩個(gè)集的基數(shù)總是大于、小于、等于中的一種，不會(huì)出現(xiàn)無法比較的情況。但若不包括選擇公理，只有良序關(guān)系的基數(shù)才能比較。
例如，可數(shù)集合，如自然數(shù)集，整數(shù)集乃至有理數(shù)集對應(yīng)的基數(shù)被定義為“阿列夫零”。比可數(shù)集合“大”的稱之為不可數(shù)集合，如實(shí)數(shù)集，其基數(shù)與自然數(shù)的冪集相同，為二的阿列夫零次方，被定義為“阿列夫壹”。
由于一個(gè)無窮集合的冪集總是具有比它本身更高的基數(shù)，所以通過構(gòu)造一系列的冪集，可以證明無窮的基數(shù)的個(gè)數(shù)是無窮的。然而有趣的是，無窮基數(shù)的個(gè)數(shù)比任何基數(shù)都多，從而它是一個(gè)比任何無窮大都要大的“無窮大”，它不能對應(yīng)于一個(gè)基數(shù)，否則會(huì)產(chǎn)生康托爾悖論的一種形式。
數(shù)學(xué)定義
1.設(shè)函數(shù)f(x)在的某一去心鄰域內(nèi)有定義（或|x|大于某一正數(shù)時(shí)有定義）。如果對于任意給定的正數(shù)M（無論它多么大），總存在正數(shù)δ（或正數(shù)X），只要x適合不等式(或,即x趨于無窮)，對應(yīng)的函數(shù)值f(x)總滿足不等式，則稱函數(shù)f(x)為當(dāng)(或)時(shí)的無窮大。
在自變量的同一變化過程中，無窮大與無窮小具有倒數(shù)關(guān)系，即當(dāng)時(shí)f(x)為無窮大，則為無窮小；反之，f(x)為無窮小，且f(x)在a的某一去心鄰域內(nèi)恒不為0時(shí)，才為無窮大。
無窮大記作∞，不可與很大的數(shù)混為一談。
2.①如果當(dāng)且無限增大時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限。記作或 ﹙﹚.
②如果當(dāng)且x的絕對值無限增大時(shí)，函數(shù)f(x)無限趨于一個(gè)常數(shù)A，則稱當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)以A為極限。記作
或.
分類
無窮大分為正無窮大、負(fù)無窮大，分別記作+∞、-∞，非常廣泛的應(yīng)用于數(shù)學(xué)當(dāng)中。
性質(zhì)
另外，一個(gè)數(shù)列不是無窮大量，不代表它就是有界的（如，數(shù)列1，1/2，3，1/3，……）。
無窮級數(shù)
對于發(fā)散至正無窮大（或負(fù)無窮大）的無窮級數(shù)，我們也記作（或）
例：
一般地，對于p級數(shù)，時(shí)有
素?cái)?shù)的倒數(shù)之和：
比較
最大的無窮大是多大呢？答案是沒有盡頭。事實(shí)上，[0,1)上的實(shí)數(shù)可以和正整數(shù)的所有子集的集合一一對應(yīng)。把這些實(shí)數(shù)寫成二進(jìn)制，小數(shù)點(diǎn)后第n位為1，對應(yīng)于n在子集中；為0則對應(yīng)不在子集中。這樣[0,1)上的實(shí)數(shù)就和正整數(shù)的子集有了一一對應(yīng)，因此實(shí)數(shù)和正整數(shù)集的所有子集的個(gè)數(shù)一樣多。也可以證明前面所說曲線可以和實(shí)數(shù)集的冪集有一一對應(yīng)關(guān)系。我們把前面說的所有曲線看成一個(gè)集合，他的所有子集的個(gè)數(shù)又將比這個(gè)集合大。這個(gè)過程可以一直進(jìn)行下去，得到越來越大的無窮大。
另外還有一個(gè)問題，即連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：整數(shù)的無窮大和實(shí)數(shù)的無窮大之間存不存在別的無窮大。也就是說，是否存在比整數(shù)基數(shù)大，而比實(shí)數(shù)基數(shù)小的無窮基數(shù)，也就是 與 之間有沒有別的基數(shù)。
更一般的，任給定無窮基數(shù)a，在a和2^a之間是否有別的基數(shù)？這稱為廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)。
數(shù)學(xué)家證明了這樣一個(gè)事實(shí)：連續(xù)統(tǒng)假設(shè)無法在ZFC集合論公理下被證明或證偽，換而言之，承認(rèn)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)將導(dǎo)出一個(gè)體系；不承認(rèn)將導(dǎo)出另外一種體系。連續(xù)統(tǒng)假設(shè)或其否定均可作為額外的公理。
參考資料 >
無窮大到底有多大？.今日頭條.2024-01-04