雅可比符號(Jacobi symbol)是勒讓德符號的推廣，由普魯士數(shù)學(xué)家卡爾·雅可比于1837年引入。它在數(shù)論的多個分支中有應(yīng)用，特別是在計算數(shù)論的素性檢驗、大數(shù)分解以及密碼學(xué)中扮演著重要角色。
簡介
雅可比符號(Jacobi symbol)是勒讓德符號的推廣，整數(shù)對整數(shù) 的雅可比符號表示為。設(shè) 是大于 1的奇數(shù)，且 的素因數(shù)分解式為 (式中因數(shù)可以相同)，如果，則雅可比符號定義為：
其中，是 對 的勒讓德符號。例如，取，則：
注：雅可比符號是勒讓德符號的推廣，但是根據(jù)雅可比符號的值不能判斷同余式是否有解。
定義補充說明
（1）當(dāng) 是奇素數(shù)時，雅可比符號就是勒讓德符號。
（2）當(dāng) 是奇素數(shù)且 時，方程 有解。當(dāng)m不是奇素數(shù)時，這個結(jié)論不一定成立。
定理
定理1
（1）若，則
（2）
（3）對于任意的整數(shù)，有
（4）對于任意的整數(shù)，有
定理2
設(shè) 是奇數(shù)，其中 是素數(shù)，則下面的結(jié)論成立：
（1）
（2）
定理3
設(shè)m，n是大于1的奇整數(shù)，則
利用以上定理，可以容易計算Jacobi符號，特別是Legendre符號的數(shù)值。但是，必須注意，在判斷方程 的可解性時，Legendre符號和Jacobi的作用是不一樣的。
對于一般的正奇數(shù)m來說，即使條件 成立，也并不能保證 一定有解。
舉例
例1
已知3371是素數(shù)，判斷方程 是否有解。
解：利用Jacobi符號的性質(zhì)，有
因此，方程無解。
例2
設(shè)a與b是正奇數(shù)，求 的關(guān)系。
解：
參考資料 >