因為不可能計算多于一個變量的函數(shù)的不定積分，不定多重積分是不存在的。然后，原來的函數(shù)的積分就定義為延展的函數(shù)在矩形區(qū)域中的積分（如果存在的話）。累次積分中，外圍的積分是對于如下x的函數(shù)關(guān)于x的積分雙重積分卻是定義在xy平面的區(qū)域上。
內(nèi)容簡介
多重積分是定積分的一類，它將定積分擴展到多元函數(shù)（多變量的函數(shù)），例如求f(x,y)或者f(x,y,z)類型的多元函數(shù)的積分
正如單參數(shù)的正函數(shù)的定積分代表函數(shù)圖像和x軸之間區(qū)域的面積一樣，正的雙變量函數(shù)的雙重積分代表函數(shù)所定義的曲面和包含函數(shù)定義域的平面之間所夾的區(qū)域的體積。（注意同樣的體積也可以通過三變量常函數(shù)在上述曲面和平面之間的區(qū)域中的三重積分得到。若有更多變量，則多維函數(shù)的多重積分給出超體積。
n元函數(shù)在定義域D上的多重積分通常用嵌套的積分號按照演算的逆序標識（最左邊的積分號最后計算），后面跟著被積函數(shù)和正常次序的積分參數(shù)（最右邊的參數(shù)最后使用）。積分域或者對每個積分參數(shù)在每個積分號下標識，或者用一個變量標在最右邊的積分號下：
因為不可能計算多于一個變量的函數(shù)的不定積分，不定多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是定積分。
范例介紹
譬如，邊長為的長方體的體積可以通過兩種方法得到：
數(shù)學(xué)定義
令n為大于1的自然數(shù)。考慮所謂的半開n維矩形（下面簡稱矩形）。對于平面，，而多重積分就是雙重積分。
將每個區(qū)間分成有限個不重疊的子區(qū)間，每個都是左閉右開。將子區(qū)間記為Ii。則，所有所有如下形式的子矩形的族
是T的一個劃分，也即，子矩形C是互不重疊的，而且它們并集為T。C中的子矩形的直徑按照定義是C中最大的邊長，而T的劃分的直徑就是劃分中的子矩形的最大直徑。
令為定義在T上的函數(shù)。考慮如上定義的T的劃分
其中m是正整數(shù)。如下形式的和稱為伯恩哈德·黎曼和
其中，對于每個k，點在中，而是勒內(nèi)·笛卡爾積為的區(qū)間的邊長之積。
函數(shù)f稱為黎曼可積，如果如下極限存在
其中極限取遍所有直徑最大為δ的T的劃分。若f黎曼可積，S稱為f在T上的黎曼積分。記為
定義在任意有界n維集合上的函數(shù)的黎曼和可以通過將函數(shù)延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為0。然后，原來的函數(shù)的積分就定義為延展的函數(shù)在矩形區(qū)域中的積分（如果存在的話）。
下文中n維伯恩哈德·黎曼積分簡稱多重積分。
性質(zhì)
多重積分具有很多與單變量函數(shù)的積分一樣的性質(zhì)（線性，可加性，單調(diào)性，等等）。而且，和單變量情況一樣，可以用多重積分找出函數(shù)在給定集合上的積分。具體來講，給定集合和D上的可積函數(shù)f，f在定義域上的平均值為
其中是D的測度。
特例
是，積分
是f在T上的雙重積分，而若TR3，積分
是f在T上的三重積分。
注意，按常規(guī)，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了通過重復(fù)積分來計算多重積分（參看本條目后文）。
積分方法
多重積分問題的解決在多數(shù)情況下依賴于將多重積分轉(zhuǎn)化為一系列單變量積分，而其中每個單變量積分都是直接可解的。
直接檢驗
有時可以直接獲得積分的結(jié)果，而無需任何直接計算。
常數(shù)
在常函數(shù)的情況中，結(jié)果很直接：只要將常函數(shù)c乘以測度就可以了。如果，而且是在R2的子集中積分，則乘積就是區(qū)域面積，而在R3中，它就是區(qū)域的體積。
例如：
and 在D上積分f：
對稱性
對于二重積分來說，關(guān)于x軸對稱，而被積函數(shù)關(guān)于y為奇函數(shù)，則積分為0.
對于Rn中的函數(shù)，只要相關(guān)變量對于形成對稱的軸是奇變量就可以了。
例一:
給定猠渀以及為積分區(qū)域（半徑為1的圓盤，包含邊界）。利用線性性質(zhì)，積分可以分解為三部分：2 猠椀渀x和3y3都是奇函數(shù)，而且顯然T對于x和y軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函數(shù)5因為其它兩個都貢獻0.
例二：
考慮函數(shù)以及圓心在原點的半徑為2的球。該球顯然是對于三條軸都對稱，但是只要對于x軸積分就可以看出結(jié)果是0，因為f對于該變量是奇函數(shù)。
簡化公式
簡化公式基于簡單積分區(qū)域來將多重積分轉(zhuǎn)化為單變量積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變量暫時視為常數(shù)（和偏導(dǎo)數(shù)的計算類似）。
R2中的常規(guī)區(qū)域
此種方法通用于滿足下述條件的任何定義域D:
D投影到x軸或y軸任一軸，形成一個有邊界的范圍, 以a,b代表邊界值。
通過a,b兩點并與 垂直的直線與D相交后的兩個端點，可以用 2 個函數(shù)定義。
x軸
將D對x軸做垂直投影，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并且D可以視為（定義在[a,b]區(qū)間上的）α(x)和β(x)之間的區(qū)域。則
y軸
將D對y軸做垂直投影，函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，并且D可以視為（定義在[a,b]區(qū)間上的）α(y)和β(y)之間的區(qū)域。則
范例
例：可以采用簡化公式的D區(qū)域。
考慮區(qū)域：（參看附圖）計算該區(qū)域可以沿x或者y軸分解。要采用公式，必須先找到限制D的兩個函數(shù)和定義區(qū)間。這個例子中，這兩個函數(shù)為：
和
而區(qū)間為
（這里為了直觀起見采用沿x軸分解）。應(yīng)用簡化公式，得到：
（首先，第二個積分將x作為常數(shù)）。然后就是用積分的基本技術(shù)：
如果沿著y軸分解，可以計算
并得到同樣的結(jié)果。
R3中的分解
這些公式可以推廣到三重積分：
T是一個可以投影到xy平面的體，它夾在和兩個函數(shù)之間。那么：
（此定義和其它R3中的分解類似）。
變量替換
積分的極限常常不易交換（區(qū)域無法分解或者公式很復(fù)雜），這時可以采用變量替換來重寫積分，令區(qū)域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函數(shù)必須變換到新坐標系下。
例:函數(shù)為；若采用替換則可以得到新函數(shù)
對于定義域要進行類似處理，因為原來是采用變換前的變量表達的（本例中的x和y）。
導(dǎo)數(shù)dx和dy要通過包含被替換的變量對于新變量的偏微分的雅可比行列式來變換。（譬如，極坐標的微分變換）。
常用的變量替換有三種（R2中一種，R3中兩種）；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發(fā)現(xiàn)。
極坐標
在R2中，若定義域有某種圓形對稱性而函數(shù)也有某種特征，則可以采用極坐標變換（參看圖中的例子），也就是說將點P(x,y)從勒內(nèi)·笛卡爾坐標變換到相應(yīng)的極坐標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。
該變換的基本關(guān)系如下：
例:
函數(shù)為應(yīng)用該變換得到
例:
函數(shù)為
這里有：這里使用了勾股定理（在簡化操作時很有用）。
定義域的變換是根據(jù)x和y通過環(huán)厚和角度的幅度來限定ρ, φ的區(qū)間。
例（2-c）:
區(qū)域為，圓周半徑2；很明顯，這個區(qū)域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以φ從0變化到2π，而環(huán)半徑從0變化到2（內(nèi)環(huán)為0的環(huán)形就是圓）。
例:
區(qū)域為，這是在正y半平面中的圓環(huán)（參看示意圖）；注意φ表示平面角而ρ從2變化到3。因此變換出來的區(qū)域為矩形：
該變換的雅可比行列式為：
這可以通過將代入關(guān)于ρ的第一行和關(guān)于φ的第二行的偏導(dǎo)數(shù)中得到，所以微分變換為
一旦函數(shù)和區(qū)域的變換完成后，可以定義極坐標中的變量變換公式：
注意φ在區(qū)間中有效，而ρ測量長度，因此只能取正值。
例
函數(shù)為區(qū)域和例相同。從前面對D的分析，我們知道ρ的區(qū)間為，而φ的為.函數(shù)變換為：
最后，應(yīng)用積分公式：
一旦區(qū)間給定，就可以得到
柱極坐標
R3中，在有圓形底面的定義域上的積分可以通過變換到柱極坐標系來完成；函數(shù)的變換用如下的關(guān)系進行：
區(qū)域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區(qū)域的形狀。
例
區(qū)域為（也即底面為例2-d中的圓環(huán)的高度為5的"管道"）；如果采用變換，可以得到區(qū)域（這是一個底面為例中的矩形而高為5的長方體）。
因為z分量沒有變化，和在極坐標中一樣變化：變?yōu)椤?/p>
最后，變換到柱極坐標的最后公式為：
這個方法在柱形或者錐形區(qū)域的情況較為適用，也適用于容易分辨z區(qū)間和變換圓形底面和函數(shù)的其它情況。
球極坐標
R3中，有些區(qū)域有球形對稱性，所以將積分區(qū)域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以采用變換到球極坐標系；函數(shù)變換由如下關(guān)系產(chǎn)生：
注意z軸上的點沒有唯一表示，可以在0到2π間變化。
這個方法最為適用的區(qū)域顯然是球。
例（）:
區(qū)域為（球心在原點半徑為4的球）；應(yīng)用變換后得到：坐標變換的雅可比行列式為：
因此變換為.得到最后公式:
應(yīng)當在積分區(qū)域為球形對稱并且函數(shù)很容易通過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。（參看例）；其它情況下，可能使用柱極坐標更為合適。
注意從雅可比行列式來的ρ2和sinΦ因子。
注意下面例子中，φ和θ的作用反過來了。
例（）:
D和例相同，而是被積函數(shù)。很容易變換為：，而從D到T的變換是已知的：
應(yīng)用積分公式：并展開：
應(yīng)用范例
利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。
圓柱
：半徑為R的圓形底面作為定義域，將等于高度h的常函數(shù)作為積分對象。可以在極坐標中將體積寫作：
體積驗證：體積=底面積×高 =
球
:可以作為常函數(shù)1在球極坐標下的半徑為R的球中積分：體積
四面體
(三棱錐或者說3維單純形)
：頂點在原點，三條長度為l的邊沿著各個笛卡爾坐標系軸向的四面體的體積可以通過簡化公式計算，因為xy平面和'z'軸互相垂直，x和y垂直，被積函數(shù)是常數(shù)1。
體積=
驗證：體積 =底面積×高/3 =
廣義積分
定義域無界或者函數(shù)值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者三重廣義積分。
多重積分
富比尼定理斷言若
也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結(jié)果，
一個特例是如果是|f(x,y)|有界函數(shù)而A和B為有界集時。
如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆多重積分和累次積分的概念，特別是當它們采用形式上相同的記法的時候。記法
在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分
是對于如下x的函數(shù)關(guān)于x的積分
雙重積分卻是定義在xy平面的區(qū)域上。若雙重積分存在，則它等于兩個累次積分中的任何一個（或者""或者""），它也就是通過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即，
這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。
如果要強調(diào)使用雙重積分而非累次積分時，可以采用如下記法
實際應(yīng)用
這些積分在物理中有大量應(yīng)用。
力學(xué)中，轉(zhuǎn)動慣量可以作為密度乘以和轉(zhuǎn)軸的距離的平方的體積分（三重積分）計算：
在電磁學(xué)中，麥克斯韋方程組可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分布產(chǎn)生的電場通過向量函數(shù)的三重積分得到：
參考資料 >