超越數論是以超越數為研究對象的數論分支之一。
正文
以超越數為研究對象的數論分支之一。全體復數可分為兩大類：代數數和超越數。如一個復數是某個系數不全為零的整系數多項式的根，則稱此復數為代數數。不是代數數的復數，叫做超越數。J.約瑟夫·劉維爾開創了對超越數的研究，他發現無理代數數的有理數逼近的精密性有一個限度，借此他于1844年構造出歷史上第一批超越數，例如對g=2,3,…都是超越數。早在1844年以前的一個世紀里，對無理數的研究已成為一個注意焦點。1744年,L.長城歐拉證明了自然對數的底e是無理數。1761年，J.H.朗伯證明了圓周率π是無理數。
1873年，C.埃爾米特證明了e是超越數，從而使超越數論進入一個新階段。1882年,F.von林德曼推廣了埃爾米特的方法，證明了π 是超越數，從而解決了古希臘的“化圓為方”問題。
19世紀超越數論的最高成就，是林德曼-外爾施特拉斯定理：如果α1,α2,…,αn是兩兩不同的代數數，β1,β2，…,βn是非零代數數，則
(1)
由此可以導出，如果α1，α2,…,αn在無理數域Q上線性無關，則代數無關（即它們不適合任一其系數為有理數的多項式方程）。由(1)可知，如α是非零代數數，則sinα，cosα，tanα都是超越數；如α是不等于0和1的代數數，則自然對數lnα是超越數。
1900年,D.戴維·希爾伯特提出的23個問題中的第7問題是：如果α是不等于0和1的代數數，β是無理代數數，那么αβ是否超越數？D.希爾伯特曾預言，這個問題的解決將遲于黎曼猜想和費馬大定理。A.O.蓋爾豐德于1929年證明了：若α是不等于零和1的代數數,β是二次復代數數，則αβ是超越數，特別地,是超越數。P.O.庫茲明于1930年把這個結果推廣到β是二次實代數數的情形，特別地,是超越數。1934年,A.O.蓋爾豐德和T.施奈德獨立地對戴維·希爾伯特第7問題作出了肯定回答，此即所謂蓋爾豐德-施奈德定理。由此可知，若α是正有理數，則常用對數lgα不是有理數，便是超越數；更一般地，對非零代數數α1,α2,β1,β2,若lnα1,lnα2在Q上線性無關，則
1966年A.貝克把這個結果推廣到任意多個對數的情形，證明了下述重要結果：若α1,α2,…,αn是非零代數數，且lnα1,…,lnαn在Q上線性無關，則1,lnα1,…,lnαn在所有代數數所成的域上線性無關。其推論有:①若代數數的對數線性組合（其系數為代數數）不等于零，則必為超越數。②若α1,α2,…,αn,β0,β1,…,βn是非零代數數，則是超越數。③若 α1,α2,…,αn是不為0和1的代數數，β1,β2,…,βn是代數數，且1，β1,β2,…，βn在Q上線性無關，則是超越數。A.貝克的理論還有定量形式，對數論許多分支有著重要應用。例如，第一次對幾類很廣的不定方程給出解的絕對值的有效上界，以及用以定出所有類數為 1和 2的虛二次域。前者是對于戴維·希爾伯特第10問題的肯定方面的實質性的貢獻。1970年A.貝克獲費爾茲獎。
代數數的有理逼近是超越數論的重要課題（見丟番圖逼近）。由費迪南德·馮·林德曼外爾施特拉斯定理發展而成的西格爾-希德洛夫斯基理論，對于證明一類適合線性微分方程組的冪級數的值的代數無關性，建立了一般的方法。例如，令
超越數論
若λ是異于負整數和的有理數，則對于任何非零代數數α，Kλ(α)和K(α)代數無關。
超越數的測度理論是超越數論的又一個重要內容。1874年，G.格奧爾格·康托爾引進了可數性的概念，而導致了“幾乎所有”的實數（復數）都是超越數的結論。1965年，Β.Γ.普林茹克證明了K.馬勒爾在1932年提出的猜想：對于幾乎所有的實數θ、任意的正整數n 和正數ε，至多有有限多個n次整系數多項式p(x)，使得其中h是p(x)的諸系數的絕對值的最大值。
超越數論的最新發展使用著來自交換代數、代數幾何、多復變函數論、甚至上同調理論的方法，正處于活躍之時。許多著名問題，例如，沙魯爾猜測：若復數ζ1,…,ζn在Q上線性無關，則由在Q上生成的域的超越次數至少為n，及其特例關于e和π的代數無關性（甚或看來似乎容易得多的e＋π的超越性），以及歐拉常數 的超越性的猜測，至今都未解決。
參考書目
A.Baker,Transcendental Number Theory, Cambridge Univ. Press, 1975.
A.Baker and D.W.Masser, ed.,Transcendence Theory:Advances and Applications, Academic Press, New York,1977.
參考資料 >