伯恩哈德·黎曼猜想（英文名：Riemann Hypothesis），簡稱RH，是德國數學家黎曼（Riemann，1826—1866年）于1859年提出，關于黎曼Zeta函數零點分布的猜想，該猜想提出其所有非平凡零點都全部位于實部等于1/2的直線（臨界線）上。
黎曼猜想是數學家黎曼于1859年在《論小于給定數值的素數個數》論文中提出的一種假設。在該論文中伯恩哈德·黎曼給出了黎曼猜想的推導過程。黎曼猜想提出后，1896年，雅克·阿達馬和法勒布賽第一個分別獨立地證明了在直線上沒有零點。1903年，革蘭證明的前15個零點對黎曼猜想成立，成為該猜想研究的最早成果。至1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。1986年，計算機已經能夠算出滿足黎曼猜想Zeta函數前15億個非平凡零點。2000年，黎曼猜想被克雷數學研究所列為21世紀的重要數學問題。2018年，數學家邁克爾·阿蒂亞宣稱自己證明了黎曼猜想，雖然未被認同，但也為破解黎曼猜想提供一種新思路。
黎曼猜想與素數定理有著重要的聯系。由黎曼猜想可以得出34種等價命題。對黎曼猜想進行推廣可引出廣義黎曼猜想、拓展黎曼猜想、統一黎曼猜想。黎曼猜想對函數論和數論的發展影響深遠，如，黎曼猜想的解決或可幫助解決著名的哥德巴赫猜想。因此，人們對于黎曼猜想的討論也將一直持續下去。
猜想內容
當實變數時，級數是收斂的，且可表示為無窮乘積的形式，其中取遍所有素數。
伯恩哈德·黎曼首次對上述函數在復數域進行研究：令代表正整數，代表復數，黎曼函數是一個復變函數，這個復變函數包含著一個復數公式：其中，代 表的實部即，代 表的虛部即，和則分別代表構成的兩個實數。
伯恩哈德·黎曼本人已證明，當時，無零點，當時，僅在具有一階零點，此外再無零點，這些零點分布有序、性質簡單，被稱為平凡零點（trivial zero）。此外，函數的無窮多個非平凡零點（non-trivial zeros）必落在帶狀區域內，這些零點的性質遠比平凡零點復雜。在黎曼猜想的研究中，數學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line（臨界線）。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于 critical line 上。
發展歷程
提出
德國數學家伯恩哈德·黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866年）于1859年發表了一篇題為《論小于給定數值的素數個數》的論文，該論文的一個重大成果是發現質數蘊藏在一個特殊函數之中。黎曼猜想的原始表述體現在這篇論文中。伯恩哈德·黎曼用函數討論了素數的分布問題，并連續提出了六個猜想。通過黎曼的工作和他的猜想，在解析數論領域處于中心地位。隨著時間的推移，有五個猜想已經被陸續地解決。然而，惟獨第五個問題作為猜想的地位依然如故”。
證明
19世紀末-20世紀初
19世紀末-20世紀初，一些數學家對黎曼猜想進行了早期研究。1896年，雅克·阿達馬和法勒布賽分別獨立地證明了在直線上沒有零點。連同了伯恩哈德·黎曼對于不非凡零點已經證明了的其他特性，這顯示了所有不平凡零點一定處于區域上。這是素數定理第一個完整證明中很關鍵的一步。
黎曼猜想提出后，引發了數學界的官方關注。1900年，德國數學家戴維·希爾伯特（David Hilbert， 1862-1943年）列出了20世紀最重要的數學問題表，黎曼猜想就位列其中。1901年，科赫（von Koch）證明了黎曼猜想與等價。其中表示不大于實數的素數個數，。這一結果表明長期以來一度被認為是隨機分布的素數背后隱藏著奇異的規律和秩序，這種規律和秩序體現在函數的非平凡零點的分布之中。1903年，革蘭（Gram） 證明的前15個零點對黎曼猜想成立，這是該猜想研究的最早成果。1914年，戈弗雷·哈代（Hardy Godfrey Harold，1877-1947年）證明了有無限個零點在直線上，他證明了這條直線上有無窮多個零點，但他無法證明直線之外沒有零點。1923年， 哈代和利特爾伍德證明，假設廣義黎曼猜想成立，三元哥德巴赫猜想對充分大的奇數是正確的。
隨著時間的推移，人們發現計算機技術可以應用于數學證明，黎曼猜想的研究進入了新的階段。1932年，人工智能之父艾倫·麥席森·圖靈計算出了函數的1104個非平凡零點，開啟了計算機輔助計算的接力賽。同年，德國數學家西格爾（Siegel）從伯恩哈德·黎曼的手稿里找到了關鍵的證據。證據表明黎曼對他提出的三個命題有過極其深刻的思考和計算。西格爾在手稿里發現了黎曼當年隨手寫下的公式，這個公式被稱為黎曼–西格爾公式。1937年，伊萬·維諾格拉多夫（Iv an Vinogradov）在無須廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數可以表示為3個素數之和，其他數學家猜測 “充分大”的下限是101300。在戈弗雷·哈代和里特伍德的基礎上，Helfgott將傅立葉系數的計算分成兩部分，分別是“優弧”和 “劣弧”。
20世紀中后期
20世紀中后期，黎曼猜想也有一些新的證明結論。1942年，挪威數學家澤爾貝格（Selberg），證明了有正百分比的非平凡零點在臨界線上。1948年，威爾（Weil）證明對一般代數曲線黎曼猜想成立。1966年，非平凡零點已經驗證到了350萬個。1975年，麻省理工學院的萊文森引入了獨特的方法，證明黎曼函數臨界線上的零點占全部零點的比例達到了34.74％。1972年，美國麻省理工學院的萊文森（Levinson）證明的零點在上。1973年，皮埃爾·德利涅（P.Deligne）證明對一般代數簇黎曼猜想成立。1974年，萊文森證明了至少有34％的零點位于臨界線上。1976年，中國數學家樓世拓、姚琦證明了比例達到35％。1986年，計算機已經能夠算出Zeta函數前15億個非平凡零點，這些零點無一例外地都滿足黎曼猜想。1989年，美國數學家康利（Conrey）證明了至少有40％的零點位于臨界線上。
21世紀—今
進入21世紀，黎曼猜想依然是人們熱議的數學難題。2000年初，克雷數學研究所（Clay 數學 Institute）再次列出下個世紀的重要數學問題時，黎曼猜想仍然赫然在列。并設立一百萬美元的獎金鼓勵數學愛好者繼續對其進行研究。2004年，非平凡零點驗證這一記錄達到了8500億。法國團隊用改進的算法，將伯恩哈德·黎曼Zeta函數的零點計算出了前10萬億個，仍然沒有發現反例。2018年9月20日，數學家邁克爾·阿蒂亞宣稱自己證明了黎曼猜想，在海德堡論壇上，阿蒂亞爵士解釋了黎曼猜想的本質及其與素數的相關性，提出了對黎曼猜想證明方法的一個簡單思路，其靈感來源于他在2018年ICM上提出的精細結構常數的推演，雖然精細結構常數是物理上未被完全證明的常數，但由于這篇文章目前還未經過同行審議，一些學者對他的推演過程或證明過程存疑，也有學者認為他的思路或為后續黎曼猜想證明提供一種新思路。黎曼猜想至今尚未被成功證明。
相關證明
黎曼猜想提出：有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2，3，5，7，...，等等。這樣的數稱為素數；它們在純粹數學及其應用中都起著重要作用。在所有自然數中，這種素數的分布并不遵循任何有規則的模式。伯恩哈德·黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。復平面上使黎曼ζ函數取值為零的點被稱為黎曼ζ函數的零點。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。黎曼猜想的簡單證明如下：
引理：用表示函數集合：，此時為函數的可列多個間斷點，，；若，則黎曼假設成立。
證：已設，故至少存在一個函數使任意小，當在帶形之內時，必有：
，（1）
，（2）
（3）。由（2），（3）兩式易得當時，又如所周知，函數在帶形內的零點關于為對稱，故當時。再注意到；，當，，；，，當，故黎曼假設成立。
相關定理
黎曼猜想與素數分布有著重要的聯系，素數定理是素數分布的著名結論，它等價于黎曼zeta函數在直線上的值不為零。素數定理即為：
，及漸進公式形式：
，
十八世紀，阿德利昂·瑪利·埃·勒讓德（Lengendre）和高斯（Gauss）經過大量的數值計算就猜測了上面的主項，后來被法國的雅克·阿達馬（J.Hadamard）和比利時的德拉瓦不桑（Ch.J.de la Vallee Poussin）獨立證明。然而，在其被證明之前，首先對其作出重要貢獻的是切比雪夫，1850年他得到了切比雪夫總和不等式：存在正常數，，，，成立。
等價命題
黎曼猜想（以下簡稱RH）有各種等價命題，由黎曼猜想可以得出34個等價命題，給人們攻克黎曼猜想提供了更多的途徑，如：熊飛爾德等價命題、莫比烏斯等價命題、莫頓等價命題等。
引進函數：
，
其中是Mangolgt函數：當時，，其它情況下，，則有下面的等價命題。
等價命題1
RH成立的充要條件是對任意的，
等價命題2
RH成立的充要條件是，熊飛爾德（L.Schoenfeld）將此式的等價命題用顯然的數值形式表示為：
等價命題3
RH成立的充要條件是對，。
等價命題4
引進幾個數論中的算術函數，約瑟夫·劉維爾函數：：，其中指中按重數計算的素因子個數，：，莫比烏斯（Mobius）函數：
莫頓（Mertens）函數：
：
這樣關于這些初等數論函數有以下的等價命題
等價命題5
對于任意的，RH等價于，下面是羅賓（Robin）得到的等價命題。
等價命題6
RH等價于對于所有的，，其中是歐拉常數。
從這個方向研究伯恩哈德·黎曼猜想，后來得到另一個等價命題，首先定義第個調諧數：
：
等價命題7
RH成立當且僅當對于所有的，，等號只有當時成立。下面是關于Mertens函數的一個等價命題。
等價命題8
RH等價于對于任意的，，下面給出傅里葉（Fourier）級數的定義，階傅里葉級數是所有有理數的集合，它們按從小到大的順序排列，其中，。則有以下等價命題。
等價命題9
RH等價于，其中，#。
令為歐拉常數，為前個素數的乘積，那么有以下的等價命題。
等價命題10
RH成立當且僅當，對于所有的整數，，可以將上面的等價命題改進為：
等價命題11
RH成立當且僅當，除了有限多個，對于所有的整數，，設為階傅里葉級數的元素，，其中，令，則有：
等價命題12
RH成立當且僅當對于任意，。
等價命題13
RH成立當且僅當對于任意，。
上面列出了黎曼猜想的一系列等價命題，可以說伯恩哈德·黎曼猜想和數學中的很多問題及分支是有著一定聯系的，因此，黎曼猜想被認為是很重要的猜想，通過它可以得到很多結論。
相關推廣
在數學里，人們經常將問題進行推廣，在攻克黎曼猜想的過程中，一些更強、更復雜的猜想也被人們發現。
廣義黎曼猜想
的所有非顯然零點，即在臨界帶形內的零點，都落在直線上。黎曼猜想只是廣義黎曼猜想的一個特例，且廣義猜想的顯然零點也是比RH的多，其中包括0作為一個零點。
拓展黎曼猜想
下面擴展黎曼猜想。首先引入戴德金 zeta函數，令K為一個整數環為的數域，是整數環中的理想，被稱為整理想，而是的范數。那么戴德金 zeta函數定義為：，其中求和式對中所有的整理想求和。和伯恩哈德·黎曼zeta函數、狄利克雷函數相似，戴德金 zeta函數也需要解析嚴拓到整個復平面，同樣滿足函數方程，也有顯然和非顯然零點之分，同樣，落在帶形內的零點稱為非顯然零點。
所有代數數域戴德金zeta函數的所有非顯然零點都落在直線上，當數域取為有理數時，戴德金 zeta函數變為，，可以看出此式便是伯恩哈德·黎曼zeta函數，所以黎曼猜想只是拓展黎曼猜想的一個特例。
統一黎曼猜想
下面引申統一黎曼猜想，它涉及到自守函數，關于的自守函數被定義為
：，其中：，同黎曼zeta函數類似，若果令：，那么它是個整函數，而且有函數方程：
，其中是一個數，是模1的數，是逆步表示，同樣，落在內的零點稱為非顯然零點，這樣得到統一黎曼猜想。
廣義黎曼猜想和擴展黎曼猜想都是黎曼猜想的推廣，都是在將zeta函數推廣的前提下得到的，只是它們推廣的方向不同，在廣義黎曼猜想里，黎曼zeta函數推廣為狄利克雷函數，而在擴展黎曼猜想里，推廣為戴德金 zeta函數，它們彼此不同，然而卻有著與黎曼zeta函數類似的性質，在統一黎曼猜想里，將狄利克雷函數和戴德金 zeta函數推廣為自守函數，它們都是自守函數的特例，因此自守函數是很復雜的，它的解析延拓及函數方程仍沒被普遍證明，但如果把統一黎曼猜想證明了，那么前面的三個猜想也就全部解決了，但它的證明也許比前三個的證明更加困難。
相關推論
基于黎曼猜想的定理
定理1
若廣義黎曼猜想成立，則有，
關于給定區間內的素數個數，在1845年伯特蘭（Bertrand）斷言在區間內必有素數，并稱為伯特蘭·阿瑟·威廉·羅素定理，下面在假設RH的情況下，結果如下。
定理2
若RH成立，則對于充分大的和任意的，區間中必有素數。后來在1937年，英格姆（Ingham）在無條件下證明了對充分的，在區間內必有素數：
定理3
每個充分大的奇數都是三個素數的和。在1997年，Deshouillers，Effnger，te Riele和Zinoviev證得以下定理：
定理4
每個充分大的偶數都可以表示成一個素數和一個至多兩個素因子的數之和。對于任意的，，。
關于Q（x，k）的結論
關于，它是指1到實數之間的無次方因子整數個數，也就是說，指1到實數之間的整數個數，滿足：如果，那么，其中。無條件的情況下，得到 ，特別的，當= 2時，上式便成為：首先，關于的估計的一些結果。1988年，巴拉蘇布蘭馬尼安（Balasubramanian）和拉馬錢德拉（Ramachandra）得到，而在RH的假設下，賈（Jia）在1993年得到的：對于任意的,
下面是是關于的一些結論。先看一個引理。
引理1
令是上的連續可微函數，是任一復數，令，那么，，
那么，很容易有下面的定理。
定理1
對于，，有。證明，每一個正整數可以因式分解為
，，其中，
上式也就是無次方因子整數的特征函數，是的素因子分解中的那些次冪不能被整除的素數之積，其次冪為被除得的余數。
相關猜想
哥德巴赫猜想
定義：：#關于上式中的最小素數問題，有：若擴展黎曼猜想成立，則滿足的最小素數小于，其中，。希思·布朗（Heath-Brown）在無條件下得到了最好的結果是最小的素數滿足。
關于哥德巴赫猜想，在1742年，哥德巴赫在給萊昂哈德·歐拉的一封信中提到，所有大于4的自然數都是三個素數的和。后來長城歐拉補充到：任意大于3的偶數都是兩個素數之和（強哥德巴赫猜想）。后來便稱為哥德巴赫猜想，其中包括弱的和強的兩種，經常被人們提起的哥德巴赫猜想便是指強哥德巴赫猜想，因為弱哥德巴赫猜想可以由強的推出。弱哥德巴赫猜想是說任意大于7的奇數都可表示為三個奇素數之和。戈弗雷·哈代和利特爾伍德在假設廣義黎曼猜想的條件下推出對于充分大的奇數弱哥德巴赫猜想是成立的。
研究意義
黎曼猜想是眾多數學猜想中的最重要一個，它的解決意義十分重大，圍繞猜想的研究大地推動了解析數論和代數數論的發展，函數論和數論領域內一系列重要的問題和猜想都直接依賴于黎曼猜想的解決。伯恩哈德·黎曼本人就曾在假定自己猜想成立的前提下，證明了重要的素數定理。此外，在黎曼猜想成立的前提下，米勒（G.Miler）提出了一個判別給定大整數是否為素數的多項式算法。1979 年，波蘭的因凡涅斯與英國的希思·布朗得出在與之間一定有素數。其證明的前提也是假定黎曼猜想成立。偉大的數學大師戴維·希爾伯特預言：“也許只有在黎曼猜想得到徹底的研究之后，或許才能夠去嚴格地解決哥德巴赫猜想，并且進一步著手解決孿生素數猜想，甚至能在更一般地意義上解決線性丟番圖方程（具有給定的互質整系數）是否總有素數解。”
黎曼猜想是現今未獲解決的眾多數學猜想中最難的一個，它可以為數學指明新的發展方向，隨著人類對數學研究的不斷深入，解決黎曼猜想的過程中，它給數學家帶來思維習慣和模式的改變，對數學領域深遠影響。
參考資料 >
什么是黎曼猜想. 中國科學院數學與系統科學研究院.2024-01-06
理論數學先驅——黎曼.吉林大學儀器科學與電氣工程學院.2023-12-26
對現代數學影響最大，觸發現代數學革命的數學家黎曼.數學中國.2023-12-20
數學星空下的“千年謎題”.兵團日報.2023-12-20