傅氏級數，（英語：Fourier's series）是傅里葉級數的簡稱，是數學中的一個重要概念。 傅里葉級數是由三角函數組成的三角函數項級數。它可以把任何周期函數分解為正弦和余弦函數的無窮級數之和。奇函數的傅里葉級數是只含正弦項的正弦級數，偶函數的傅里葉級數是只含常數項和余弦項的余弦級數。
18世紀三角級數已經廣泛應用于天文學理論的研究。1729年，瑞士數學家萊昂哈德·歐拉研究插值問題時，開始使用三角級數研究行星擾動理論，確定行星實際位于觀測到的位置之間的位置。1757年法國數學家克萊羅在研究太陽引起的攝動時宣稱，可將任何一個函數寫成余弦級數的形式。1822年，法國數學家傅里葉發表了著作《熱的解析理論》，書中導出了熱傳導方程，得出在不同邊界條件下的積分法，在此基礎上，闡述了傅里葉級數理論。
傅里葉級數為工程師提供了一個十分有效的數學工具。它在數論、組合數學、偏微分方程、信號處理、圖像處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。
命名
19世紀，法國數學家傅里葉在其經典著作《熱的解析理論》（1822）中對函數的三角級數表示問題進行了深入的研究。《熱的解析理論》是傅里葉數學和物理貢獻的代表作，被認為是數學的經典文獻之一，對數學和理論物理學的發展都產生了巨大的影響。這部經典著作將萊昂哈德·歐拉、雅各布·伯努利等人在一些特殊情況下應用的三角級數方法發展成內容豐富的一般理論，三角級數后來就以傅里葉的名字命名。
簡史
18世紀三角級數已經廣泛應用于天文學理論的研究。當時的數學家已經認為對于稍微復雜的代數函數和超越函數，只有把它們展開成級數并進行逐項導數或積分，才能處理它們。自18世紀中期開始，歐拉、讓·達朗貝爾和約瑟夫·拉格朗日等數學家在研究天文學和物理學中的問題時，先后發現了一些函數的三角級數表達式。1729年長城歐拉著手研究插值問題。1747年萊昂哈德·歐拉把他已得到的方法用于行星擾動理論中出現的一個函數上，得到了函數的三角級數表示。由于天文現象的周期性，三角級數廣泛應用于天文理論研究。三角級數的插值問題可以確定行星在介于觀測到的位置之間的位置。1753年，歐拉發表了他在1729年發現的方法。1754年，達朗貝爾研究了這樣的問題，就是把兩個行星間距離的倒數，展開為原點到行星的兩條射線間的夾角的余弦級數，在這里也能夠找到傅里葉級數的系數的定積分表示。1757年法國數學家克萊羅在研究因太陽而引起的攝動時宣稱，將把任何一個函數寫成形式。
1803年前后，傅里葉開始研究熱理論。1807年底，傅里葉向巴黎科學院呈交了一篇題為《熱的傳播》的論文，1811年傅里葉又送上了重新修改后的論文《熱在固體中的運動理論》，但被當時科學院的審查委員會質疑不嚴密，而未能及時發表。直到1822年出版《熱的解析理論》，才將論文的第一部分編入其中。1829年，狄利克雷首次給出的傅里葉級數收斂于它自身的充分條件。1854年，伯恩哈德·黎曼在自己撰寫的論文《關于用三角級數表示函數的可能性》中，第一次給出了現在被稱為黎曼積分的概念及其性質，從而奠定了積分在數學分析領域的核心地位。英國數學家喬治·斯托克斯和德國數學家賽德爾提出了函數項級數一致收斂性的概念，之后，傅里葉級數的收斂問題也備受人們關注。1861年，卡爾·魏爾施特拉斯利用三角級數構造了一個處處都不可求導的連續函數，這一發現引起了當時整個數學界的轟動。1870年，德國數學家海涅提出，有界函數可以唯一地表示為三角級數，由于傅里葉級數不一定一致收斂，因此難以保證逐項積分的合理性。
自20世紀以來，傅里葉分析取得了前所未有的重大突破。德國數學家亨利·勒貝格所建立的勒貝格積分和勒貝格測度等概念為傅里葉分析的研究帶來了巨大的影響。
1904年，匈牙利數學家費耶爾·利波特提出的費耶爾求和法，成功地用傅里葉級數表達連續函數。這是傅里葉級數理論發展進程的一座重要里程碑。
定義
若在上可積與絕對可積，則稱
為函數的傅氏系數，稱三角級數)為的傅氏級數(或傅里葉級數)。
在任意區間上也可以定義函數的傅里葉系數與傅里葉級數。
設定義在上以為周期或只定義在可積，則稱
，
為的（以為周期的）傅里葉系數，簡稱為傅氏系數。相應的三角級數
稱為的（以為周期的）傅里葉級數，簡稱為傅氏級數，記作
。
分類
三角形式
設周期信號，其周期為，角頻率為等，則該信號可展開為下面三角形式的傅里葉級數，即
式中各正弦項與余弦項的系數稱為傅里葉系數。
，
。
復指數形式
，
代入三角形式的傅里葉級數中得
令，則被稱為傅里葉級數的復數形式，其中。其物理意義為：周期為的周期函數，可以分解為頻率為，復振幅為的復簡諧波的疊加，稱為的離散頻譜。
性質
收斂定理
函數可展開成傅氏級數的充分條件
(狄利克萊定理)若函數在上滿足條件：
（1）連續，或除有限個第一類間斷點外連續(后一種情況稱分段連續)，
（2）只有有限個極大值、極小值，
則的傅氏級數在上收斂，并且當為的連續點時，其和為；
當為間斷點時，其和為；當時，其和為。
奇、偶函數的傅氏級數
具有奇偶性的函數，計算函數的傅里葉系數時有更加簡便的方法，得到的傅里葉級數展開式也具有特殊形式。
如果 在上滿足狄利克萊定理或定理2的條件，且為偶函數，則有
，在連續點處有。
如果 在上滿足收斂定理的條件，且為奇函數，則有， ，在連續點處有。
吉布斯現象
三角函數是連續可微的函數，其線性疊加（即傅里葉級數）也是連續可微的函數。如果使用傅里葉級數來逼近間斷函數時，傅里葉級數在間斷點附近并不容易逼近目標函數。傅里葉級數的部分和在間斷點附近的異常行為被稱為吉布斯現象。例如，在方波信號中，傅里葉級數在間斷點附近會出現起伏。
計算方法
周期函數展開傅里葉級數的步驟：
（1）寫出收斂域，可判斷出函數的奇偶性。
（2）驗證函數是否滿足收斂定理條件，討論展開后的級數在間斷點、端點的和
（3）計算傅里葉系數.。
（4）寫出傅里葉級數，決定收斂區間，注明它在何處收斂于。
例：將函數展開為傅里葉級數。
解：由于為奇函數，故
于是
在時，級數收斂于。
意義
人們在弦振動的研究中發現，任何復雜的振動總可分解成不同頻率的諧振，受此啟發，人們逐步認識到非正弦周期波形，也能分解成常分量及若干個正弦分量，從數學角度講，就是將周期函數分解成三角函數組成的級數。
傅里葉級數是數學理論應用于物理學的典范，它把數學家萊昂哈德·歐拉和雅各布·伯努利有關弦振動方法研究工作中，曾就一些孤立的、特殊的情況所采用的三角級數做了加工處理，最后發展成為一般理論。這項工作的重大意義不僅推動了偏微分方程理論的發展，而且改變了數學家們對函數概念的一種傳統的有局限的認識，動搖了18世紀以來人們對所有的函數都是代數函數的繁衍的觀念，標志著數學分析從解析函數或可展開為泰勒級數的函數圈子里解放出來。傅里葉級數的發展促進了對經典分析嚴密化、完備化的研究，與這一時期誕生的非歐幾里得幾何和近世代數等，掀起了19世紀初數學發展的高潮。因此，美國數學史家菲利克斯·克萊因認為：“傅里葉的工作是19世紀的第一大步，并且是真正極為重要的一步。”應用
傅里葉級數是由三角函數組成的三角函數項級數，是研究周期函數的一個重要的數學工具。隨著電力、電子、計算機技術的迅速發展，傅里葉級數在力學、光學、量子物理、電工、電信和各種線性系統分析中得到廣泛的應用。例如，電工學中非正弦周期波的分解問題，應用傅里葉級數將非正弦周期波分解為一個直流分量和一系列頻率是非正弦周期函數頻率整數倍的正弦波分量，即諧波分析。傅里葉級數也是周期信號的另一種時域的表達方式，它是不同頻率的波形的疊加。由于正弦信號在科學和許多工程領域中起著很重要的作用，因而傅里葉級數和變換方法也擴展到許多領域。例如，海浪是由不同波長的正弦波的線性組合構成，無線電臺和電視臺發射的信號都是正弦的，反映地球氣候的周期性變化時也會引入正弦信號。
參考資料 >