化圓為方是古希臘尺規作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。由π為超越數可知，該問題僅用直尺和圓規是無法完成的。但若放寬限制，這一問題可以通過特殊的曲線來完成。如西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。
簡述
化圓為方是古希臘尺規作圖問題之一，即：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。所謂的割圓曲線，由這樣的定義所指定：在正方形ABCD中，以A為圓心，AB為半徑畫圓，邊BC勻速地從從BC運動至AD，同時線段AB繞A點也勻速地從AB旋轉至AD（這意味著AB和AE同時開始運動，也同時到達終點），設運動中的BC為B'C'，運動中的AB為AE，那么B'C'與AE就有一個交點F，F的軌跡就是割圓曲線。
研究
安提豐
方圓的問題與提洛斯問題是同時代的，由希臘人開始研究。有名的阿基米德把這問題化成下述的形式：已知一圓的半徑是r，圓周就是2πr，面積是πr2。由此若能作一個直角三角形，其夾直角的兩邊長分別為已知圓的周長2πr及半徑r，則這三角形的面積就是(1/2)(2πr)(r)=πr2，與已知圓的面積相等。由這個直角三角形不難作出同面積的正方形來。但是如何作這直角三角形的邊。即如何作一線段使其長等於一已知圓的周長，這問題阿基米德可就解不出了。
二千年間，盡管對化圓為方問題上的研究?沒有成功，但卻發現了一些特殊曲線。希臘安提豐（公元前430）為解決此問題而提出的「窮竭法」，是近代極限論的雛形。大意是指先作圓內接正方形（或正６邊形），然后每次將邊數加倍，得內接8、16、32、…邊形，他相信「最后」的正多邊形必與圓周重合，這樣就可以化圓為方了。雖然結論是錯誤的，但卻提供了求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導，與中國劉徽的割圓術不謀而合，對窮竭法等科學方法的建立產生直接影響。
達芬奇
其實，若不受標尺的限制，化圓為方問題并非難事，歐洲文藝復興時代的大師意大利數學家達芬奇（1452－1519）用已知圓為底，圓半徑的1/2為高的圓柱，在平面上滾動一周，所得的矩形，其面積恰為圓的面積，所以所得矩形的面積＝(r/2)×2πr＝πr平方;?，然后再將矩形化為等積的正方形即可。現已證明，在尺規作圖的條件下，此題無解。迪諾斯特拉圖
迪諾斯特拉圖
解決化圓為方的方法，就是采用希庇亞斯的割圓曲線。迪諾斯特拉圖發現了割圓曲線的一個重要性質：
是利用割圓曲線解決化圓為方問題的關鍵，割圓曲線的這個性質非常成功地將圓弧長度轉換成了直線長度，這也就成功地“解決”了化圓為方問題。
問題的提出
公元前5世紀，古希臘哲學家安那薩哥拉斯因為發現太陽是個大火球，而不是阿波羅神，犯有“褻瀆神靈罪”而被投入監獄。在法庭上，安那薩哥拉斯申訴道：“哪有什么太陽神阿波羅啊！那個光耀奪目的大球，只不過是一塊火熱的石頭，大概有伯羅奔尼撒半島那么大；再說，那個夜晚發出清光，晶瑩透亮象一面大鏡子的月亮，它本身并不發光，全是靠了太陽的照射，它才有了光亮。”結果他被判處死刑。
在等待執行的日子了，夜晚，安那薩哥拉斯睡不著。圓圓的月亮透過正方形的鐵窗照進牢房，他對方鐵窗和圓月亮產生了興趣。他不斷變換觀察的位置，一會兒看見圓比正方形大，一會兒看見正方形比圓大。最后他說：“好了，就算兩個圖形面積一樣大好了。”
安那薩哥拉斯把“求作一個正方形，使它的面積等于已知的圓面積”作為一個尺規作圖問題來研究。起初他認為這個問題很容易解決，誰料想他把所有的時間都用上，也一無所獲。
經過好朋友、政治家伯里克利的多方營救，阿那克薩哥拉獲釋出獄。他把自己在監獄中想到的問題公布出來，許多數學家對這個問題很感興趣，都想解決，可是一個也沒有成功。這就是著名的“化圓為方”問題。
不可能性
尺規作圖三大難題提出后，有許多基于平面幾何的論證和嘗試，但在十九世紀以前，一直沒有完整的解答。沒有人能夠給出化圓為方問題的解法，但開始懷疑其可能性的人之中，也沒有人能夠證明這樣的解法一定不存在。直到十九世紀后，埃瓦里斯特·伽羅瓦和尼爾斯·亨利克·阿貝爾開創了以群論來討論有理系數多項式方程之解的方法，人們才認識到這三個問題的本質 。
1.尺規可作性和規矩數
在研究各種尺規作圖問題的時候，數學家們留意到，能否用尺規作出特定的圖形或目標，本質是能否作出符合的長度。引進直角坐標系和解析幾何以后，又可以將長度解釋為坐標。比如說，作出一個圓，實際上是作出圓心的位置（坐標）和半徑的長度。作出特定的某個交點或某條直線，實際上是找出它們的坐標、斜率和截距。為此，數學家引入了尺規可作性這一概念。假設平面上有兩個已知的點?和?，以?為單位長度，射線?為?-軸正向可以為平面建立一個標準直角坐標系，平面中的點可以用橫坐標和縱坐標表示，整個平面可以等價于。
設E是的一個非空子集。如果某直線經過?中不同的兩點，就說是?-尺規可作的，簡稱?-可作。同樣地，如果某個圓的圓心和圓上的某個點是?中的元素，就說是?-可作的。進一步地說，如果里的某個點?是某兩個?-可作的直線或圓的交點（直線－直線、直線－圓以及圓－圓），就說點是-可作的。這樣的定義是基于五個基本步驟得來的，包括了尺規作圖中從已知條件得到新元素的五種基本方法。如果將所有-尺規可作的點的集合記作?，那么當E中包含超過兩個點的時候，?肯定是?的真子集。從某個點集開始，經過一步能作出的點構成集合?，經過兩步能作出的點就是?，……以此類推，經過n步能作出的點集就是。而所有從E能尺規作出的點集就是：
另一個與尺規可作性相關的概念是規矩數。設H是從集合?開始，尺規可作點的集合： 那么規矩數定義為H中的點的橫坐標和縱坐標表示的數。
定義：實數和是規矩數當且僅當?是?中的一個點。
可以證明，有理數集是所有規矩數構成的集合?的子集，而又是實數集的子集。另外，為了在復數集內討論問題，也會將平面看作復平面，同時定義一個復數?是（復）規矩數當且僅當點?是?中的一個點。所有復規矩數構成的集合?也包含作為子集，并且是復數集的子集。從尺規可作性到解析幾何下的規矩數，尺規作圖問題從幾何問題轉成了代數的問題。
2.圓周率的超越性
化圓為方問題是指已知單位長度1，要作出?的長度。這等價于從1開始作出?。然而，能夠用尺規作出的數z都有對應的最小多項式。也就是說，存在有理系數的多項式m，使得
然而，1882年，費迪南德·馮·林德曼等人證明了對于圓周率?來說，這樣的多項式不存在。數學家將這樣的數稱為超越數，而將有對應的多項式的數稱為代數數。所有規矩數都是代數數，而?不是，這說明用尺規作圖是無法化圓為方的。
林德曼證明?的超越性用到了稱為林德曼－卡爾·魏爾施特拉斯定理的結論。林德曼－魏爾斯特拉斯定理說明，如果若干個代數數?在有理數域?上線性獨立，那么?也在?上線性獨立。反設?是代數數，那么?也是代數數。考慮代數數0和?，由于?是無理數，所以它們在?上線性獨立。然而?和?分別是1和-1，并非在?上線性獨立，矛盾。這說明?不是代數數，而是超越數??。
參考資料 >
迪諾斯特拉圖與化圓為方.zuhe.zxxk.com.2016-09-20