在數論中，狄利克雷定理說明對于任意互質的正整數a,d，有無限多個質數的形式如a+nd，其中n為正整數，即在等差數列a+d,a+2d,a+3d,...中有無限多個質數——有無限個質數模d同余a。
人物介紹
狄利克雷（） Dirichlet，Peter Gustav Lejeune 德國數學家。對數論、數學分析和數學物理有突出貢獻，是解析數論的創始人之一。1805年2月13日生于迪倫，1859年5月5日卒于格丁根。中學時曾受教于物理學家G.S.歐姆；年在巴黎求學，深受J.-B.-J.傅里葉的影響 ?；貒笙群笤诓祭姿箘诖髮W、德國聯邦國防軍指揮學院和柏林洪堡大學任教27年，對德國數學發展產生巨大影響。1839年任柏林大學教授，1855年接任C.F.高斯在哥廷根大學的教授職位。
在分析學方面，他是最早倡導嚴格化方法的數學家之一。1837年他提出函數是x與y之間的一種對應關系的現代觀點。
在數論方面，他是高斯思想的傳播者和拓廣者。1836年狄利克雷撰寫了《數論講義》，對高斯劃時代的著作《算術研究》作了明晰的解釋并有創見，使高斯的思想得以廣泛傳播。1837年，他構造了狄利克雷級數。年，他得到確定二次型 類數的公式。1846年，使用抽屜原理。闡明代數數域中單位數的阿貝爾群的結構。
在數學物理方面，他對橢球體產生的引力、球在不可壓縮流體中的運動、由太陽系穩定性導出的一般穩定性等課題都有重要論著。1850年發表了有關位勢理論的文章，論及著名的第一邊界值問題，現稱狄利克雷問題。
定理
歐幾里得證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如。
算術級數的質數定理：若a,d互質，則有
其中φ是歐拉函數。取，可得一般的質數定理。
Linnik定理說明了級數中最小的質數的范圍：算術級數中最小的質數少于，其中L和c均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
Chebotarev密度定理是在狄利克雷定理在伽羅瓦擴張的推廣。
定理證明
如下：
考察其對數形式為：
將上式分開寫為：
易知：
在處解析（因為絕對收斂）。
上式之所以成立是由狄利克雷特征的正交性決定的，將其改寫為：
顯然當時解析，當時我們有：
因此我們有：
至此，我們已經證明了：
故存在無窮多個素數，且其分布密度為。
參考資料 >