在解析數論及代數數論中，狄利克雷特征是一種算術函數，是Z/nZ的特征。它用來定義L函數。兩者都是由狄利克雷在1831年為了證明狄利克雷定理而引進。
定義
狄利克雷特征指有下面性質、由整數到復數的函數：
存在正整數k使得對于任意n都有χ(n)?=?χ(n+k)
對于任意m,n，χ(mn)?=?χ(m)?χ(n)
χ(1)=1
首個條件說明特征是一個以k為周期的函數，其余兩個條件說明它是完全積性函數。
若果特征的周期不是1，由周期性和完全積性可知，特征的值若非單位根便是0。當且僅當gcd(n,k)>1，χ(n)=0。
例子
實特征指值域為實數的特征，它的值只限于?{???1,0,1}。
若一個特征對于所有與k互質的整數的值都為1，則稱為主特征。
若p為素數，勒讓德符號(n|p)便是狄利克雷特征的例子。
正文
數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模q的特征，通常稱之為狄利克雷特征。它可以用不同的方法來定義。這里采用如下定義:
設,pj(1≤j≤s)是不同的奇素數,gj是模的最小正原根，以及
其中φ(d)是不超過d，且與d互素的正整數個數。對于任給的一組整數m,m0,m1,…,ms，把定義在整數集合上的函數
的特征，其中r，r0，r1，…, rs是n 對模的一個指數組，即,,1≤j≤s。為了著重指出特征 ⅹ(n)是屬于模的, 經常采用記號ⅹq(n)或ⅹ(n)mod。有關特征的基本知識如下：
① 設ⅹ(n)是模q的特征，當(n, )=1時恒有ⅹ(n)=1，則稱 ⅹ(n)為模的主特征、記為ⅹ0(n); 不然就稱為非主特征。只取實值的特征稱為實特征，其他的稱為復特征。函數也是模的特征，稱為ⅹ(n)的共軛特征。
② 模q的特征ⅹ（n）是以q 為周期的周期函數，即ⅹ(n+)=ⅹ(n)。此外，ⅹ(1)=1,｜ⅹ(n)｜=1,(n,)=1。
③ 特征ⅹ(n)是完全積性函數，即對任意整數n1,n2有，因此ⅹ2(-1)=1。
④ 對于一個固定的模q, 有且僅有φ(q)個不同的模的特征。
⑤ 設(n)是模q的特征，則有
⑥ 設q≥1,(α,)=1，則有
對模的所有不同的特征求和。
⑦ 設ⅹ(n)是模q的非主特征，如果存在正整數q┡ 狄利克雷特征的主要作用在于：利用性質⑥，可以從一個給定的整數序列中，把屬于某個公差為q的算術級數的子序列分離出來。 Dilikelei?tezheng 狄利克雷特征 Dirichlet?character 數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模的特征，通常稱之為狄利克雷特征。它可以用不同的方法來定義。這里采用如下定義: 設[121-20],(1)是不同的奇素數，是模[121-21]的最小正原根，以及 [121-22]其中()是不超過，且與互素的正整數個數。對于任給的一組整數,,,…,，把定義在整數集合上的函數 [121-23]稱為模[121-0]的特征，其中，，，…,?是?對模[121-0]的一個指數組，即[121-24],[121-25],1。為了著重指出特征?()是屬于模[121-0]的,?經常采用記號()或()mod[121-0]。有關特征的基本知識如下： ①?設()是模的特征，當(,?[121-0])=1時恒有()=1，則稱?()為模[121-0]的主特征、記為();?不然就稱為非主特征。只取實值的特征稱為實特征，其他的稱為復特征。函數[121-26]也是模[121-0]的特征，稱為()的共軛特征。 ②?模的特征（）是以?為周期的周期函數，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,｜()｜=1,(,[121-0])=1。 ③?特征()是完全積性函數，即對任意整數，有[121-27]，因此(-1)=1。 ④?對于一個固定的模,?有且僅有()個不同的模[121-0]的特征。 ⑤?設()是模的特征，則有 [121-28] ⑥?設1,(,[121-0])=1，則有 [121-29]式中Σ表對模[121-0]的所有不同的特征求和。 ⑦?設()是模的非主特征，如果存在正整數<，使得對所有滿足條件(,)=(,)=1,≡(mod)的、有()=(),那么就稱()為模的非原特征；否則就稱為模的原特征。 狄利克雷特征的主要作用在于：利用性質⑥，可以從一個給定的整數序列中，把屬于某個公差為的算術級數的子序列分離出來。因此，它在涉及算術級數的許多數論問題諸如算術級數中的素數定理、哥德巴赫猜想的研究中，起著關鍵的作用。 參考資料 >陳景潤對狄利克雷特征的敘述