孫子定理是中國(guó)古代求解一次同余式組（見同余）的方法。是數(shù)論中一個(gè)重要定理。又稱中國(guó)余數(shù)定理。一元線性同余方程組問題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：
有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)的值。《孫子算經(jīng)》中首次提到了同余方程組的問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中也會(huì)將中國(guó)剩余定理稱為孫子定理。
簡(jiǎn)介
用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言來說明的話，中國(guó)剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：
有解的判定條件，并用構(gòu)造法給出了在有解情況下解的具體形式。
中國(guó)剩余定理說明：假設(shè)整數(shù)兩兩互質(zhì)，則對(duì)任意的整數(shù)：，方程組有解，并且通解可以用如下方式構(gòu)造得到：
設(shè)是整數(shù)的乘積，并設(shè)是除了以外的個(gè)整數(shù)的乘積。
設(shè)為模的數(shù)論倒數(shù)(為模 意義下的逆元)
方程組的通解形式為.
在模的意義下，方程組只有一個(gè)解：
證明：
從假設(shè)可知，對(duì)任何，由于，所以這說明存在整數(shù)使得這樣的叫做模的數(shù)論倒數(shù)。考察乘積可知：
所以滿足：
這說明就是方程組的一個(gè)解。
另外，假設(shè)和都是方程組 的解，那么：
而兩兩互質(zhì)，這說明整除.所以方程組的任何兩個(gè)解之間必然相差的整數(shù)倍。而另一方面，是一個(gè)解，同時(shí)所有形式為：
的整數(shù)也是方程組的解。所以方程組所有的解的集合就是：
文獻(xiàn)
一元線性同余方程組問題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期（公元5世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：
有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？
即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)。《孫子算經(jīng)》中首次提到了同余方程組問題，以及以上具體問題的解法，因此在中文數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中也會(huì)將中國(guó)剩余定理稱為孫子定理。
宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶于1247年《數(shù)書九章》卷一、二《大衍類》對(duì)“物不知數(shù)”問題做出了完整系統(tǒng)的解答。明朝數(shù)學(xué)家程大位將解法編成易于上口的《孫子歌訣》：
三人同行七十稀，五樹梅花一支，七子團(tuán)圓正半月，除百零五使得知
這個(gè)歌訣給出了模數(shù)為3、5、7時(shí)候的同余方程的秦九韶解法。意思是：將除以3得到的余數(shù)乘以70，將除以5得到的余數(shù)乘以21，將除以7得到的余數(shù)乘以15，全部加起來后減去105（或者105的倍數(shù)），得到的余數(shù)就是答案。比如說在以上的物不知數(shù)問題里面，按歌訣求出的結(jié)果就是23。
交換環(huán)上推廣
主理想整環(huán)
設(shè)R是一個(gè)主理想整環(huán)，是其中的k個(gè)元素，并且兩兩互質(zhì)。令 為這些元素的乘積，那么可以定義一個(gè)從商環(huán)映射到環(huán)乘積的同態(tài)：
并且是一個(gè)環(huán)同構(gòu)。因此的逆映射也存在。而這個(gè)逆映射的構(gòu)造方式就如同中國(guó)剩余定理構(gòu)造一元線性同余方程組的解一樣。由于和互質(zhì)，所以存在和使得
而映射
就是的逆映射。
也是一個(gè)主理想整環(huán)。將以上的R換成，就能得到中國(guó)剩余定理。因?yàn)?
一般的交換環(huán)
設(shè)R是一個(gè)有單位元的交換環(huán)，是為環(huán) 的理想，并且當(dāng)時(shí)，，則有典范的環(huán)同構(gòu)：
數(shù)論相關(guān)
數(shù)論是純粹數(shù)學(xué)的分支之一，主要研究整數(shù)的性質(zhì)。
按研究方法來看，數(shù)論大致可分為初等數(shù)論和高等數(shù)論。初等數(shù)論是用初等方法研究的數(shù)論，它的研究方法本質(zhì)上說，就是利用整數(shù)環(huán)的整除性質(zhì)，主要包括整除理論、同余理論、連分?jǐn)?shù)理論。高等數(shù)論則包括了更為深刻的數(shù)學(xué)研究工具。它大致包括代數(shù)數(shù)論、解析數(shù)論、計(jì)算數(shù)論等等。
初等數(shù)論主要就是研究整數(shù)環(huán)的整除理論及同余理論。此外它也包括了連分?jǐn)?shù)理論和少許不定方程的問題。本質(zhì)上說，初等數(shù)論的研究手段局限在整除性質(zhì)上。
初等數(shù)論中經(jīng)典的結(jié)論包括算術(shù)基本定理、歐幾里得的質(zhì)數(shù)無限證明、中國(guó)剩余定理、歐拉定理（其特例是費(fèi)馬小定理）、高斯的二次互反律，勾股方程的商高定理、佩爾方程的連分?jǐn)?shù)求解法等等。
例題解析
例一：一個(gè)數(shù)，除以5余1，除以3余2。問這個(gè)數(shù)最小是多少？
采用通用的方法：逐步滿足法
把除以5余1的數(shù)從小到大排列：1，6，11，16，21，26，……
然后從小到大找除以3余2的，發(fā)現(xiàn)最小的是11.
所以11就是所求的數(shù)。
先滿足一個(gè)條件，再滿足另一個(gè)條件，所以稱之為“逐步滿足法”。
例二：一個(gè)數(shù)除以5余1，除以3也余1。問這個(gè)數(shù)最小是多少？（1除外）
特殊的方法：最小公倍法
除以5余1：說明這個(gè)數(shù)減去1后是5的倍數(shù)。
除以3余1：說明這個(gè)數(shù)減去1后也是3的倍數(shù)。
所以，這個(gè)數(shù)減去1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)減去1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)減去1后是15，所以這個(gè)數(shù)是.
例三：一個(gè)數(shù)除以5余4，除以3余2。問這個(gè)數(shù)最小是多少？
這種情況也可以用最小公倍法。
數(shù)除以5余4，說明這個(gè)數(shù)加上1后是5的倍數(shù)。
數(shù)除以3余2，說明這個(gè)數(shù)加上1后也是3的倍數(shù)。
所以，這個(gè)數(shù)加上1后是3和5的公倍數(shù)。要求最小，所以這個(gè)數(shù)加上1后就是3和5的最小公倍數(shù)。即這個(gè)數(shù)加上1后是15，所以這個(gè)數(shù)是。
多個(gè)數(shù)的，比如3個(gè)數(shù)的，有時(shí)候其中兩個(gè)可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出滿足兩個(gè)條件的數(shù)后再用通用的方法求滿足最后一個(gè)條件的數(shù)。
例四：有1個(gè)數(shù)，除以7余2．除以8余4，除以9余3，這個(gè)數(shù)至少是多少？
除以7余2的數(shù)可以寫成。
這樣的數(shù)除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。
7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（乘數(shù)之余等于余數(shù)之乘），則n最小取6。
所以滿足“除以7余2，除以8余4”的最小的數(shù)是，
所有滿足“除以7余2，除以8余4”的數(shù)都可以寫成。
要求除以9余3，由于44除以9余8，所以要求除以9余4。（加數(shù)之余等于余數(shù)之加）
除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（乘數(shù)之余等于余數(shù)之乘），則m最小取2。
所以滿足“除以7余2，除以8余4，除以9余3”的最小的數(shù)是。
例五：三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？
即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，除以七余二，求這個(gè)整數(shù)。
除以3余2和除以7余2的數(shù)可以寫成。
除以5余3，要求21n除以5余1。
21n除以5余1，21除以5余1，要求n除以5余1（乘數(shù)之余等于余數(shù)之乘），則n最小取1。
所以滿足“除以3余2，除以5余3，除以7余2”的最小的數(shù)是。
標(biāo)準(zhǔn)解法：先從3和5、3和7、5和7的公倍數(shù)中相應(yīng)地找出分別被7、5、3除均余1的較小數(shù)15、21、70(注釋：此步又稱為求"模逆"運(yùn)算，利用擴(kuò)展歐幾里得法并借助計(jì)算機(jī)編程可比較快速地求得。當(dāng)然，對(duì)于很小的數(shù)，可以直接死算)。即
，
，
.
再用找到的三個(gè)較小數(shù)分別乘以所要求的數(shù)被7、5、3除所得的余數(shù)的積連加，
.(將233處用i代替，用程序可以求出)
最后用和233除以3、5、7三個(gè)除數(shù)的最小公倍數(shù)
，
這個(gè)余數(shù)23就是合乎條件的最小數(shù).
例六：一個(gè)數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個(gè)數(shù)最小是多少?
題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。看到那個(gè)“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，。
下面一步試下46能不能滿足第一個(gè)條件“一個(gè)數(shù)被5除余2”。不行的話，只要再46加上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個(gè)數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍數(shù)，再怎么加都會(huì)滿足“被6除余4，被7除余4”的條件。
例7：一個(gè)班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個(gè)班有多少學(xué)生?
題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。沒有同余的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加7，直到所得的數(shù)除5余3。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”
參考資料 >
尹國(guó)成,石函早,葉擴(kuò)會(huì)等.孫子定理的探討與應(yīng)用[J].保山學(xué)院學(xué)報(bào),2015,34(2):61-64..萬方數(shù)據(jù)庫.2019-07-31