洛必達法則（英文：L′Hospital rule）是在微積分領域求解未定式值的一種方法，是求解未定型極限的有效方法之一。這一方法主要運用于分數形式的未定型極限的計算，但在具體求解過程中需要對具體問題具體分析，判斷其是否滿足洛必達法則的運算條件。
洛必達法則由瑞士數學家約翰·白努利（Johann Bernoulli）發明，數學家紀堯姆·弗朗索瓦·安托萬·洛必達（Guillaume Fran?ois Antoine,Marquis de l'H?pital）在其出版的著作中將該方法推向全世界。在實際運用中，能通過數學運算轉化為未定式值求解問題的極限形式也適用于洛必達法則。
歷史來源
洛必達法則提供了一種求解未定式值的方法，盡管這種方法被稱為洛必達法則，但創建者其實并非是法國數學家洛必達的，而是他的數學老師約翰·白努利。雅各布·伯努利發現了這個法則之后，將這一求解未定式值的方法告訴了洛必達。1696年，洛必達出版了著作L'數學分析 des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes，中文名為《闡明曲線的無窮小分析》，這是微積分學方面最早的教科書，該著作在18世紀影響深遠。洛必達將伯努利的發現寫在這本書上，這也是洛必達法則第一次公開發表。世人誤以為該方法為著作者洛必達發明，因此命名為洛必達法則并沿用至今。
洛必達逝世之后，雅各布·伯努利發表聲明該法則及許多的其它發現該歸功于他自己，但沒有足夠的證據。直到200多年后，他的聲明才被一些書信證實，洛必達法則的名稱也沒有再改變。
問題背景
在函數極限的求解問題中，存在著這樣一類極限形式，如果當或者時，和之比同時趨于零（簡記為）或者趨于無窮大（簡記為）時，這類極限形式是否存在極限需要進一步判斷。因此，這類極限也被稱為未定式，分為（和同時趨于零）以及（和同時趨于零或者趨于無窮大）兩種形式。洛必達法則為解決此類未定式問題的提供了一種高效的方法。
基本定理
1.型
如果函數和滿足以下三個條件：
條件1：當時，和，
條件2：在點的某去心鄰域內可導，即導函數和存在，且，
條件3：極限存在（或為無窮大），則
則有。
上述定理被稱為洛必達法則，也就是將原未定式的值轉換為分別對分子和分母求導后再求極限的方法。此外，除了定理中的極限過程，其余極限過程，如同樣適用。
2.型
如果函數和滿足以下三個條件：
條件1：當時，和，
條件2：在點的某去心鄰域內可導，即導函數和存在，且，
條件3：極限存在（或為無窮大），則
則有。
如果把定理中的極限過程，替換為同樣適用。
除了和兩種基本未定式的形式外，，，，，等幾類不定式也可通過適當的變形化為和這兩種基本型，同樣可以通過洛必達法則來計算。
定理證明
洛必達法則可以使用柯西中值定理來證明，下面對型的洛必達法則進行證明。
條件1未給出和在處是否有定義，和當時的極限與和無關，不妨假設，結合條件1和2可知，和和點的某去心鄰域內是連續的。假設在點的某去心鄰域存在一點，在以點和點為端點的區間上，符合柯西中值定理的使用條件，也就是在該區間內至少存在一點，使得
令，有，再對上式兩端求極限，由條件3可知，上式右端可求，定理得證。
從推導過程也可以看出，只要原未定式使用一次洛必達法則后仍符合未定式的形式，并且滿足洛必達法則使用的三個條件，那么可以繼續對分子和分母求導再取極限，所得結果等同于原未定式，即：
例如，求解
該未定式為型，在滿足洛必達法則使用條件的前提下，上述求解過程中可連續多次對分子和分母求導，直到求出極限為止。
實際運用
洛必達法則主要用于求解和兩種形式的未定式值。在實際函數極限問題的求解中，洛必達法則并不局限于上述兩種形式。事實上，能通過數學運算（如取倒數、分子分母有理化、通分和約分、換元、取對數等）轉化為上述兩種類型的未定式值求解問題的極限形式，例如，，，，等，也適用于洛必達法則。
此類型可直接轉化為未定式的兩種基本類型。
例如，下列式子為型，直接將因式轉化為分式（型），再利用洛必達法則求解。
此類型可將原未定式取對數后轉化為型，而后繼續求解。
例如，下列式子為型，首先利用對數和指數進行等價轉換。
對原未定式的求解轉化為對上式右端指數部分的極限求解，該部分為型的未定式，化為分式后使用洛必達法則。
將指數部分的極限結果代回原未定式，得到最終結果。
此類型同樣可將原未定式取對數后轉化為型，而后繼續求解。
例如，下列式子為型，首先利用對數和指數進行等價轉換。
對原未定式的求解轉化為對上式右端指數部分的極限求解，該部分為型的未定式，化為分式后使用洛必達法則。
將指數部分的極限結果代回原未定式，得到最終結果。
此類型同樣可將原未定式取對數后轉化為型，而后繼續求解。
例如，下列式子為型，首先利用對數和指數進行等價轉換。
對原未定式的求解轉化為對上式右端指數部分的極限求解，該部分為型的未定式，化為分式后使用洛必達法則。
將指數部分的極限結果代回原未定式，得到最終結果。
例如，下列式子為型，首先通分將其轉化為型的未定式，而后使用洛必達法則。
注意事項
洛必達將復雜的未定式值求解問題轉化為簡單的求導問題，但在使用的過程有幾點注意事項。
以下面的式子為例，第一次求導后的結果仍為未定式，因此可以繼續使用洛必達法則，但在第二次求導后的結果已經不再是未定式，此時不能再使用洛必達法則，否則無法得出正確的結果（繼續使用會得到錯誤結果1，而并非）。
下面給出一個對比的例子。
（僅使用洛必達法則）
（洛必達法則與等價無窮小相結合）
例如，在求解時，由于分子在時并非無窮大，且不存在極限，因此無法使用洛必達法則。此題可利用夾逼定理求解。
由于，且不等式兩端，
由夾逼定理可知，不等式中間項。
參考資料 >
洛必達法則.術語在線.2023-03-12
L’H?pital’s rule.Britannica.2023-03-01