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a,b,c≥0,t∈R?a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)≥0。
介紹
當(dāng)且僅當(dāng)，或其中兩個數(shù)相等而另外一個為零時，等號成立。
特別地，當(dāng)為非負(fù)偶數(shù)時，此不等式對任意實(shí)數(shù)成立。
Schur不等式雖不是聯(lián)賽大綱中規(guī)定掌握的不等式，但在聯(lián)賽不等式證明題中仍能發(fā)揮重要作用。
證明
對的證明：
由對稱性，不妨設(shè)，
，證畢。
對的證明：
由對稱性，不妨設(shè)，則。
證畢。
推論
1、。
2、三角形中，為角所對的三邊。
3、三角形中，。
推廣
假設(shè) 是正的實(shí)數(shù)。如果和是順序的，則以下的不等式成立：
2007年，羅馬尼亞數(shù)學(xué)家Valentin Vornicu證明了一個更一般的形式：
考慮 ，其中，而且要么，要么 。設(shè) ，并設(shè) 要么是凸函數(shù)，要么是單調(diào)函數(shù)。那么：
當(dāng) 時，即化為舒爾不等式。
舒爾不等式的如下兩個變形形式在解題中非常有用
變形1：
變形2：
事實(shí)上，把①展開即得變形1，因?yàn)?代入變形1，得
所以
下面引用三個例題來介紹舒爾不等式的用法
例題1：設(shè)，且，求證：.
證明：由舒爾不等式的變形2可得:
有題設(shè)條件 可得
另一方面，
從而命題得證。
例題2
證明：在△ABC中有
證明：令 ,則由舒爾不等式可得
所以
例題3：設(shè)，且，求證：
證明：因?yàn)? 所以上式等價于
等價于
即
這就是舒爾不等式的變形1，故原命題得證！
參考資料 >