外森比克不等式（Weitzenb?ck's inequality）是有關(guān)三角形邊長和面積的一個不等式。設(shè)三角形的邊長為a,b,c，面積為S，則外森比克不等式聲稱a^2+b^2+c^2≥4√3S成立。當且僅當三角形為等邊三角形，等號成立。此不等式在1961年國際數(shù)學奧林匹克競賽中曾被用作題目要求學生證明。佩多不等式是外森比克不等式的推廣。
定理內(nèi)容
若a,b,c為三角形三邊長，S是三角形面積，
則：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S，當且僅當△ABC為正三角形時等號成立。
定理證明
定理證明如下：
由海倫公式，三角形面積可表示為：S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2。則4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]。由于三角形任意兩邊之和大于第三邊，所以根號里各項都是正數(shù)，由均值不等式可得：
4S=√[(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)]
≤√{(a+b+c)([(-a+b+c)+(a-b+c)+(a+b-c)]/3)^3}
=√{(a+b+c)[(a+b+c)/3]^3}=(a+b+c)^2/(3√3)
=[3(a^2+b^2+c^2)-(a-b)^2-(b-c)^2-(c-a)^2]/(3√3)
≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
即：4S≤(a^2+b^2+c^2)/(√3)
整理得a^2+b^2+c^2≥(4√3)S 證畢。
除了上述證明方法，還存在其他證明方式，例如：
證明一：利用所有平方數(shù)非負的性質(zhì)，可以得出：
(a^2-b^2)^2+(b^2-c^2)^2+(c^2-a^2)^2≥0
進而推導出a^2+b^2+c^2≥4√3S。
證明二：使用排序不等式和算術(shù)-幾何平均值不等式，可以證明：
a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ca
進而得出a^2+b^2+c^2≥4√3S。
證明三：內(nèi)拿破侖定理的面積的平方的6倍等于不等式左邊減去右邊，由于面積平方不小于0，從而不等式成立。
加強推廣
哈德維格爾不等式
外森比克不等式還可以加強為：a^2+b^2+c^2≥(4√3)S+(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2,
也就是費恩斯列爾·哈德維格爾（Hadwiger Finsler）不等式。
佩多不等式
佩多不等式（Don Pedoe Inequality)是外森比克不等式的推廣，其內(nèi)容為：
如果第一個三角形的邊長為a,b,c，面積為f，第二個三角形的邊長為A,B,C，面積為F，那么：
A^2(b^2+c^2-a^2)+B^2(a^2+c^2-b^2)+C^2(b^2+a^2-c^2)≥16Ff
等式成立當且僅當兩個三角形對應(yīng)邊成比例，也就是a/A=b/B=c/C。
參考資料 >