Gronwall不等式是目前常用不等式之一。它與Holder不等式一樣，分別具備離散形式與連續(xù)形式。
在數(shù)學(xué)中，格朗沃爾引理或格朗沃爾不等式說(shuō)明了對(duì)于滿足一定的微分方程或積分方程的函數(shù)，有相應(yīng)的關(guān)于此微分方程或積分方程的不等式。格朗沃爾不等式有兩種形式，分別是積分形式和微分形式。積分形式下的不等式可以有幾種不同的寫法。
釋義
格朗沃爾不等式常常被用來(lái)估計(jì)常微分方程的解的取值范圍。比如，它可以用來(lái)證明初值問(wèn)題的解的唯一性（見柯西-利普希茨定理）。
格朗沃爾不等式的名稱來(lái)自多瑪·哈肯·格朗沃爾。格朗沃爾是一位瑞典的數(shù)學(xué)家，后來(lái)移居美國(guó)。
格朗沃爾不等式的微分形式首先由格朗沃爾在1919年證明。而積分形式則是由理查德·貝爾曼（Richard Bellman）在1943年證明。
離散形式
設(shè)是非負(fù)實(shí)數(shù)列， 。如果對(duì)每一個(gè)，
,
那么
連續(xù)形式
設(shè)是定義在上的連續(xù)實(shí)函數(shù)， 。如果對(duì)一切，都有
那么
微分形式
設(shè) I是一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間，記為：或或，其中。又設(shè) β和 u為定義在 I上的實(shí)數(shù)值的連續(xù)函數(shù)。假設(shè) u是一個(gè)在 I的內(nèi)部（也就是不包括端點(diǎn)）可微的函數(shù)，并且滿足如下的導(dǎo)數(shù)不等式：
那么對(duì)于所有的，函數(shù) u都小于等于以下微分方程的解：
注意：不等式對(duì)函數(shù) β和 u的符號(hào)沒有任何要求。
證明
如果設(shè)
是以下微分方程
其中的解，那么對(duì)所有的 t都有，因此根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中的除法定則：
對(duì)所有的成立，因此
于是格朗沃爾不等式得證。
積分形式
設(shè) I是一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間，記為： 或或，其中。又設(shè) α、 β和 u為定義在 I上的實(shí)數(shù)值的函數(shù)。假設(shè) β和 u是連續(xù)的，則有：
(a) 如果 β是非負(fù)函數(shù)并且 u滿足如下的積分不等式：
，
那么
。
(b) 如果在之前的條件下， α還是一個(gè)常數(shù)，那么
注意：
不等式的成立條件里并沒有限制 α和 u的符號(hào)；
相比于微分形式，積分形式中對(duì)函數(shù) u的可微性沒有做要求。
證明
(a) 定義
則運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則中的乘積法則、鏈?zhǔn)椒▌t、指數(shù)函數(shù)的求導(dǎo)法則以及微積分基本定理，可以得到：
由于注意到括號(hào)中的部分小于 α，可以得到相應(yīng)的不等式，并進(jìn)行積分。由于函數(shù) β以及其指數(shù)都是非負(fù)函數(shù)，積分后不等號(hào)保持不變。然而，因此積分式等價(jià)于：
再運(yùn)用第一步里 v( t) 的定義，就得到：
最后將原來(lái)?xiàng)l件里的不等式帶入上式左邊，就可以得到格朗沃爾不等式了。
(b) 如果函數(shù) α為常數(shù)函數(shù)，那么命題 (a) 中不等式的右邊可以進(jìn)行積分。由微積分基本定理可以獲得：
參考資料 >