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雅各布·伯努利不等式，又稱貝努利不等式，是分析不等式中最常見的一種不等式，由數學家伯努利提出。它指出對任意整數\( n \geq 1 \)和任意實數\( x \geq -1 \)有\( (1+x)^n \geq 1+nx \)；如果\( n \geq 0 \)且是偶數，則不等式對任意實數\( x \)成立。等號成立的條件是\( n=0,1 \)或\( x=0 \)。
基本概念
對實數，在時，有成立；
在時，有成立。
可以看到等號成立當且僅當，或時。
伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟。
伯努利不等式的一般式為
（對于任意都有且,即所有同號且大于等于-1）當且僅當時等號成立。
證明
設,且是不小于2的整數，則。
證明：
當，上個式子成立，
設對，有：成立。
則
就是對一切的自然數，當
，有
下面把伯努利不等式推廣到實數冪形式：
若或，有；若，有。這個不等式可以直接通過導數進行證明，方法如下：
如果，則結論是顯然的
如果，作輔助函數,那么,則;
下面分情況討論：
證畢。
伯努利不等式雖然是一個很初等的不等式，但它的應用卻非常廣泛。伯努利不等式簡潔方便，能降低次數，可以將高次冪變為低次冪，簡化運算。此外，伯努利不等式常被用作證明其它不等式的關鍵步驟，它本身可以用數學歸納法來證明。伯努利不等式在證明數列極限、函數的連續和單調性以及在其他不等式的證明和級數的收斂性等方面都有著極其廣泛的應用。
相關不等式
下述不等式從另一邊估計：對任意，都有。
我們知道，因此這個不等式是平凡的。
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